فيديو الدرس: تساوي مصفوفتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم ما نعنيه بقولنا إن مصفوفتين متساويتان. وسنحدد بعض الشروط التي يجب توافرها لكي تتساوى مصفوفتان. وسنستخدم هذه الشروط لحل المعادلات التي تعتمد على مصفوفات متساوية.

قبل أن نتحدث عن المصفوفات، دعونا نبدأ بالحديث عن التساوي؛ لأننا رأينا من قبل العديد من الأنواع المختلفة من التساوي. على سبيل المثال، نعلم أنه إذا كان ﺱ يساوي خمسة وﺹ يساوي خمسة، فإن هذا يعني أن ﺱ حتمًا يساوي ﺹ لأن كليهما يمثل العدد نفسه، وهو في هذه الحالة خمسة. إذن، بالنسبة للأعداد، يسهل التحقق مما إذا كانت متساوية. فعلينا فقط التحقق مما إذا كانت متطابقة.

لكن هذا ليس النوع الوحيد من التساوي. على سبيل المثال، افترض أن المتجه ﺭ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ، والمتجه ﻡ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. في هذه الحالة، للتأكد من أن المتجهين متساويان، علينا التحقق من أن معاملي ﺱ متساويان ومعاملي ﺹ أيضًا متساويان. في هذه الحالة، معاملا ﺱ يساويان اثنين، ومعاملا ﺹ يساويان ثلاثة. إذن ﺭ يساوي ﻡ. لكن هذا يتطلب خطوات تحقق أكثر مما فعلنا مع الأعداد فقط. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتجه ﻑ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة ﺹ، فبسبب اختلاف معامل ﺹ في كل من ﺭ وﻑ، لا بد أن المتجهين ﻑ وﺭ غير متساويين.

لكننا نعلم أن ثمة مشكلة أخرى تتعلق بالمتجهات. فتخيل أنه بدلًا من ذلك، لدينا المتجه ﻑ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ﻙ. يمكننا الآن أن نرى أن معامل ﺱ يساوي اثنين، ومعامل ﺹ يساوي ثلاثة. لكننا نعلم أن المتجه ﻑ لا يزال غير مساو للمتجه ﺭ. وهذا لأن لدينا متجه اتجاه وحدة ثالثًا في ﻑ. ‏‏ﺭ متجه ثنائي الأبعاد وﻑ متجه ثلاثي الأبعاد، لذا لا يمكن أن يكونا متساويين. إذن عندما نتحدث عن التساوي، لن يكون الأمر دائمًا بسهولة التحقق من تساوي عددين.

نريد أن نتحدث هنا عن تساوي مصفوفتين. تذكر أن المصفوفات، مثل المتجهات، لها عناصر متعددة. إذن، يوجد الكثير من أوجه التشابه بين تعريف تساوي مصفوفتين وتعريف تساوي متجهين.

هيا ننتقل الآن إلى تعريفنا لتساوي مصفوفتين. لنفترض أن ﺃ وﺏ مصفوفتان تعرفان وفقًا لعناصرهما كما يلي: في المصفوفة ﺃ، العنصر الذي يقع في الصف ﺹ والعمود ﻉ سنطلق عليه ﺃﺹﻉ، وفي المصفوفة ﺏ، العنصر الذي يقع في الصف ﺹ و العمود ﻉ سيسمى ﺏﺹﻉ. فإذا كان ﺃﺹﻉ يساوي ﺏﺹﻉ لجميع قيم ﺹ وﻉ، فيمكننا القول إن المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ. بعبارة أخرى، لكي تكون المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون كل عناصرهما متطابقة.

وجدير بالملاحظة أنه إذا كان أي من العناصر غير متطابق — على سبيل المثال، إذا كانت عناصر الصف ﺹ والعمود ﻉ غير متساوية، أي كان لدينا ﺹ وﻉ بحيث ﺃﺹﻉ لا يساوي ﺏﺹﻉ — فإن المصفوفة ﺃ لا تساوي المصفوفة ﺏ. وكما هو الحال مع المتجهات، كل ما علينا فعله هو التحقق مما إذا كانت جميع العناصر متطابقة. لننتقل الآن إلى بعض الأمثلة.

