نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نضرب التعبيرات الجذرية ونبسط النواتج. التعبيرات الجذرية هي صور معينة للأعداد تتضمن جذورًا أو علامة الجذر، مثل جذر خمسة أو سبعة جذر ثلاثة، وهكذا.
إن أول سؤال سنتناوله هنا هو: اكتب خمسة جذر خمسة مضروبًا في جذر ٤٥ في أبسط صورة.
لكي تكون الجذور في أبسط صورة، يجب أن يكون العدد الموجود تحت علامة الجذر أصغر ما يمكن بعد إخراج أي عوامل مربعة من داخل الجذر. وعليه، فإن العدد خمسة الموجود أمام جذر خمسة معناه خمسة في جذر خمسة. بعد ذلك، علينا تبسيط جذر ٤٥. وسنحاول إيجاد أكبر عامل مربع للعدد ٤٥. أبسط طريقة لفعل ذلك هي أن تجرب القسمة على اثنين ثم على ثلاثة ثم على أربعة ثم على خمسة، وهكذا. وترى إذا ما كان هناك أي أعداد مربعة في النواتج. وأول عدد مربع سنحصل عليه سيكون هو أكبر عامل مربع. ٤٥ لا يقبل القسمة على اثنين. ٤٥ على ثلاثة يساوي ١٥. ولكن هذا ليس عددًا مربعًا. ٤٥ لا يقبل القسمة على أربعة. ٤٥ على خمسة يساوي تسعة. وهو عدد مربع. إذن، هذا هو أكبر عامل مربع. إذن، سأعيد كتابة ٤٥ على أنه تسعة في خمسة.
والآن، سيتم تقسيم جذر تسعة في خمسة إلى جذر تسعة في جذر خمسة. هذا لأن جذر تسعة يساوي ثلاثة. تسعة هو مربع كامل؛ ومن ثم، جذر تسعة يساوي ثلاثة. وفي عملية الضرب، لا يهم في النهاية ترتيب ضرب الحدود. فسوف تحصل على نفس الناتج على أية حال. ولذا، سأبدل موضع جذر خمسة وثلاثة الموجود في الوسط وأضرب الأعداد بهذا الترتيب. لدينا خمسة في ثلاثة يساوي ١٥. والجذر التربيعي لخمسة في الجذر التربيعي لخمسة يساوي خمسة. و١٥ في خمسة يساوي ٧٥؛ إذن، الإجابة هي ٧٥.
السؤال التالي هو: اكتب أربعة جذر سبعة في اثنين جذر ٤٩ في أبسط صورة.
علينا أن ننتبه لشيئين هنا: العدد أربعة أمام جذر سبعة معناه أربعة مضروبًا في جذر سبعة. والعدد اثنان أمام جذر ٤٩ معناه اثنان مضروبًا في جذر ٤٩. لكن ٤٩ مربع كامل أيضًا؛ إذن، جذر ٤٩ يساوي سبعة. ولذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة أربعة في جذر سبعة في اثنين في سبعة. ومرة أخرى، في عملية الضرب، ترتيب ضرب الأعداد لا يهم. فسوف تحصل على نفس الناتج في جميع الأحوال. ولذا، سأعيد ترتيب الأعداد لتصبح أربعة في اثنين في سبعة في جذر سبعة. أربعة في اثنين يساوي ثمانية، وثمانية في سبعة يساوي ٥٦. وهكذا، يصبح لدينا ٥٦ جذر سبعة. وبالنظر إلى العدد سبعة من حيث عوامله، نجد أن عامليه هما واحد وسبعة فقط. واحد عدد مربع بالتأكيد. لكن إذا قمنا بتحليل واحد، فإنه لن يجعل العدد تحت الجذر أصغر. ومن ثم، إجابتنا هي ٥٦ جذر سبعة.
السؤال التالي يقول: استخدم خاصية التوزيع لعملية الضرب لفك خمسة في ثلاثة ناقص اثنين في الجذر التربيعي لخمسة.
طبقًا لخاصية التوزيع لعملية الضرب، هذا يعني خمسة في ثلاثة ناقص خمسة في اثنين جذر خمسة. خمسة في ثلاثة يساوي ١٥. وخمسة في اثنين جذر خمسة معناه خمسة في اثنين في جذر خمسة. خمسة في اثنين يساوي ١٠، وبذلك لدينا ١٠ جذر خمسة. إذن، يصبح لدينا ١٥ ناقص ١٠ جذر خمسة. ولا يمكن أن نبسط هذا أكثر من ذلك؛ إذن، هذه هي إجابتنا.
