فيديو الدرس: معادلات الحركة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قوانين حركة العجلة المنتظمة لجسيم يتحرك في خط مستقيم. حتى الآن، استخدمنا صيغة العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن. السرعة هي المسافة مقسومة على الزمن. ويمكن تطبيق هذه الصيغة عندما تساوي عجلة الجسم صفرًا. ربما نكون قد فكرنا أيضًا في العجلة بدلالة الانحدار أو ميل الخط في التمثيل البياني للسرعة والزمن. والآن، نتناول بعض المعادلات الجديدة. تسمى هذه المعادلات أحيانًا بمعادلات العجلة الثابتة أو المنتظمة، ويطلق عليها ذلك لأنه يتم تطبيقها عند التعامل مع العجلة المنتظمة، أي العجلة التي لا تتغير. فلنر من أين تأتي هذه المعادلات.

نبدأ بالتفكير في التمثيل البياني للسرعة والزمن. ‏‏ﻉ الابتدائية أو ﻉ صفر هي السرعة المتجهة الابتدائية أو السرعة المتجهة الأصلية للجسم. وبذلك فإن ﻉ هي السرعة المتجهة بعد زمن ما ﻥ. ونفترض أن ﺟ يساوي العجلة. وΔﺱ أو التغير في ﺱ هو إزاحة الجسم، التي يرمز إليها أحيانًا بـ ﻑ. نعلم الآن أن العجلة هي ميل الخط في التمثيل البياني للسرعة والزمن. وبما أن العجلة ثابتة، فإن لدينا خطًا مستقيمًا. ولإيجاد ميل الخط المستقيم أو انحداره، نستخدم صيغة التغير الرأسي على التغير الأفقي، أو التغير في ﺹ على التغير في ﺱ.

في هذا الشكل، التغير في ﺹ هو هذا الطول. وهو الفرق بين السرعة المتجهة الابتدائية والسرعة المتجهة بعد وحدات من الزمن ﻥ. وهو ما يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر. والتغير في ﺱ هو طول هذا الخط. وهو ﻥ ناقص صفر أو ﻥ فقط. ومن ثم فإن ميل الخط الذي يمثل العجلة ﺟ، بهذه الشروط، يعطى بالعلاقة: ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﻥ. إذا ضربنا طرفي المعادلة في ﻥ، فإننا نحصل على ﺟﻥ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر. وإذا أضفنا ﻉ صفر إلى كلا الطرفين، نحصل على ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. إذن، ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. هذه هي معادلة الحركة الأولى لدينا.

سنتناول الآن المعادلة الثانية. هذه المرة نعود إلى التمثيل البياني ونتذكر أن الإزاحة يمكن إيجادها عن طريق حساب المساحة بين الخط والمحور ﺱ. يمكننا تقسيم هذه المساحة إلى مستطيل ومثلث. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب بعديه. إذن، فهي تساوي ﻉ صفر في ﻥ. ومساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع. إذن، هذا يساوي نصفًا في ﻉ ناقص ﻉ صفر في ﻥ. وهذا يعني أن الإزاحة Δﺱ، وهي بالطبع المساحة الواقعة بين الخط والمحور ﺱ، تساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف في ﻉ ناقص ﻉ صفر ﻥ. لكننا قلنا في التعريف السابق إن ﻉ ناقص ﻉ صفر يساوي ﺟﻥ. إذن، نعوض عن هذا بـ ﺟﻥ في هذه المعادلة، فنحصل على Δﺱ يساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف في ﺟﻥ في ﻥ أو نصف ﺟﻥ تربيع. وهذه هي معادلة الحركة الثانية لدينا.

حسنًا، استنتاج كل المعادلات خارج نطاق اهتمامنا في هذا الفيديو. لكن بإعادة ترتيب هاتين المعادلتين أو باستخدام طريقة بيانية أخرى، يمكننا الحصول على صيغتين أخريين. وهما Δﺱ يساوي نصفًا في ﻉ صفر زائد ﻉ في ﻥ، وﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟ في Δﺱ. إذن، كيف نطبق هذه الصيغ؟ نبدأ بكتابة جميع القياسات التي نعرفها. ثم نحدد القياس الذي لا نعرفه ولا نريد إيجاده. سيؤدي ذلك إلى استبعاد كل المعادلات التي لا تهمنا، ويتبقى معادلة واحدة فقط. لنر كيف سنفعل ذلك.

إذا بدأ جسيم التحرك في خط مستقيم بسرعة متجهة ابتدائية ٢٥٫١ سنتيمترًا لكل ثانية، وعجلة منتظمة ٢٫٤ سنتيمتر لكل ثانية مربعة، فأوجد سرعته المتجهة بعد تسع ثوان.