إذا كانت ﺃ مصفوفة يتكون صفها الأول من ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة، وصفها الثاني من ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة، وﺏ مصفوفة يتكون صفها الأول من ثلاثة، ثلاثة وصفها الثاني من ثلاثة، ثلاثة، فهل المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ؟

لنبدأ بتذكر معنى أن تكون المصفوفتان متساويتين. بفرض أن العنصر في الصف ﺹ والعمود ﻉ للمصفوفة ﺃ هو ﺃﺹﻉ، والعنصر في الصف ﺹ والعمود ﻉ في المصفوفة ﺏ هو ﺏﺹﻉ، فإذا كان ﺃﺹﻉ يساوي ﺏﺹﻉ لجميع قيم ﺹ وﻉ، فإن المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ. وبخلاف ذلك، نقول إن هاتين المصفوفتين غير متساويتين. وعليه، للتأكد من تساوي المصفوفتين، علينا التحقق من أن جميع عناصرهما متطابقة.

لنبدأ بالمصفوفة ﺃ. نلاحظ أنها تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة. إذن في هذه الحالة، ما قيم ﺃﺹﻉ؟ أولًا، تتكون المصفوفة ﺃ من صفين وثلاثة أعمدة، إذن ستتراوح قيم ﺹ من واحد إلى اثنين وقيم ﻉ من واحد إلى ثلاثة. يمكننا الآن اتباع خطوة مماثلة مع المصفوفة ﺏ. إذا كان ﺏﻡﻥ هو عنصر المصفوفة ﺏ الذي يقع في الصف ﻡ والعمود ﻥ، فنظرًا لأن المصفوفة ﺏ التي لدينا بها صفان وعمودان فقط، فإن قيم ﻡ تتراوح من واحد إلى اثنين وقيم ﻥ أيضًا تتراوح من واحد إلى اثنين. يمكننا الآن أن ننظر إلى المسألة من منظور التعريف. يجب أن تكون العناصر متساوية لجميع الصفوف والأعمدة الممكنة. تتكون المصفوفة ﺃ من ثلاثة أعمدة. أما المصفوفة ﺏ، فتتكون من عمودين فقط. إذن لا يمكن أن تكون هاتان المصفوفتان متساويتين.

على سبيل المثال، إذا حددنا عنصري المصفوفة ﺃ في العمود الثالث، فبموجب تعريفنا للتساوي يجب أن يوجد عمود ثالث في المصفوفة ﺏ يساوي هذا العمود. إذن، في هذه الحالة، المصفوفة ﺃ لا تساوي المصفوفة ﺏ.

في الواقع، يمكننا استخدام المنطق نفسه الذي اتبعناه في هذا السؤال لنستنتج أنه إذا اختلفت رتبتا مصفوفتين، فلا يمكن أن تكونا متساويتين. بعبارة أخرى، إذا كان عدد الصفوف أو الأعمدة فيهما مختلفًا، فلا يمكن أن تكونا متساويتين. وهذا يعني أنه لتتساوى مصفوفتان، يجب أن تتكونا من عدد الصفوف والأعمدة نفسه. بعبارة أخرى، يجب أن تكون لهما الرتبة نفسها.

لكن أن تكون للمصفوفتين الرتبة نفسها لا يعني أنهما متساويتان بالطبع، وهو ما سنوضحه في المثال التالي.

إذا كانت ﺃ هي المصفوفة سالب خمسة، ثلاثة، سالب سبعة، سالب ثلاثة، وﺏ المصفوفة سالب خمسة، سالب ثلاثة، سالب سبعة، ثلاثة، فهل صحيح أن المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ؟

نتذكر هنا أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن يكون لهما عدد الصفوف والأعمدة نفسه، وأن تكون كل عناصرهما متطابقة. نلاحظ أن المصفوفة ﺃ بها صفان وعمودان، والمصفوفة ﺏ بها أيضًا صفان وعمودان. وهذا يعني أنه للتحقق مما إذا كانت ﺃ تساوي ﺏ، كل ما علينا فعله هو التحقق مما إذا كانت عناصرهما متطابقة أم لا. بعبارة أخرى، نوضح أن المصفوفة ﺃ والمصفوفة ﺏ لهما الرتبة نفسها. إذن للتأكد من تساوي هاتين المصفوفتين، علينا التأكد من تطابق جميع عناصرهما. تذكر أننا لا نقارن إلا العناصر الموجودة في الموضع نفسه في كل مصفوفة. وإذا كان أي منها غير متساو، فسنعرف أن المصفوفتين غير متساويتين.

