نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃﺏ يساوي ٣٠ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٤٥ سنتيمترًا، فأوجد النسبة بين مساحتي المثلث ﺃﻫﺩ والمثلث ﺃﻫﺟ.
دعونا نبدأ بكتابة قياسات الأطوال الثلاثة المذكورة في المعطيات على الشكل. ﺃﺏ يساوي ٣٠ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٤٥ سنتيمترًا. في هذه المسألة، علينا إيجاد النسبة بين مساحتي هذين المثلثين: ﺃﻫﺩ وﺃﻫﺟ. في الوقت الحالي، ليست لدينا معلومات كافية لإيجاد المساحتين، ولكن دعونا نفكر كيف يمكننا فعل ذلك. يمكننا أن نتذكر أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في طول الارتفاع ﻉ. إذا رسمنا خطًّا مستقيمًا عموديًّا من الرأس ﺃ إلى القطعة المستقيمة ﻫﺟ، وسميناه ﻉ، فإنه سيمثل الارتفاع العمودي لكلا المثلثين ﺃﻫﺩ وﺃﻫﺟ.
لإيجاد مساحة المثلث ﺃﻫﺩ، سنضرب القاعدة، أي القطعة المستقيمة ﻫﺩ، في نصف ثم نضرب الناتج في الارتفاع العمودي ﻉ. وبالنسبة إلى المثلث ﺃﻫﺟ، طول القاعدة هو ﻫﺟ، إذن مساحة المثلث ﺃﻫﺟ تساوي نصفًا في ﻫﺟ في ﻉ. ولكتابة المساحتين على صورة نسبة، نكتبهما على الصورة: نصف ﻫﺩ في ﻉ إلى نصف ﻫﺟ في ﻉ. وبما أن لدينا العامل المشترك نصف ﻉ في كلتا المساحتين، إذن يمكننا كتابة هذه النسبة على الصورة: ﻫﺩ إلى ﻫﺟ. حتى الآن، نحن لا نعرف طولي الضلعين لتحديد النسبة ﻫﺩ إلى ﻫﺟ. فهيا ندون هذه النتيجة أعلى الصفحة ونفرغ بعض المساحة لتحديد طولي القطعتين المستقيمتين هاتين.
دعونا نعد إلى الشكل المعطى. يمكننا ملاحظة أن الزاوية الداخلية للمثلث ﺃﺏﺟ مقسومة إلى نصفين؛ لأن الزاويتين ﺏﺃﺩ وﺩﺃﺟ عليهما علامة التطابق. كما نلاحظ أن زاوية خارجية للمثلث نفسه منصفة أيضًا، لأن الزاويتين ﻭﺃﻫ وﻫﺃﺏ عليهما علامة التطابق. ومن ثم، يمكننا استخدام اثنتين من نظريات منصف الزاوية، وسنحصل بذلك على النسبة بين القطع المستقيمة المرتبطة بمنصفات الزوايا الداخلية والخارجية للمثلث. بموجب نظرية منصف الزاوية الداخلية، يمكننا كتابة أن ﺩﺟ على ﺩﺏ يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ. ووفقًا لنظرية منصف الزاوية الخارجية، نجد أن ﻫﺏ على ﻫﺟ يساوي ﺃﺏ على ﺃﺟ.
بما أن ﺃﺏ يساوي ٣٠ سنتيمترًا وﺃﺟ يساوي ٤٥ سنتيمترًا، يمكننا التعويض بهذين الطولين. وهذا يعطينا ﺩﺟ على ﺩﺏ يساوي ٤٥ على ٣٠، وهو ما يبسط إلى ثلاثة على اثنين. وبالطريقة نفسها، ﻫﺏ على ﻫﺟ يساوي ٣٠ على ٤٥، وهذا يبسط إلى ثلثين. أصبح لدينا الآن معادلتان. دعونا نتناول المعادلة الثانية. إذا نظرنا إلى الشكل، فسنلاحظ أن القطعة المستقيمة ﻫﺟ تساوي القطعة المستقيمة ﻫﺏ زائد القطعة المستقيمة ﺏﺟ. ويمكننا التعويض بذلك في المعادلة الثانية مع حقيقة أن طول ﺏﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا، ونحصل بذلك على ﻫﺏ على ﻫﺏ زائد ٤٠ يساوي ثلثين.