يخبرنا السؤال بأن للجسيم عجلة منتظمة. وهذه إشارة جيدة لنا بأننا سنحتاج إلى استخدام معادلات العجلة المنتظمة أو الثابتة. تلك هي معادلات الحركة الأربع. إذن، نبدأ بكتابة المعادلات. مهمتنا هي استبعاد كل هذه المعادلات ما عدا معادلة واحدة. وذلك من خلال كتابة القياسات المعطاة في السؤال. لدينا في المعطيات السرعة المتجهة الابتدائية ﻉ صفر. وهي ٢٥٫١ سنتيمترًا في الثانية. ولدينا عجلة مقدارها ٢٫٤ سنتيمتر لكل ثانية مربعة وزمن مقداره تسع ثوان.

إننا نريد حساب السرعة المتجهة بعد تسع ثوان. لاحظ أن هذا يعني أننا غير مهتمين هنا بالفعل بـ Δﺱ، وهي إزاحة الجسم. ولذلك، ننظر إلى جميع المعادلات التي تحتوي على Δﺱ ونستبعدها. وهي المعادلات الثانية والثالثة والرابعة. وبذلك، يتبقى لدينا معادلة واحدة، وهي ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. بعد ذلك، نعوض بكل ما نعرفه عن الجسيم في هذه الصيغة. إننا نريد حساب ﻉ، إذن نقول إن ﻉ يساوي ﻉ صفر، أي ٢٥٫١، زائد ﺟ في ﻥ، أي ٢٫٤ في تسعة. ‏‏٢٫٤ مضروبًا في تسعة يساوي ٢١٫٦. إذن، السرعة المتجهة تساوي ٢٥٫١ زائد ٢١٫٦، وهو ما يساوي ٤٦٫٧.

لاحظ أننا كنا نحسب بالسنتيمترات لكل ثانية، والسنتيمترات لكل ثانية مربعة، والثواني. وهكذا، فإن وحدة السرعة بعد تسع ثوان هي السنتيمترات لكل ثانية. إذن، سرعة الجسيم هي ٤٦٫٧ سنتيمترًا لكل ثانية.

في المثال التالي، سنتناول كيفية حساب المسافة التي يقطعها جسم ما.

كرة صغيرة بدأت تتحرك أفقيًا بسرعة ١٦٫٣ مترًا لكل ثانية. تحركت الكرة في خط مستقيم بعجلة تقصيرية منتظمة مقدارها ثلاثة أمتار لكل ثانية مربعة. أوجد المسافة التي قطعتها الكرة في أول ثانيتين.

للكرة عجلة تقصيرية منتظمة. بعبارة أخرى، لها عجلة منتظمة سالبة. هذه إشارة إلى أننا سنستخدم معادلات الحركة، أي معادلات العجلة المنتظمة. إذن، أول ما سنفعله هو كتابة هذه المعادلات الأربع. عند التعامل مع السرعة المتجهة الابتدائية ﻉ صفر، والعجلة ﺟ، والسرعة المتجهة ﻉ بعد وحدات من الزمن ﻥ، والإزاحة Δﺱ، تكون المعادلات كما هو موضح.

خطوتنا التالية هي استبعاد كل هذه المعادلات ما عدا معادلة واحدة، وذلك من خلال كتابة كل ما نعرفه عن حركة الجسم. يخبرنا السؤال بأن الكرة الصغيرة تبدأ التحرك بسرعة ١٦٫٣ مترًا لكل ثانية، وبالتالي هذه هي سرعتها المتجهة الابتدائية. ولها عجلة تقصيرية منتظمة مقدارها ثلاثة أمتار لكل ثانية مربعة. بعبارة أخرى، إنها تتباطأ. إذن، نقول إن عجلتها تساوي سالب ثلاثة. والزمن ﻥ يساوي ثانيتين، والمطلوب هو إيجاد المسافة التي قطعتها الكرة.

نتذكر أن المسافة هي ببساطة مقدار الإزاحة. إذن، المسافة هنا هي Δﺱ. وهي تمثل التغير في ﺱ. وهذا يعني أننا لا نريد قيمة ﻉ، وهي السرعة المتجهة النهائية للجسم. لذلك، ننظر إلى المعادلات ونستبعد كل معادلة تحتوي على ﻉ. وهي المعادلات الأولى والثالثة والرابعة، وبذلك يتبقى لدينا بالطبع المعادلة الثانية فقط.