لنبدأ بالعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في كلتا المصفوفتين. نلاحظ أن العنصر في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺃ هو سالب خمسة، والعنصر في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺏ هو أيضًا سالب خمسة. إذن، هذان العنصران متطابقان. تذكر أنه علينا التحقق من تطابق جميع العناصر. لننتقل الآن إلى الصف الثاني والعمود الأول. هذه المرة، نرى أن العنصر في الصف الثاني والعمود الأول في المصفوفة ﺃ هو سالب سبعة، والعنصر في الصف الثاني والعمود الأول في المصفوفة ﺏ هو أيضًا سالب سبعة. إذن مرة أخرى العنصران متساويان.

لكن ماذا يحدث عندما ننتقل إلى الصف الأول والعمود الثاني في كلتا المصفوفتين؟ في المصفوفة ﺃ، هذا العنصر يساوي ثلاثة. لكنه في المصفوفة ﺏ يساوي سالب ثلاثة. إذن العنصران في الصف الأول والعمود الثاني غير متساويين. وتذكر أنه لكي تكون المصفوفتان متساويتين، يجب أن تكون جميع عناصرهما متطابقة. ومن ثم بمعلومية أن المصفوفة ﺃ تساوي سالب خمسة، ثلاثة، سالب سبعة، سالب ثلاثة، والمصفوفة ﺏ تساوي سالب خمسة، سالب ثلاثة، سالب سبعة، ثلاثة، ونظرًا لاختلاف عنصريهما في الصف الأول والعمود الثاني، استنتجنا أن المصفوفة ﺃ لا تساوي المصفوفة ﺏ.

حتى الآن، لم نتناول سوى مصفوفات تحتوي على ثلاثة صفوف أو ثلاثة أعمدة على الأكثر. لكن المبدأ نفسه يمتد ليشمل المصفوفات الأكبر. فكل ما علينا فعله هو التأكد من أن جميع العناصر متطابقة وأن المصفوفتين لهما الرتبة نفسها. يمكننا الاستفادة من مفهوم تساوي المصفوفتين فيما هو أكثر من مجرد التحقق من هذا التساوي، وهذا ما سنراه في المثال التالي.

إذا كانت المصفوفة سالب أربعة، ثلاثة، ﺱ، سالب سبعة تساوي المصفوفة سالب أربعة، ثلاثة، ثمانية، ﺹ ناقص ستة، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ.

يعطينا السؤال مصفوفتين ويخبرنا أنهما متساويتان. وعلينا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. تذكر أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن تكون العناصر التي تقع في نفس الصف والعمود متطابقة. على سبيل المثال، يجب أن يكون العنصران الموجودان في الصف الأول والعمود الأول متساويين. وفي هذه الحالة، كلاهما يساوي سالب أربعة. لكن هذا لن يساعدنا كثيرًا في إيجاد قيمة ﺱ أو ﺹ. لكن ماذا إذا نظرنا إلى القيمتين في الصف الثاني والعمود الأول؟ تذكر، أنه يجب أن تكون القيمتان متساويتين. في المصفوفة الأولى، القيمة في الصف الثاني والعمود الأول هي ﺱ. وفي المصفوفة الثانية، القيمة الموجودة في الصف الثاني والعمود الأول هي ثمانية. ولكي تتساوى المصفوفتان، لا بد أن يكون هذان العنصران متساويين. بعبارة أخرى، لا بد أن يساوي ﺱ ثمانية.

يتعين علينا اتباع خطوة مماثلة لمساعدتنا في إيجاد قيمة ﺹ. نلاحظ أن ﺹ لا يظهر إلا في الصف الثاني والعمود الثاني في المصفوفة الثانية. ولكي تتساوى المصفوفتان، يجب أن تحتويان على القيمة نفسها في الصف الثاني والعمود الثاني. لذا، يمكننا ببساطة مساواة عنصري الصف الثاني والعمود الثاني في هاتين المصفوفتين. بعبارة أخرى، سالب سبعة يساوي حتمًا ﺹ ناقص ستة. ويمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. نضيف ستة إلى طرفي المعادلة. وبذلك نجد أن ﺹ يساوي سالب واحد.

