تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة الكثيرة الحدود

أحمد لطفي

افترِض أن د(ﺱ) = −٤ﺱ^٣ + ٥ﺱ^٢ + ١٢ﺱ. أوجد الفترات التي تكون هذه الدالة تزايدية عليها والفترات التي تكون تناقصية عليها.

٠٦:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن د س بتساوي سالب أربعة س أُس تلاتة زائد خمسة س أُس اتنين زائد اتناشر س. أوجد الفترات التي تكون هذه الدالة تزايدية عليها، والفترات التي تكون تناقصية عليها.

في البداية لو افترضنا عندنا دالة د س، هنوجد المشتقة الأولى للدالة اللي هي د شرطة س، وهنشوف إمتى د شرطة س هتكون أصغر من الصفر، وإمتى د شرطة س هتكون بتساوي صفر، وإمتى د شرطة س هتكون أكبر من الصفر. وقيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة، اللي هي د شرطة س، تكون أصغر من الصفر، هتكوّن الفترات اللي بتكون الدالة تناقصية عليها. وقيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة أكبر من صفر، يعني د شرطة س بتكون أكبر من صفر، هتكون هي الفترات اللي بتكون الدالة تزايدية عليها. وقيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة بتساوي صفر، يعني د شرطة س بتساوي صفر، بتعتبر هي الإحداثي السيني للنقاط الحرجة، وهي النقاط اللي بتتحول فيها الدالة من تزايدية إلى تناقصية، أو العكس.

وبالتالي مُعطى الدالة د س بتساوي سالب أربعة س أُس تلاتة زائد خمسة س أُس اتنين زائد اتناشر س، هنوجد المشتقة الأولى للدالة د س، فهتكون د شرطة س هتساوي مشتقة سالب أربعة س أُس تلاتة هتساوي سالب اتناشر س أُس اتنين زائد مشتقة خمسة س أُس اتنين هتساوي عشرة س زائد مشتقة اتناشر س هتساوي اتناشر. يبقى كده قدرنا نوجد إن د شرطة س بتساوي سالب اتناشر س أُس اتنين زائد عشرة س زائد اتناشر.

هنوجد النقاط الحرجة، يعني هنوجد قيم س اللي بتكون عندها د شرطة س بتساوي صفر. هنكتب آخر خطوة وصلنا لها مرة كمان؛ وبالتالي عند د شرطة س بتساوي صفر هيكون عندنا سالب اتناشر س تربيع زائد عشرة س زائد اتناشر بتساوي صفر. هنقسم المعادلة على اتنين، فهيكون عندنا سالب ستة س تربيع زائد خمسة س زائد ستة بتساوي صفر. بالتحليل هيكون عندنا اتنين س ناقص تلاتة مضروبة في تلاتة س زائد اتنين بتساوي صفر. وبالتالي يا إما اتنين س ناقص تلاتة هتساوي صفر، هنجمع تلاتة على الطرفين يعني هيكون عندنا اتنين س هتساوي تلاتة. هنقسم الطرفين على اتنين هيكون عندنا س بتساوي تلاتة على اتنين. وبالتالي أول قيمة لـ س هي س بتساوي تلاتة عَ الاتنين. أو عندنا تلاتة س زائد اتنين هيساوي صفر، هنطرح اتنين من الطرفين يعني هيكون عندنا تلاتة س هتساوي سالب اتنين. هنقسم الطرفين على تلاتة هيكون عندنا س بتساوي سالب اتنين على تلاتة. وبالتالي تاني قيمة هتكون س بتساوي سالب اتنين على تلاتة.

ويبقى كده قدرنا نوجد قيم س اللي بتكون عندها المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر؛ وبالتالي عشان نوجد قيم س اللي بتكون الدالة تزايدية أو تناقصية عليها، هنرسم خط أعداد وهنحط عليه النقاط الحرجة.

هنختار أي قيمة لـ س في الفترة ما بين سالب ما لا نهاية وسالب اتنين على تلاتة، وهنعوّض بيها في المشتقة الأولى للدالة د س، وهنشوف إذا كانت المشتقة الأولى للدالة د س هتكون موجبة ولا سالبة. مثلًا هنختار عند س بتساوي سالب اتنين، فهنوجد د شرطة سالب اتنين، يعني هتساوي سالب اتناشر في سالب اتنين تربيع زائد عشرة في سالب اتنين زائد اتناشر، يعني د شرطة سالب اتنين هتساوي سالب ستة وخمسين؛ يعني عندنا في الفترة من سالب ما لا نهاية لسالب اتنين على تلاتة، المشتقة الأولى للدالة هتكون سالبة. وبما إن في الفترة دي المشتقة الأولى للدالة د س هتكون سالبة، يبقى الدالة هتكون تناقصية على الفترة.

تاني فترة هي الفترة ما بين سالب اتنين على تلاتة وتلاتة على اتنين. هنختار قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي صفر، هنعوّض في المشتقة الأولى للدالة عند س بتساوي صفر، فهيكون عندنا د شرطة صفر هتساوي سالب اتناشر في صفر تربيع زائد عشرة في صفر زائد اتناشر، يعني هتساوي اتناشر؛ وبالتالي هنجد إن المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة من سالب اتنين على تلاتة لتلاتة عَ الاتنين هتكون موجبة. وبما إن المشتقة الأولى للدالة د س هتكون موجبة على الفترة، فالدالة هتكون تزايدية على الفترة.

وبالنسبة لآخر فترة من تلاتة عَ الاتنين لما لا نهاية، هنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة؛ مثلًا عند س بتساوي اتنين، هنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س عند س بتساوي اتنين، يعني هنوجد د شرطة اتنين، هتساوي سالب اتناشر في اتنين أُس اتنين زائد عشرة في اتنين زائد اتناشر؛ يعني د شرطة اتنين هتساوي سالب ستاشر. وبما إن المشتقة الأولى للدالة في الفترة كانت سالبة، يبقى نقدر نقول إن الدالة هتكون تناقصية على الفترة؛ وبالتالي الدالة د س بتساوي سالب أربعة س أُس تلاتة زائد خمسة س أُس اتنين زائد اتناشر س هتكون تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية لسالب اتنين على تلاتة، وأيضًا على الفترة المفتوحة من تلاتة على اتنين إلى ما لا نهاية؛ وهتكون الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اتنين على تلاتة إلى تلاتة عَ الاتنين. ويبقى كده قدرنا نوجد الفترات اللي بتكون الدالة تزايدية أو تناقصية عليها.