فيديو الدرس: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط المقادير المثلثية بتطبيق المتطابقات المثلثية. نبدأ بتذكر أن المتطابقة هي معادلة صحيحة بغض النظر عن القيم المختارة. سنتناول ثلاثة أنواع من المتطابقات المثلثية؛ وهي: متطابقات فيثاغورس، ومتطابقات المقلوب، ومتطابقات الزاويتين المتتامتين.

دعونا نبدأ بتناول خواص دائرة الوحدة. لعلنا نتذكر أن دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها واحد، كما هو موضح. تسمح لنا دائرة الوحدة بقياس الجيب، وجيب التمام، والظل لأي زاوية 𝜃، لأن الإحداثي ﺱ لأي نقطة تقع على المحيط يمثل جتا 𝜃، والإحداثي ﺹ يمثل جا 𝜃. يقودنا المثلث القائم الزاوية في هذا الشكل، إلى جانب استخدام نظرية فيثاغورس، إلى متطابقة فيثاغورس الأولى. ‏جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بتذكر متطابقات المقلوب المثلثية، يمكننا صياغة متطابقتين أخريين من متطابقات فيثاغورس.

دوال المقلوب الثلاث هي: القاطع، وقاطع التمام، وظل التمام؛ حيث قا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. ‏𝜃 قتا يساوي واحدًا على جا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه بما أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. ويمكن إيجاد متطابقة فيثاغورس التالية بقسمة طرفي المتطابقة الأولى على جتا تربيع 𝜃. ‏جا تربيع 𝜃 مقسومًا على جتا تربيع 𝜃 يساوي ظا تربيع 𝜃. ‏جتا تربيع 𝜃 مقسومًا على جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وأخيرًا، واحد مقسومًا على جتا تربيع 𝜃 يساوي قا تربيع 𝜃. وتوضح المتطابقة الثانية أن ظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃.

بالعودة إلى المتطابقة الأولى، سنقسم الآن كل حد على جا تربيع 𝜃. وهذا يعطينا: واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. لدينا الآن مجموعة من ثلاث من متطابقات فيثاغورس. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب تبسيطًا للمقادير المثلثية.

بسط جا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط أحد المقادير المثلثية. وإحدى طرق فعل ذلك هي استخدام متطابقات المقلوب وفيثاغورس. في هذا النوع من الأسئلة، لا يتضح دائمًا ما علينا فعله أولًا. لكن، بوصفها قاعدة عامة، يجدر بنا البدء بالتعويض عن أي دوال مقلوب بدوال الجيب وجيب التمام والظل. نعلم أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. بالتعويض بهذا في هذا المقدار، يصبح لدينا: جا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃. تحذف جا 𝜃 من البسط مع التي في المقام من الحد الأول. إذن، يتبقى لدينا: واحد ناقص جتا تربيع 𝜃.

بعد ذلك، نتذكر إحدى متطابقات فيثاغورس. ‏جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بطرح جتا تربيع 𝜃 من الطرفين، نحصل على: جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. هذا يعني أن المقدار يبسط إلى: جا تربيع 𝜃. ‏جا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 في أبسط صورة يساوي جا تربيع 𝜃.

سنلقي نظرة الآن على مثال ثان من هذا النوع.

بسط جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 مقسومًا على قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر متطابقات فيثاغورس. أولًا، لدينا جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بقسمة كل حد على جا تربيع 𝜃، تصبح لدينا المتطابقة الثانية. واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. نعرف ذلك بناء على مقلوب الدوال المثلثية؛ حيث جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃، وواحد على جا 𝜃 يساوي قتا 𝜃. بسط المقدار يماثل الطرف الأيمن من المتطابقة الأولى. يمكننا إذن التعويض عن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 بواحد. بطرح ظتا تربيع 𝜃 من طرفي المتطابقة الثانية، نحصل على: واحد يساوي قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃.

الطرف الأيسر هنا يساوي مقام هذا المقدار. وهذا يعني أن ذلك يساوي واحدًا أيضًا. يمكن تبسيط المقدار إلى واحد مقسومًا على واحد. يمكننا إذن استنتاج أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 مقسومًا على قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا.

قبل أن نتناول مثالنا التالي، سنتذكر متطابقات الزاويتين المتتامتين. مرة أخرى، ننظر إلى دائرة الوحدة التي رأيناها سابقًا. بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث ١٨٠ درجة، فإن الزاوية الثالثة في المثلث القائم الزاوية تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. لنر ما سيحدث إذا أعدنا رسم هذا المثلث بحيث تكون الزاوية المحصورة بين المحور ﺱ الموجب ووتر المثلث تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. وسيكون إحداثيا النقطة المحددة على دائرة الوحدة هما: جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃، جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃.

نلاحظ أن المسافة في اتجاه المحور ﺱ هنا تساوي المسافة في اتجاه المحور ﺹ في المثلث الأول. هذا يعني أن جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. وبالمثل، فإن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. بما أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن ظل الزاوية ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃. وباستخدام معرفتنا بدوال المقلوب، فهذا يساوي ظتا 𝜃. ومن ثم، فإن قا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قتا 𝜃. ‏قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قا 𝜃. وظتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 هو ظا 𝜃.

باستخدام ما نعرفه عن الزاويتين المتتامتين، لدينا هذه المعادلات الست التي تعرف باسم متطابقات الزاويتين المتتامتين. من المهم ملاحظة أنه إذا كانت الزوايا معطاة بالراديان، فإن 𝜋 على اثنين راديان يساوي ٩٠ درجة. سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى استخدام هذه المتطابقات.

بسط جتا 𝜃 مضروبًا في قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص ظا 𝜃 مضروبًا في ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃.