أحد الأمور المفيدة في مثل هذه الحالات هو التعويض بقيمة ﺹ في المصفوفة. تذكر أنه عندما نفعل ذلك، يجب أن نحصل على العنصر سالب سبعة. إذن، نعوض عن ﺹ بسالب واحد في التعبير الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني في المصفوفة الثانية. فيعطينا ذلك سالب واحد ناقص ستة. يمكننا إيجاد قيمة ذلك، وهي سالب سبعة كما توقعنا. يساعدنا ذلك في التأكد من صحة إجابتنا. إذن بمعلومية أن المصفوفة سالب أربعة، ثلاثة، ﺱ، سالب سبعة تساوي المصفوفة سالب أربعة، ثلاثة، ثمانية، ﺹ ناقص ستة، تمكنا من توضيح أن قيمة ﺱ يجب أن تكون ثمانية، وقيمة ﺹ يجب أن تساوي سالب واحد.

عرفنا إذن أنه بمعلومية تساوي مصفوفتين، يمكننا إيجاد العناصر المجهولة فيهما. لنلق نظرة الآن على مثال آخر على ذلك.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ، بمعلومية ما يلي: المصفوفة ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠، اثنان، سالب ثلاثة، تسعة تساوي المصفوفة ٢٠، اثنين، اثنين ﺹ زائد تسعة، تسعة.

علينا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تجعلان هاتين المصفوفتين متساويتين. تذكر أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن يكون لهما نفس عدد الصفوف والأعمدة، وأن تكون جميع العناصر في نفس الصف والعمود متساوية. نلاحظ أن المصفوفتين المعطاتين لنا في السؤال يتكون كل منهما من صفين وعمودين. لن يساعدنا ذلك في إيجاد قيمتي ﺱ أو ﺹ. لذا، دعونا بدلًا من ذلك نستخدم حقيقة أن جميع العناصر التي تقع في نفس الصف والعمود لا بد أن تكون متساوية.

لنبدأ بالصف الأول والعمود الأول. في المصفوفة الأولى، هذا العنصر هو ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠. أما في المصفوفة الثانية، فهو ٢٠. ولكي تتساوى المصفوفتان، لا بد أن يكون هذان العنصران متساويين. بعبارة أخرى، بمساواة العنصرين في الصف الأول والعمود الأول في كلتا المصفوفتين، نجد أن ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ يساوي ٢٠. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. نبدأ بطرح ١٠ من طرفي المعادلة. ويعطينا ذلك ١٠ﺱ تربيع يساوي ١٠. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على ١٠. وهو ما يعطينا ﺱ تربيع يساوي واحدًا.

وأخيرًا، تتمثل إحدى طرق حل هذه المعادلة في أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. تذكر أننا سنحصل على الجذر التربيعي الموجب والسالب. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد. في هذه الحالة، لا يهم إذا كان ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد. ففي كلتا الحالتين، يكون العنصران الموجودان في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفتين متساويين. لكن لا يمكننا التوقف هنا. فعلينا التحقق مما إذا كان ﺱ يظهر في أي من العناصر الأخرى للمصفوفتين؛ وذلك لأن أحد الحلين قد لا يكون صحيحًا في هذه الحالة. إذا ألقينا نظرة سريعة على بقية عناصر المصفوفتين، فسنجد أن أيًا منها لا يحتوي على المتغير ﺱ، ومن ثم فإن قيمها لا تعتمد على ﺱ. لذا لا يهم إذا كان ﺱ يساوي واحدًا أو سالب واحد عند التحقق من تساوي هاتين المصفوفتين. فستكون العناصر كما هي. إذن في الواقع، ﺱ يمكن أن يساوي موجب أو سالب واحد في هذه الحالة.

