نسخة الفيديو النصية
الدالتان ﺩ ﺱ تساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١، وﺭ ﺱ تساوي ﺃﺱ زائد تسعة لهما نفس مجموعة الأصفار. أوجد ﺃ ومجموعة الأصفار.
في هذا السؤال، لدينا دالتان وهما ﺩ ﺱ وﺭ ﺱ. وعلمنا من المعطيات أن هاتين الدالتين لهما نفس مجموعة الأصفار. علينا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة ﺃ ومجموعة الأصفار. يمكننا البدء بتذكر أنه عندما نتحدث عن مجموعة أصفار الدالة، فإننا نعني مجموعة كل قيم ﺱ؛ حيث نحصل على قيم مخرجة للدالة تساوي صفرًا. ومن ثم، إذا عوضنا بأي قيمة لـ ﺱ في ﺩ ﺱ، حيث ﺭ ﺱ تساوي صفرًا، فسنحصل على صفر أيضًا. وينطبق الأمر نفسه على عكس ذلك. إذا عوضنا بأي قيمة لـ ﺱ في ﺭ ﺱ، حيث ﺩ ﺱ تساوي صفرًا، فسنحصل أيضًا على صفر. وبما أن ﺭ ﺱ دالة خطية، فسيكون من الأسهل إيجاد أصفار ﺭ ﺱ. دعونا نبدأ بفعل ذلك.
إننا نريد أن نحل ﺭ ﺱ يساوي صفرًا، لذا علينا حل المعادلة ﺃﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا. بداية، نطرح تسعة من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ﺃﺱ يساوي سالب تسعة. والآن هناك احتمالان: إما أن تكون قيمة الثابت ﺃ تساوي صفرًا، وإما أنها لا تساوي صفرًا. دعونا نتناول كل احتمال على حدة. سنبدأ باحتمال أن ﺃ يساوي صفرًا.
إذا عوضنا بقيمة ﺃ هذه في الدالة الأصلية ﺭ ﺱ، فسنجد أن ﺭ ﺱ تساوي قيمة ثابتة وهي تسعة. وبما أن القيمة المخرجة للدالة ﺭ ﺱ دائمًا تساوي تسعة، فلا توجد قيمة لـ ﺱ يمكن التعويض بها في الدالة ﺭ ﺱ لنحصل على صفر. إذن، أصفار ﺭ ﺱ هي المجموعة الخالية. سنكتب أصفار الدالة على صورة الترميز ﻉ ﺭ. لكن تذكر أن ﺃ هو أيضًا قيمة في الدالة ﺩ ﺱ، وأن الدالة ﺩ ﺱ لا بد أن يكون لها مجموعة الأصفار نفسها. إذا عوضنا بـ ﺃ يساوي صفرًا في ﺩ ﺱ، فسنحصل على ﺩ ﺱ تساوي ٥٤ﺱ زائد ٨١.
حسنًا، هذه معادلة خطية. إذن، يمكننا إيجاد أصفار هذه الدالة عن طريق حل المعادلة صفر يساوي ٥٤ﺱ زائد ٨١. نطرح ٨١ من الطرفين، ثم نقسمهما على ٥٤. إذن، ﺱ يساوي سالب ٨١ على ٥٤. ومن ثم، فإن أصفار هذه الدالة ﺩ هي المجموعة التي تحتوي على سالب ٨١ على ٥٤. لكن هذه ليست نفس أصفار ﺭ ﺱ. لقد أوضحنا أن ﺭ دالة ليس لها أصفار. وبذلك، نكون أوضحنا أنه إذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فإن ﺩ وﺭ لا يمكن أن تكون لهما نفس مجموعة الأصفار. بعبارة أخرى، قيمة ﺃ لا يمكن أن تساوي صفرًا.
علينا الآن تناول الحالة التي يكون فيها ﺃ لا يساوي صفرًا. يمكننا الآن قسمة طرفي المعادلة على ﺃ؛ نظرًا لأن ﺃ لا يساوي صفرًا. ونجد بذلك أن ﺱ يساوي سالب تسعة على ﺃ. إذن، ﺱ يساوي سالب تسعة على ﺃ هو صفر للدالة ﺭ. في الواقع، إنه الصفر الوحيد. إذن، أصفار ﺭ هي المجموعة التي تحتوي على سالب تسعة على ﺃ.
