نسخة الفيديو النصية
أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع لكل ﺱ أقل من اثنين، وسالب اثنين ﺱ زائد ١٠ لكل ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين؟
الدالة المعطاة في السؤال معرفة بشكل مختلف على أجزاء مختلفة من مجالها. عندما يكون ﺱ أقل من اثنين، فإن ﺩﺱ تساوي الدالة التربيعية ﺱ تربيع، وعندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين، فإن ﺩﺱ تساوي الدالة الخطية سالب اثنين ﺱ زائد ١٠. ومن ثم، ﺩﺱ هي دالة متعددة التعريف؛ أي أنها دالة تتكون من عدة دوال جزئية، كل منها معرف على مجال جزئي معين. علينا تحديد التمثيل البياني لهذه الدالة المتعددة التعريف. لذا، دعونا نرسمها بأنفسنا.
كما ذكرنا من قبل، بالنسبة إلى قيم ﺱ الأقل من اثنين ولا تساويه، فإن ﺩﺱ تساوي الدالة التربيعية ﺱ تربيع. ويمكننا رسم هذا من خلال معرفتنا بالتمثيلات البيانية للدوال التربيعية أو بالتعويض ببعض قيم ﺱ الأقل من اثنين. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي سالب اثنين، نجد أن ﺱ تربيع يساوي أربعة. وعند ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد، نجد أن ﺱ تربيع يساوي واحدًا. وعند ﺱ يساوي صفرًا، نجد أن ﺱ تربيع يساوي صفرًا أيضًا. بذلك، نحصل على هذا الجزء من التمثيل البياني. وبما أن هذا الجزء من التعريف ينطبق فقط على قيم ﺱ الأقل من اثنين وليس قيم ﺱ التي تساوي اثنين بالضبط، دعونا نضع دائرة مفرغة عند الطرف الأيمن من منحنى الدالة التربيعية هذا للإشارة إلى أنه لا يتضمن النقطة اثنين، أربعة.
لقد رسمنا جزءًا من التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. والآن، دعونا نفكر فيما يحدث عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين. ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ زائد ١٠، وهي دالة خطية؛ لذا فإن تمثيلها البياني عبارة عن خط مستقيم. أسهل طريقة لرسم ذلك هي التعويض ببعض قيم ﺱ. عند ﺱ يساوي اثنين، قيمة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين مضروبًا في اثنين زائد ١٠. هذا يساوي سالب أربعة زائد ١٠ ؛ أي ستة، ومن ثم نحصل على نقطة إحداثياتها اثنان، ستة. وعند ﺱ يساوي أربعة، قيمة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين مضروبًا في أربعة زائد ١٠. هذا يعطينا سالب ثمانية زائد ١٠ ؛ أي اثنين. ومن ثم، نحصل أيضًا على النقطة أربعة، اثنين.
برسم هاتين النقطتين ثم توصيلهما معًا بخط مستقيم، نحصل على الجزء الثاني من التمثيل البياني. لكن هذه المرة، بما أن هذا الجزء من تعريف الدالة يتضمن ﺱ يساوي اثنين، فسنضع دائرة مظللة عند النقطة التي نجد عندها أن ﺱ يساوي اثنين.
والآن، دعونا نقارن ما رسمناه بالتمثيلات البيانية الخمسة المعطاة. عندما نفعل ذلك، نلاحظ أن جميعها متشابهة للغاية. فجميع التمثيلات البيانية الخمسة لها جزء يمثل دالة تربيعية عندما يكون ﺱ أقل من اثنين، وجزء يمثل دالة خطية بميل سالب. لكننا إذا نظرنا إلى التمثيلات البيانية ﺃ وﺏ وﻫ، فسنلاحظ أن الجزء الذي يمثل الدالة الخطية في كل منها لا يناظر الدالة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ زائد ١٠. نحن نعلم أن هذه الدالة تتضمن النقطة التي إحداثياتها اثنان، ستة. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون هناك مسافة رأسية بين جزأي التمثيل البياني. لذا، يمكننا استبعاد التمثيلات البيانية ﺃ وﺏ وﻫ. ويتبقى لدينا التمثيلان البيانيان ﺟ وﺩ. وهما متشابهان للغاية. لكن الفرق الوحيد بينهما هو ما يحدث عند ﺱ يساوي اثنين. في التمثيل البياني ﺟ، هناك دائرة مظللة في الجزء الذي يمثل الدالة التربيعية ودائرة مفرغة في الجزء الذي يمثل الدالة الخطية، لكن في التمثيل البياني ﺩ العكس صحيح.
بالرجوع إلى التمثيل البياني لدينا، نلاحظ أن الدائرة المظللة يجب أن تقع في الجزء الذي يمثل الدالة الخطية؛ لأن ﺱ يساوي اثنين متضمن في الجزء الثاني من المجال الجزئي للدالة. إذن، التمثيل البياني ﺩ هو التمثيل البياني الصحيح للدالة المتعددة التعريف. فهو يتضمن الدالة التربيعية الصحيحة لكل ﺱ أقل من اثنين، والدالة الخطية الصحيحة لكل ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين، كما يتضمن أيضًا الشكل الصحيح للدائرتين المظللة والمفرغة عند قيمة ﺱ التي يتغير عندها تعريف الدالة.