لنتحقق الآن من بقية عناصر المصفوفتين. نلاحظ في الصف الأول والعمود الثاني أن العنصرين يساويان اثنين. ونلاحظ الأمر نفسه في الصف الثاني والعمود الثاني. فالعنصران هنا يساويان تسعة. وفي كلتا الحالتين لا يظهر المتغيران ﺱ وﺹ، ومن ثم فإن كل عنصرين متساويان بغض النظر عن قيمتي هذين المتغيرين.

آخر عنصرين علينا التأكد منهما هما عنصرا الصف الثاني والعمود الأول. مرة أخرى، تذكر أنه بمعلومية أن هاتين المصفوفتين متساويتان، يجب أن يكون العنصران الموجودان في الصف الثاني والعمود الأول في كل منهما متساويين أيضًا. إذن بمساواة هذين العنصرين، نحصل على سالب ثلاثة يساوي اثنين ﺹ زائد تسعة. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. نبدأ بطرح تسعة من كلا طرفي المعادلة. وهو ما يعطينا سالب ١٢ يساوي اثنين ﺹ. والآن، علينا قسمة طرفي المعادلة على اثنين. نرى أن هذا يعطينا ﺹ يساوي سالب ستة. ومن ثم، بمعلومية أن المصفوفة ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠، اثنين، سالب ثلاثة، تسعة تساوي المصفوفة ٢٠، اثنين، اثنين ﺹ زائد تسعة، تسعة، وجدنا أن قيمة ﺱ يجب أن تساوي موجب أو سالب واحد وقيمة ﺹ يجب أن تساوي سالب ستة.

دعونا نستعرض الآن مثالًا آخر على كيفية استخدام تساوي مصفوفتين لإيجاد قيمة متغيرات معينة.

‏‏ﺃ تساوي سالب ١٠ﺱ، ﺱ زائد ثلاثة ﺹ، اثنين ﺱ ناقص ﻉ، وﺏ تساوي سالب ٣٠، ٢٧، ١٠ مصفوفتان. إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ وﻉ.

في هذا السؤال، لدينا المصفوفتان ﺃ وﺏ. ونلاحظ أن عناصر المصفوفة ﺃ تعتمد على المتغيرات الثلاثة ﺱ وﺹ وﻉ. ونعلم، في الواقع، من المعطيات أن هاتين المصفوفتين متساويتان. وعلينا استخدام هذه المعلومة لتحديد قيم ﺱ وﺹ وﻉ. تذكر أننا نقول إن المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ إذا كانت جميع العناصر في نفس الصف والعمود متساوية. وهذا يخبرنا، في الواقع، أيضًا أن المصفوفتين لا بد أن تحتويان على عدد الصفوف والأعمدة نفسه.

في هذا السؤال، المصفوفة ﺃ تساوي سالب ١٠ﺱ، ﺱ زائد ثلاثة ﺹ، اثنين ﺱ ناقص ﻉ، والمصفوفة ﺏ تساوي سالب ٣٠، ٢٧، ١٠. بما أننا نعلم أن هاتين المصفوفتين متساويتان، فالعناصر الموجودة في نفس الصف والعمود لا بد أن تكون متساوية. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺃ هو سالب ١٠ﺱ، والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺏ هو سالب ٣٠. ولكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن يكون هذان العنصران متساويين، أي إن سالب ١٠ﺱ لا بد أن يساوي سالب ٣٠. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. سنقسم كلا الطرفين على سالب ١٠. فنتوصل إلى أن قيمة ﺱ يجب أن تساوي ثلاثة.