أصبح لدينا الآن مجهول واحد في هذه المعادلة، وعليه يمكننا إجراء الضرب التبادلي لإيجاد طول ﻫﺏ. وهكذا، نحصل على ثلاثة في ﻫﺏ يساوي اثنين في ﻫﺏ زائد ٤٠، إذن ثلاثة في ﻫﺏ يساوي اثنين في ﻫﺏ زائد ٨٠. بطرح اثنين في ﻫﺏ من كلا الطرفين، نحصل على ﻫﺏ يساوي ٨٠ سنتيمترًا. والآن بعد معرفة أن هذا الطول يساوي ٨٠ سنتيمترًا، دعونا نتذكر أننا نريد حساب النسبة ﻫﺩ إلى ﻫﺟ. نلاحظ أن لدينا الآن معلومات كافية لتحديد طول ﻫﺟ، لكن ما زال علينا تحديد طول ﻫﺩ. ولكي نفعل ذلك، علينا معرفة طول القطعة المستقيمة ﺩﺏ.
دعونا نفكر إذا ما كان يمكننا الآن استخدام المعادلة الأولى التي توصلنا إليها سابقًا. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن ﺩﺏ زائد ﺩﺟ يساوي ﺏﺟ، إذن ﺩﺟ يساوي ﺏﺟ ناقص ﺩﺏ. وبما أننا نعرف من المعطيات أن طول ﺏﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا، يمكننا القول إن ﺩﺟ يساوي ٤٠ ناقص ﺩﺏ. يمكننا إذن التعويض بذلك في المعادلة الأولى لنحصل على ٤٠ ناقص ﺩﺏ على ﺩﺏ يساوي ثلاثة على اثنين. وبإجراء الضرب التبادلي، يصبح لدينا اثنان في ٤٠ ناقص ﺩﺏ يساوي ثلاثة في ﺩﺏ. وعند التبسيط، نحصل على ٨٠ ناقص اثنين في ﺩﺏ يساوي ثلاثة في ﺩﺏ. وبإضافة اثنين ﺩﺏ إلى كلا الطرفين، نحصل على ٨٠ يساوي خمسة في ﺩﺏ. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على خمسة، ليصبح لدينا ٨٠ على خمسة يساوي ﺩﺏ. وهذا يعني أن ﺩﺏ يساوي ١٦ سنتيمترًا بالتأكيد.
لدينا الآن المعلومات الكافية لحساب النسبة ﻫﺩ إلى ﻫﺟ. ﻫﺩ يساوي ٨٠ سنتيمترًا زائد ١٦ سنتيمترًا، وهو ما يساوي ٩٦ سنتيمترًا. وطول ﻫﺟ يساوي ٨٠ سنتيمترًا زائد ٤٠ سنتيمترًا، وهو ما يساوي ١٢٠ سنتيمترًا. إذن، مع الحرص على كتابة القيمتين بترتيبهما الصحيح في النسبة، يمكننا القول إن نسبة ﻫﺩ إلى ﻫﺟ هي ٩٦ إلى ١٢٠. ويمكن تبسيط ذلك إلى النسبة أربعة إلى خمسة. وعلى الرغم من أننا حسبنا نسبة ﻫﺩ إلى ﻫﺟ فقط، لكننا نتذكر أننا ذكرنا في بداية المسألة أن النسبة بين مساحتي المثلثين ﺃﻫﺩ وﺃﻫﺟ ستساوي هذه النسبة. وبناء عليه، فإن الإجابة هي أن النسبة تساوي أربعة إلى خمسة.