السؤال التالي يقول: بسط ثلاثة جذر ثلاثة في اثنين زائد خمسة جذر ثلاثة.
سنستخدم خاصية التوزيع لعملية الضرب لنضرب ثلاثة جذر ثلاثة في اثنين. ثم نضيف ثلاثة جذر ثلاثة في خمسة جذر ثلاثة. دعونا الآن نعد كتابة هذا مع الاحتفاظ بعلامات الضرب كما هي. سنبدل مواضع بعض الأعداد هنا؛ لأن الترتيب غير مهم في عملية الضرب. وبذلك نحصل على ثلاثة في اثنين في جذر ثلاثة زائد ثلاثة في خمسة في جذر ثلاثة في جذر ثلاثة. ثلاثة في اثنين يساوي ستة. وهكذا أصبح لدينا ستة في جذر ثلاثة أو ببساطة ستة جذر ثلاثة. ثلاثة في خمسة يساوي ١٥. والجذر التربيعي لثلاثة في الجذر التربيعي لثلاثة يساوي ثلاثة. وبذلك، نحصل على ستة جذر ثلاثة زائد ١٥ في ثلاثة. حسنًا، ١٥ في ثلاثة يساوي ٤٥. إذن، من المهم أن تنتبه لترتيب العمليات الحسابية. لكن تبسيط هذا كله في النهاية هو ستة جذر ثلاثة زائد ٤٥.
السؤال التالي يحتوي على عدة إشارات سالبة. ولذا، علينا أن ننتبه جيدًا.
مطلوب منا تبسيط سالب ثلاثة جذر اثنين في سالب أربعة ناقص اثنين جذر اثنين.
أولًا، سأضع أقواسًا حول الأعداد السالبة. وذلك لضمان الانتباه جيدًا إلى كونها سالبة، وعدم نسيان إشارة السالب. بعد ذلك، سنستخدم خاصية التوزيع لعملية الضرب لنضرب سالب ثلاثة جذر اثنين في سالب أربعة. ثم نطرح سالب ثلاثة جذر اثنين مضروبًا في اثنين جذر اثنين. هذا التعبير يعني سالب ثلاثة مضروبًا في جذر اثنين في سالب أربعة. وبما أن هذه الحدود مضروبة معًا، يمكن أن نضعها بأي ترتيب نريده. وبالمثل بالنسبة إلى هذه الحدود أيضًا، سأضع الجذور معًا والأعداد معًا.
والآن، لنبسط هذه الحدود ونضربها معًا. لدينا سالب ثلاثة في سالب أربعة، وهو ما يساوي موجب ١٢. وهو مضروب في جذر اثنين. ثم لدينا سالب ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي سالب ستة. والجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لاثنين، وهو يساوي اثنين. إذن، يصبح التعبير على الجانب الأيسر سالب ستة في اثنين، ويساوي سالب ١٢. ومن ثم، يصبح لدينا ١٢ جذر اثنين ناقص سالب ١٢. إذا طرحنا سالب ١٢، فهذا هو نفسه أن تضيف ١٢. ولا يمكن تبسيط جذر اثنين أكثر من ذلك؛ إذن، الإجابة هي ١٢ جذر اثنين زائد ١٢.
والآن، سنبسط زوجين من الأقواس مضروبين معًا، وهما جذر ثلاثة زائد خمسة وجذر ثلاثة ناقص أربعة. ولكي نفعل هذا، سنضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني هكذا. وبهذا نحصل على جذر ثلاثة في جذر ثلاثة. ثم جذر ثلاثة في سالب أربعة. ولذا، سنطرح جذر ثلاثة مضروبًا في سالب أربعة، وسنكتب العدد أربعة قبل جذر ثلاثة. وهكذا يصبح سالب أربعة جذر ثلاثة. بعد ذلك، لدينا موجب خمسة في جذر ثلاثة، ونكتبها موجب خمسة جذر ثلاثة.