مهمتنا التالية هي التعويض بما نعرفه عن الكرة في هذه المعادلة. ‏‏Δﺱ هي ما نحاول حسابه. بعد ذلك، ﻉ صفر ﻥ يساوي ١٦٫٣ في اثنين. ونصف ﺟﻥ تربيع يساوي نصفًا في سالب ثلاثة في اثنين تربيع. بعد ذلك، ١٦٫٣ في اثنين يساوي ٣٢٫٦. ونصف في سالب ثلاثة في اثنين تربيع يساوي سالب ستة. بالتالي، Δﺱ يساوي ٣٢٫٦ ناقص ستة، وهو ما يساوي ٢٦٫٦، ونقيسها بالمتر. إذن، تقطع الكرة مسافة قدرها ٢٦٫٦ مترًا في أول ثانيتين من حركتها.

قد يبدو الآن أن معلومة حركة الكرة في خط مستقيم غير ضرورية إلى حد ما. لكنها في الحقيقة مهمة للغاية. فهي تتيح لنا ببساطة التفكير في اتجاه واحد للحركة. وإذا كان علينا التفكير في اتجاهين، فسيصبح الأمر أكثر تعقيدًا.

دعونا ننتقل إلى مثال آخر.

يتحرك جسيم في خط مستقيم بعجلة مقدارها ٢٢ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة في نفس اتجاه سرعته المتجهة الابتدائية. إذا كان مقدار إزاحته بعد ١٠ ثوان من بدء الحركة يساوي ٢٩ مترًا، فاحسب مقدار سرعته المتجهة الابتدائية ﻉ صفر، والسرعة المتجهة ﻉ عند نهاية هذه المدة.

نعلم إذن أن الجسيم يتحرك بعجلة ثابتة مقدارها ٢٢ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. هذا يعني أنه للإجابة عن هذا السؤال، علينا استخدام معادلات الحركة. هذه المعادلات هي بالطبع معادلات العجلة الثابتة. فبالنسبة إلى السرعة المتجهة الابتدائية ﻉ صفر، والسرعة المتجهة ﻉ بعد وحدات من الزمن ﻥ، والعجلة ﺟ، والإزاحة Δﺱ، تكون المعادلات كما هو موضح.

ما سنفعله هو أن نكتب كل ما نعرفه عن الحركة هنا. سبق أن قلنا إننا نعرف أن العجلة ثابتة، ومقدارها ٢٢ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. وهي في نفس اتجاه سرعة الجسم الابتدائية. الآن، نحن لا نعرف سرعته الابتدائية، لكن بافتراض أنهما في الاتجاه نفسه، يمكننا أن نجعل كلًا من العجلة والسرعة ﻉ صفر موجبتين. ويخبرنا السؤال أيضًا بأن مقدار الإزاحة بعد ١٠ ثوان من بدء الحركة يساوي ٢٩ مترًا. تذكر أن الإزاحة يمكن أن يكون لها اتجاه. وبالنظر إلى المقدار فقط، نفكر بذلك في المسافة؛ وهي ٢٩ مترًا. والزمن ﻥ يساوي ١٠ ثوان.

والآن، يطلب منا السؤال حساب مقدار السرعة المتجهة الابتدائية وسرعة الجسم في نهاية المدة. لنبدأ بحساب السرعة الابتدائية ﻉ صفر. في هذه الحالة، لسنا مهتمين بالسرعة المتجهة ﻉ، لذا سننظر إلى المعادلات ونستبعد منها تلك التي تحتوي على ﻉ. وهي المعادلات الأولى والثالثة والرابعة. خطوتنا التالية عادة ما تكون التعويض بكل ما نعرفه عن حركة الجسم في تلك المعادلة الثانية. لكن لدينا مشكلة صغيرة بالفعل. نلاحظ أن وحدتي العجلة والإزاحة مختلفتان. وعلينا أن نجعلهما متساويتين. لذا، نضرب قيمة الإزاحة في ١٠٠ ونجد أنها تساوي ٢٩٠٠ سنتيمترًا.

بعد ذلك، بالتعويض بكل ما نعرفه في هذه الصيغة، نحصل على ٢٩٠٠ يساوي ١٠ﻉ صفر زائد نصف في ٢٢ في ١٠ تربيع. نصف في ٢٢ في ١٠ تربيع يساوي ١١٠٠. إذن، نطرح ١١٠٠ من كلا الطرفين، ونجد أن ١٨٠٠ يساوي ١٠ في ﻉ صفر. خطوتنا الأخيرة هي قسمة الطرفين على ١٠. ‏‏١٨٠٠ على ١٠ يساوي ١٨٠. إننا نتعامل الآن بوحدة السنتيمتر. إذن، السرعة المتجهة الابتدائية ﻉ صفر تساوي ١٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية. وقد نختار أن نعطي الإجابة بالمتر لكل ثانية بقسمة الطرفين على ١٠٠. وبذلك، نجد أن ﻉ صفر تساوي ١٫٨ متر لكل ثانية.