لننتقل الآن إلى الصف الأول والعمود الثاني في المصفوفتين. في المصفوفة ﺃ، نلاحظ أن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني يساوي ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. وفي المصفوفة ﺏ، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني يساوي ٢٧. وبما أن هاتين المصفوفتين متساويتان، إذن لا بد أن هذين العنصرين متساويان أيضًا. وهو ما يعطينا ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يجب أن يساوي ٢٧. تذكر أننا توصلنا إلى أن قيمة ﺱ لا بد أن تساوي ثلاثة، لذا يمكننا التعويض بذلك في المعادلة. فنتوصل إلى أن ثلاثة زائد ثلاثة ﺹ يجب أن يساوي ٢٧. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. نبدأ بطرح ثلاثة من كلا طرفي المعادلة. فيصبح لدينا ثلاثة ﺹ يساوي ٢٤. والآن لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ، نقسم كلا الطرفين على ثلاثة. وبذلك، نحصل على ﺹ يساوي ٢٤ مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يساوي ثمانية.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع العنصر الأخير في كلتا المصفوفتين، وهو العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث. في المصفوفة ﺃ، هذا العنصر يساوي اثنين ﺱ ناقص ﻉ. وفي المصفوفة ﺏ، يساوي ١٠. ونعلم من المعطيات أن المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ، إذن لا بد أن يكون هذان العنصران متساويين. ومن ثم، نحصل على اثنين ﺱ ناقص ﻉ يساوي ١٠. تذكر أننا استنتجنا من قبل أنه إذا كانت المصفوفتان متساويتين، فلا بد أن ﺱ يساوي ثلاثة. إذن لمساعدتنا في إيجاد قيمة ﻉ، سنعوض بـ ﺱ يساوي ثلاثة في هذه المعادلة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، نحصل على اثنين في ثلاثة ناقص ﻉ يساوي ١٠. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ. نضيف ﻉ إلى كلا طرفي المعادلة، ثم نطرح ١٠ من هذين الطرفين. وهو ما يعطينا ﻉ يساوي سالب أربعة. وبذلك نكون قد توصلنا إلى أن ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثمانية، وﻉ يساوي سالب أربعة.

لكن تذكر أنه من المفيد جدًا التعويض بهذه القيم في المصفوفة للتحقق من أن الإجابة صحيحة. إذن، فلنعوض بـ ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثمانية، وﻉ يساوي سالب أربعة في المصفوفة ﺃ. عند التعويض بهذه القيم، نجد أن المصفوفة ﺃ تساوي سالب ١٠ في ثلاثة، ثلاثة زائد ثلاثة في ثمانية، اثنين في ثلاثة ناقص سالب أربعة. وإذا حسبنا قيمة كل عنصر من هذه العناصر، فسنحصل على سالب ٣٠، ٢٧، ١٠. يطابق كل عنصر من هذه العناصر العناصر الموجودة في المصفوفة ﺏ، ومن ثم نعرف أننا توصلنا إلى الحل الصحيح.

وعليه، إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب ١٠ﺱ، ﺱ زائد ثلاثة ﺹ، اثنين ﺱ ناقص ﻉ، والمصفوفة ﺏ تساوي سالب ٣٠، ٢٧، ١٠، فلكي تتساوى ﺃ مع ﺏ، يجب أن يكون ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ثمانية، وﻉ يساوي سالب أربعة.

والآن لنستعرض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أوضحنا أنه إذا كانت لدينا مصفوفتان، وهما المصفوفة ﺃ حيث العنصر الموجود في الصف ﺹ والعمود ﻉ هو ﺃﺹﻉ، والمصفوفة ﺏ حيث العنصر الموجود في الصف ﺹ والعمود ﻉ هو ﺏﺹﻉ، فلكى تتساوى هاتان المصفوفتان لا بد أن يكون ﺃﺹﻉ يساوي ﺏﺹﻉ لجميع قيم ﺹ وﻉ. بعبارة أخرى، يجب أن تكون جميع عناصر المصفوفتين متطابقة. وقد أوضح لنا هذا التعريف بعض الخصائص المثيرة للاهتمام.

على سبيل المثال، إذا كان ﺃﺹﻉ لا يساوي ﺏﺹﻉ بالنسبة لبعض عناصر ﺹ وبعض عناصر ﻉ، فيمكننا أن نقول إن المصفوفة ﺃ لا تساوي المصفوفة ﺏ. بعبارة أخرى، يكفي أن يكون هناك عنصر واحد فقط مختلف في الصف ﺹ والعمود ﻉ في المصفوفتين لكي تكونا غير متساويتين. ويترتب على هذا التعريف أيضًا أنه إذا كانت المصفوفتان ﺃ وﺏ مختلفتين في الرتبة، فإن المصفوفة ﺃ لا يمكن أن تساوي المصفوفة ﺏ. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أنه إذا اختلف عدد الصفوف أو عدد الأعمدة بين المصفوفتين، فلا يمكن أن تكونا متساويتين.