عند الإجابة عن سؤال من هذا النوع، فإن الخطوة الأولى هي محاولة تبسيط المقدار باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين. باستخدام ما نعرفه عن الزاويتين المتتامتين ودائرة الوحدة، نعرف أن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃، وجتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. دالة قاطع التمام هي مقلوب دالة الجيب. ومن ثم، فإن قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وهو ما يساوي قا 𝜃. يمكننا إذن إعادة كتابة الحد الأول في المقدار على الصورة: جتا 𝜃 مضروبًا في قا 𝜃.

بعد ذلك، بتذكر أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃، وهو ما يساوي ظتا 𝜃. الحد الثاني من المقدار يبسط إلى: ظا 𝜃 مضروبًا في ظتا 𝜃.

خطوتنا التالية هي استخدام معرفتنا بدوال المقلوب. نعلم أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃 وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. يصبح المقدار لدينا: جتا 𝜃 مضروبًا في واحد على جتا 𝜃 ناقص ظا 𝜃 مضروبًا في واحد على ظا 𝜃. يمكن تبسيط كلا جزأي المقدار إلى واحد. إذن يتبقى لدينا واحد ناقص واحد. يمكننا إذن استنتاج أن جتا 𝜃 مضروبًا في قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص ظا 𝜃 مضروبًا في ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي صفرًا.

في المثال الأخير، سنتناول مسألة أكثر تعقيدًا، وسنستخدم مجموعة متنوعة من المتطابقات الموضحة في هذا الفيديو.

بسط واحدًا زائد ظتا تربيع ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃.

للإجابة عن هذا السؤال، سنحتاج إلى استخدام مجموعة متنوعة من المتطابقات المثلثية. في الأسئلة من هذا النوع، لا يتضح لنا دائمًا من أين نبدأ. وفي هذا السؤال، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا مع وجود الزاوية ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃. ونتيجة لذلك، سنبدأ بجعل 𝛼 يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃. هذا يتيح لنا إعادة كتابة المقدار على الصورة: واحد زائد ظتا تربيع 𝛼 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع 𝛼. تنص متطابقات فيثاغورس على أن: جا تربيع 𝛼 زائد جتا تربيع 𝛼 يساوي واحدًا. ‏ظا تربيع 𝛼 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝛼. وواحد زائد ظتا تربيع 𝛼 يساوي قتا تربيع 𝛼.

نلاحظ أن بسط الكسر يماثل الطرف الأيمن من المتطابقة الثالثة. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: قتا تربيع 𝛼. مقام المقدار يماثل الطرف الأيمن من المتطابقة الثانية. يمكننا إذن إعادة كتابة المقدار على الصورة: قتا تربيع 𝛼 على قا تربيع 𝛼. تنص متطابقتان من متطابقات مقلوب الدوال المثلثية على أن: قتا 𝛼 يساوي واحدًا على جا 𝛼، وقا 𝛼 يساوي واحدًا على جتا 𝛼. ويمكن أيضًا إعادة كتابة المتطابقة الثانية على الصورة: واحد على قا 𝛼 يساوي جتا 𝛼.

بإعادة كتابة قتا تربيع 𝛼 على الصورة: واحد على جا تربيع 𝛼، وواحد على قا تربيع 𝛼 على الصورة: جتا تربيع 𝛼؛ يصبح لدينا: واحد على جا تربيع 𝛼 مضروبًا في جتا تربيع 𝛼. وهذا يساوي جتا تربيع 𝛼 على جا تربيع 𝛼، وهو ما بدوره يساوي ظتا تربيع 𝛼. بالتعويض عن 𝛼 بثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، نحصل على: ظتا تربيع لثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃. قد نعتقد أن هذه هي الإجابة النهائية. ولكن يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. ويمكننا فعل ذلك بالنظر إلى الزوايا المنتسبة في دائرة الوحدة. نعرف أن إحداثيي النقطة الموضحة على دائرة الوحدة في الربع الأول هما: جتا 𝜃، جا 𝜃. نعلم أن ثلاثة 𝜋 على اثنين راديان يساوي ٢٧٠ درجة. وتوضح النقطة ذات الإحداثيين جتا ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃، جا ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 كما يلي.

نلاحظ أن الإزاحة في الاتجاه السالب للمحور ﺱ في هذا المثلث تساوي الإزاحة في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ في المثلث الأول. هذا يعني أن جتا ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وبالمثل، فإن جا ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. بما أن جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃، فإنه بقسمة هاتين المعادلتين نحصل على: ظتا ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃 على سالب جتا 𝜃. يبسط الطرف الأيمن إلى ظا 𝜃. ومن ثم، فإن ظتا تربيع ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 يساوي ظا تربيع 𝜃. المقدار الابتدائي واحد زائد ظتا تربيع ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 مقسومًا على واحد زائد ظا تربيع ثلاثة 𝜋 على اثنين ناقص 𝜃 هو ظا تربيع 𝜃.

سنلخص الآن النقاط الأساسية الواردة في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، بسطنا المقادير المثلثية باستخدام مجموعة متنوعة من المتطابقات المثلثية. أولًا، متطابقات فيثاغورس. ‏جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا، وظا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قا تربيع 𝜃، وواحد زائد ظتا تربيع 𝜃 يساوي قتا تربيع 𝜃. نستخدم أيضًا متطابقات المقلوب. قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وقا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. بما أن جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإننا قد رأينا أيضًا أن جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃.

وأخيرًا، رأينا متطابقات الزاويتين المتتامتين. ‏جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃، وجتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. وباستخدام متطابقات المقلوب، تمكنا أيضًا من صياغة أربع متطابقات للزاويتين المتتامتين. ‏قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قا 𝜃، وقا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي قتا 𝜃، وظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃، وأخيرًا ظتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظا 𝜃.