لم ننته بعد. ما زلنا نريد حساب سرعة الجسم ﻉ عند نهاية المدة. بما أننا الآن قد عرفنا قيمة ﻉ صفر، يمكننا استخدام أي من تلك المعادلات. فلنستخدم المعادلة الأولى. نعوض بكل ما نعرفه عن حركة الجسيم في هذه الصيغة، مع الاستمرار في استخدام السنتيمترات والسنتيمترات لكل ثانية. وبذلك نحصل على ﻉ يساوي ١٨٠ زائد ٢٢ في ١٠. ‏‏٢٢ في ١٠ يساوي ٢٢٠. و١٨٠ زائد ٢٢٠ يساوي ٤٠٠. ما زلنا، بالطبع، نستخدم السنتيمترات لكل ثانية. ولكي نعطي إجابتنا بالأمتار لكل ثانية، سنقسم الطرفين على ١٠٠. وبذلك، نجد أن السرعة المتجهة ﻉ عند نهاية الحركة تساوي أربعة أمتار لكل ثانية.

في المثال الأخير، سنتناول إيجاد السرعة المتجهة النهائية للجسم.

يتحرك جسيم في خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها سنتيمتران لكل ثانية مربعة. إذا كانت سرعته المتجهة الابتدائية ٦٠ سنتيمترًا لكل ثانية، فأوجد سرعة الجسم المتجهة عندما يكون على بعد ١٥ مترًا من نقطة البداية.

لدينا عجلة ثابتة، لذلك سنستخدم معادلات الحركة. للتعامل مع السرعة الابتدائية ﻉ صفر، والعجلة ﺟ، والسرعة ﻉ بعد وحدات من الزمن ﻥ، لدينا المعادلة الأولى وهي ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. نستخدم Δﺱ لتمثيل إزاحة الأجسام. ونحصل بذلك على Δﺱ يساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. والمعادلة الثالثة هي Δﺱ يساوي نصف ﻉ صفر زائد ﻉ في ﻥ. ثم لدينا معادلة واحدة أخرى. وهي ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟ في Δﺱ.

لنكتب ما نعرفه عن حركة الجسيم. لدينا عجلة مقدارها سنتيمتران لكل ثانية مربعة، وسرعة متجهة ابتدائية تساوي ٦٠ سنتيمترًا لكل ثانية، وإزاحة Δﺱ مقدارها ١٥ مترًا. الآن، نجد أن كلًا من العجلة والسرعة المتجهة معطاة بالسنتيمترات لكل ثانية والسنتيمترات لكل ثانية مربعة. لذلك، نريد استخدام الوحدة نفسها مع Δﺱ. نضرب ١٥ في ١٠٠ لنحصل على ١٥٠٠ سنتيمتر. بعد ذلك، نريد إيجاد سرعة الجسم عندما يبعد هذه المسافة عن نقطة البداية. لاحظ أن هذا يعني أننا غير مهتمين بالزمن الذي يستغرقه ذلك.

ننتقل إذن إلى معادلات الحركة الأربع ونحذف منها تلك التي تحتوي على ﻥ. حسنًا، إنها المعادلات الأولى والثانية والثالثة. يتبقى لدينا معادلة واحدة فقط وهي ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟ في Δﺱ. سنعوض بكل ما نعرفه عن حركة الجسيم في هذه المعادلة. وبذلك سنحصل على ﻉ تربيع يساوي ٦٠ تربيع زائد اثنين في اثنين في ١٥٠٠. ‏‏٦٠ تربيع يساوي ٣٦٠٠. واثنان في اثنين في ١٥٠٠ يساوي ٦٠٠٠. إذن، ﻉ تربيع يساوي ٩٦٠٠.

وبالتالي، يمكننا إيجاد قيمة ﻉ بإيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وعليه، ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٦٠٠. أي ٩٧٫٩٧ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب عدد صحيح، يكون الناتج ٩٨. وبذلك، يمكننا القول إن سرعة الجسم عندما يكون على بعد ١٥ مترًا من نقطة البداية هي ٩٨ سنتيمترًا لكل ثانية.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا استخدام معادلات الحركة لتمثيل حركة تتضمن عجلة ثابتة في خط مستقيم. المعادلات الأربع التي نستخدمها موضحة كما يلي. في هذه المعادلات، ﻉ صفر هي السرعة المتجهة الابتدائية، وﻉ هي السرعة المتجهة بعد وحدات من الزمن ﻥ، وﺟ هي العجلة الثابتة، وΔﺱ هي إزاحة الجسم. كما رأينا أنه من المهم للغاية عند التعامل مع هذه المعادلات التأكد من أن جميع الوحدات متماثلة.