نسخة الفيديو النصية
أي أنظمة المعادلات الآتية يمكن تمثيله في صورة المعادلة المصفوفية من الرتبة اثنين في اثنين وهي ١١، اثنان، سالب ثلاثة، أربعة في المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي ﺱ، ﺹ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي سالب خمسة، ستة؟ هل الخيار (أ) أربعة ﺹ يساوي سالب خمسة زائد ثلاثة ﺱ، و١١ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ستة؟ أم الخيار (ب) ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة، وأربعة ﺹ يساوي ستة زائد ثلاثة ﺱ؟ أم الخيار (ج) ١١ﺹ يساوي سالب خمسة زائد ثلاثة ﺱ، وأربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ستة؟ أم الخيار (د) أربعة ﺹ يساوي سالب خمسة زائد اثنين ﺱ، و١١ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ستة؟ أم الخيار (هـ) ١١ﺹ يساوي سالب خمسة زائد اثنين ﺱ، وأربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ستة؟
في هذا السؤال، لدينا صورة المعادلة المصفوفية لنظام يتكون من معادلتين خطيتين، وعلينا تحديد أي أنظمة المعادلات الخمسة المعطاة يمكن تمثيله في صورة المعادلة المصفوفية هذه. هذا يعطينا طريقتين مختلفتين للإجابة عن هذا السؤال. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها فعل ذلك هي إعادة كتابة جميع أنظمة المعادلات الخمسة في صورة المعادلة المصفوفية. وسنفعل ذلك بكتابة جميع الخيارات الخمسة في الصورة القياسية، أي إيجاد مصفوفة المعاملات ومصفوفة المتغيرات ومصفوفة الثوابت. ولكن، علينا اتباع هذه العملية مع جميع الخيارات الخمسة لدينا. لذا، دعونا بدلًا من ذلك نكتب المعادلة المصفوفية المعطاة على صورة نظام من معادلتين خطيتين.
لفعل ذلك، علينا إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة. ويمكننا القيام بذلك من خلال تذكر أنه لضرب مصفوفتين معًا، علينا ضرب العناصر المتناظرة من صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية وجمع النواتج معًا. وعلى وجه التحديد، نعلم أن المصفوفة الأولى يجب أن تحتوي على عدد أعمدة يماثل عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. المصفوفة الأولى التي لدينا هنا هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ لأنها تحتوي على صفين وعمودين. والمصفوفة الثانية هي مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد؛ لأنها تحتوي على صفين وعمود واحد.
إذن، عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. ويمكننا أيضًا استنتاج أن المصفوفة الناتجة عند ضرب هاتين المصفوفتين معًا ستكون مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد، أي مصفوفة تحتوي على صفين وعمود واحد، وهو ما علينا توقعه؛ لأننا نعرف أن حاصل الضرب هذا يجب أن يساوي مصفوفة الثوابت المعطاة في السؤال. يمكننا الآن إيجاد حاصل ضرب هاتين المصفوفتين. وعلينا إجراء ذلك صفًّا صفًّا. إذا بدأنا بالصف الأول، فسنجد أن لدينا ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ. يمكننا فعل الأمر نفسه مع الصف الثاني من المصفوفة الأولى. فنحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في ﺱ زائد أربعة في ﺹ. وهذا يعطينا مصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ، سالب ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ.
والآن بعد أن أعدنا كتابة الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية المعطاة، يمكننا أن نساويه بالطرف الأيسر من هذه المعادلة. هذا يعطينا المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ، سالب ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي سالب خمسة، ستة. ويمكننا أن نتذكر هنا أنه لكي تتساوى مصفوفتان، يجب أن يكون لهما البعد نفسه، ويجب أن تكون عناصرهما المتناظرة متساوية. نحن نعرف أن هاتين المصفوفتين من الرتبة اثنين في واحد. إذن، لكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، يجب أن يكون عنصراها المتناظران متساويين.
لذا، إذا جعلنا عنصريها المتناظرين يساوي بعضهما بعضًا، فسنحصل على ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة وسالب ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ستة. من الجدير بالملاحظة هنا أن هذا لا يساوي أيًّا من الخيارات الخمسة المعطاة. لكننا نلاحظ أن الخيار (ب) يحتوي على المعادلة ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة. أما المعادلة الثانية فإنها ليست تمامًا بنفس صورة الإجابة المعطاة في الخيار (ب)، لذا سنضيف ثلاثة ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة الثانية. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على أربعة ﺹ يساوي ستة زائد ثلاثة ﺱ، وهو ما يطابق الإجابة في الخيار (ب).
إذن، المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وهي ١١، اثنين، سالب ثلاثة، أربعة في المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي ﺱ، ﺹ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في واحد وهي سالب خمسة، ستة تمثل نظام المعادلتين الخطيتين ١١ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب خمسة، وأربعة ﺹ يساوي ستة زائد ثلاثة ﺱ، وهو الخيار (ب).
