نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص ثمانية ﺱ أس ثمانية ناقص خمسة ﺱ أس خمسة ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد تكامل دالة بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذه دالة كثيرة الحدود. ونحن نعلم أنه يمكننا حساب تكامل دالة كثيرة الحدود حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للتكامل. تنص قاعدة القوة للتكامل على أنه لأي ثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. ونضيف واحدًا إلى أس ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد.
نحن نريد هنا تطبيق التكامل حدًّا تلو الآخر لإيجاد تكامل الدالة كثيرة الحدود لدينا. لنبدأ بالحد الرئيسي، ثلاثة ﺱ أس تسعة. إننا نريد إضافة واحد إلى أس ﺱ، لنحصل بذلك على أس جديد وهو ١٠، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. هذا يعطينا ثلاثة ﺱ أس ١٠ مقسومًا على ١٠. ويمكننا إضافة ثابت التكامل عند إيجاد التكامل لكل حد في الدالة. لكننا سنجمع هذه الثوابت بعد ذلك لنحصل على ثابت تكامل واحد في النهاية.
دعونا إذن نوجد تكامل الحد التالي. نريد إيجاد تكامل سالب ثمانية ﺱ أس ثمانية. وعلينا إضافة واحد إلى الأس لنحصل على أس جديد وهو تسعة. وسنقسم على هذا الأس الجديد. علينا إذن طرح ثمانية ﺱ أس تسعة مقسومًا على تسعة. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع الحد التالي. نضيف واحدًا إلى الأس خمسة لنحصل على أس جديد، وهو ستة، ونقسم على هذه القيمة. ونحصل بذلك على سالب خمسة ﺱ أس ستة مقسومًا على ستة.
هناك بعض الطرق المختلفة لإيجاد تكامل الحد الثابت في هذه الدالة كثيرة الحدود. تتمثل إحدى الطرق في كتابة هذا الثابت على الصورة سالب اثنين في ﺱ أس صفر، ثم تطبيق قاعدة القوة للتكامل. نضيف واحدًا إلى الأس صفر لنحصل على أس جديد ثم نقسم على هذا الأس الجديد، ونحصل بذلك على سالب اثنين ﺱ أس واحد الكل مقسومًا على واحد، وهو ما يمكن تبسيطه لنحصل على سالب اثنين ﺱ. لكن من الأسهل عادة أن نتذكر أنه يمكننا إيجاد تكامل أي ثابت بضربه في ﺱ. وهذا لأن ذلك يعطينا المشتقة العكسية لهذه الدالة. على سبيل المثال، مشتقة سالب اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب اثنين. باستخدام أي من الطريقتين، علينا طرح اثنين ﺱ. وتذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. وبما أنه لا يوجد أي عوامل مشتركة في البسط والمقام، فلا يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن تكامل ثلاثة ﺱ أس تسعة ناقص ثمانية ﺱ أس ثمانية ناقص خمسة ﺱ أس خمسة ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس ١٠ على ١٠ ناقص ثمانية ﺱ أس تسعة على تسعة ناقص خمسة ﺱ أس ستة على ستة ناقص اثنين ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