لكن يمكننا الآن تذكر أنه ذكر في السؤال أن الدالتين ﺭ وﺩ لهما نفس مجموعة الأصفار. إذن، ﻉ ﺩ هي أيضًا المجموعة التي تحتوي على سالب تسعة على ﺃ. نلاحظ على وجه التحديد أن ﻉ دالة تربيعية في ﺱ، ولها جذر واحد فقط. إن لها جذرًا متكررًا. يمكننا هنا استرجاع الصورة العامة لجذر متكرر في معادلة تربيعية. إذا كانت ﻕ ﺱ دالة تربيعية لها جذر متكرر عند ﺭ، فإن ﻕ ﺱ يجب أن تساوي ﻙ في ﺱ ناقص ﺭ تربيع لقيمة ما لـ ﻙ لا تساوي صفرًا.
إذن، الدالة ﺩ ﺱ يجب أن تساوي ﻙ في ﺱ ناقص سالب تسعة على ﺃ تربيع؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا. يمكننا تبسيط ذلك. طرح سالب تسعة على ﺃ هو نفسه إضافة تسعة على ﺃ. هذا يعطينا ﺩ ﺱ تساوي ﻙ في ﺱ زائد تسعة على ﺃ تربيع. دعونا الآن نوزع الأس على ما بين القوسين. باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني أو أي طريقة أخرى، يمكننا توضيح أن هذا يساوي ﺱ تربيع زائد ١٨ على ﺃﺱ زائد ٨١ على ﺃ تربيع. لكن تذكر أن علينا ضرب كل هذه الحدود في ﻙ. وبذلك، نحصل على ﻙﺱ تربيع زائد ١٨ﻙ على ﺃ في ﺱ زائد ٨١ﻙ على ﺃ تربيع.
يمكننا الآن إيجاد قيمة ﻙ. لفعل ذلك، دعونا نسترجع أننا علمنا من السؤال أن ﺩ ﺱ تساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١. على وجه التحديد، يمكننا المقارنة بين الحدين الرئيسيين في هاتين المعادلتين التربيعيتين. ﻙﺱ تربيع لا بد أن يساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع. لذا، فإن المعاملات الرئيسية يجب أن تكون متساوية؛ أي إن ﻙ لا بد أن يساوي ﺃ تربيع. يمكننا الآن التعويض بـ ﻙ يساوي ﺃ تربيع في تعبير هذه الدالة. هذا يعطينا ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ١٨ﺃ تربيع على ﺃ في ﺱ زائد ٨١ﺃ تربيع على ﺃ تربيع. يمكننا تبسيط هذا التعبير. في الحد الثاني، ﺃ تربيع مقسومًا على ﺃ يساوي ﺃ. وفي هذا الحد الثابت، ﺃ تربيع على ﺃ تربيع يساوي واحدًا. تذكر أننا أوضحنا بالفعل أن ﺃ لا يساوي صفرًا. وهذا يعطينا ﺩ ﺱ تساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ١٨ﺃﺱ زائد ٨١.
هذا مماثل تقريبًا للدالة ﺩ ﺱ المعطاة في السؤال. لكن الحد الثاني في هذه الدالة هو ٥٤ﺱ. ومع ذلك، لدينا ١٨ﺃ في ﺱ. ومن ثم، فإن ١٨ في ﺃ يجب أن يساوي ٥٤. وإذا كان ١٨ﺃ يساوي ٥٤، فلا بد أن ﺃ يساوي ٥٤ على ١٨، وهو ما يساوي ثلاثة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن قيمة ﺃ لا بد أن تساوي ثلاثة. ويمكننا التعويض بذلك في المجموعة التي أوجدناها لـ ﻉ ﺩ. بما أن سالب تسعة على ثلاثة يساوي سالب ثلاثة، فهذا يعطينا أصفار الدالة ﺩ، وهي المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة.
إذن، لقد استطعنا توضيح أنه إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي ﺃ تربيع ﺱ تربيع زائد ٥٤ﺱ زائد ٨١، وﺭ ﺱ تساوي ﺃﺱ زائد تسعة، وأن هاتين الدالتين لهما نفس مجموعة الأصفار، فإن ﺃ يجب أن يساوي ثلاثة، ومجموعة أصفار الدالة ﺩ تساوي المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة فقط.