وأخيرًا، خمسة في سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب ٢٠. وبالنظر إلى هذين الجذرين، نجد أن لدينا جذر ثلاثة في جذر ثلاثة. وهو ما يساوي ثلاثة. بعد ذلك، لدينا سالب أربعة في جذر ثلاثة. ثم نضيف خمسة جذر ثلاثة. ومن ثم، نحصل على موجب واحد جذر ثلاثة أو ببساطة موجب جذر ثلاثة كما نكتبه. وأخيرًا، لدينا سالب ٢٠ في النهاية. وبتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ثلاثة ناقص ٢٠ ويساوي سالب ١٧. ثم لدينا واحد جذر ثلاثة. إذن، الإجابة هي سالب ١٧ زائد جذر ثلاثة. وفي مثل هذا النوع من الأسئلة، ترتيب الحدود لا يهم. ولذا، يمكن أن تكتبها جذر ثلاثة ناقص ١٧. في الواقع، هناك سبب يجعلنا نكتب الناتج بهذه الطريقة، وهو أنه عادة لا يفضل أن نبدأ بإشارة سالب هكذا. ولذا، جذر ثلاثة ناقص ١٧ هي إجابة أخرى صحيحة تمامًا.
في السؤال التالي، لدينا سبعة زائد جذر خمسة في سبعة ناقص جذر خمسة.
هناك طريقتان مختلفتان لحل هذا السؤال. سنطبق كلًا منهما، ثم يمكن المقارنة بينهما. الطريقة الأولى هي أن تضرب كل حد في القوس الثاني في كل حد في القوس الأول. وبذلك، نحصل على سبعة في سبعة وهو ما يساوي ٤٩. سبعة في سالب جذر خمسة يساوي سالب سبعة جذر خمسة. ثم جذر خمسة في سبعة، أو سأكتبها بطريقة أخرى. سبعة في جذر خمسة، وهو ما يعني موجب سبعة جذر خمسة. وأخيرًا، جذر خمسة في سالب جذر خمسة. الجذر التربيعي لخمسة في الجذر التربيعي لخمسة يساوي خمسة. وسالب في موجب يعطينا سالبًا؛ إذن، سيساوي سالب خمسة. إذن، لدينا سالب سبعة جذر خمسة زائد سبعة جذر خمسة. إذن، يحذفان معًا. وبهذا لن يتبقى شيء في الوسط. يتبقى لدينا ٤٩ ناقص خمسة، وهو ما يساوي ٤٤.
إذن، ضرب الأقواس بهذه الطريقة ليس أمرًا صعبًا. ولقد أعطانا إجابة بسيطة وهي ٤٤. لكن لننظر إلى السؤال مرة أخرى. إذا أنعمت النظر في هذه الصورة، فستجد أن هذا التعبير هو فرق بين مربعين. إذا تذكرنا تحليل التعبيرات التربيعية، ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع؛ أي، عدد مربع ناقص عدد مربع آخر، وهو ما يمكن أن نحلله هكذا. ﺃ زائد ﺏ في ﺃ ناقص ﺏ. وإذا افترضنا أن ﺃ يساوي سبعة وﺏ يساوي جذر خمسة، فإنه يصبح لدينا بذلك سبعة زائد جذر خمسة في سبعة ناقص جذر خمسة، وهذا ما لدينا هنا. إذن، هذا يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. بعبارة أخرى، سبعة تربيع ناقص جذر خمسة تربيع. حسنًا، سبعة تربيع يساوي ٤٩، وجذر خمسة في جذر خمسة يساوي خمسة. وهكذا، حصلنا مباشرة على ٤٩ ناقص خمسة، وهو ما يساوي ٤٤.
إذن، عليك دائمًا أن تتذكر قاعدة الفرق بين مربعين، وأن تجعلها حاضرة في ذهنك. وهكذا، ستتمكن من حل هذا النوع من الأسئلة بخطوات أقل من خطوات الطريقة الأخرى.
يقول السؤال التالي: بسط ستة جذر سبعة ناقص أربعة جذر اثنين في ستة جذر سبعة زائد أربعة جذر اثنين.
بالنظر داخل الأقواس، نجد أن لدينا ستة جذر سبعة في القوس الأول والثاني. ولدينا أربعة جذر اثنين في القوس الأول والثاني. وبذلك، فإننا نطرح في القوس الأول ونجمع في الثاني. وهذا يشبه السؤال السابق. إنه سؤال حول الفرق بين مربعين. وهذه المرة، ﺃ يساوي ستة جذر سبعة، وﺏ يساوي أربعة جذر اثنين. ويمكن أن نعيد كتابة التعبير ليصبح ستة جذر سبعة تربيع ناقص أربعة جذر اثنين تربيع. ستة في جذر سبعة الكل تربيع يساوي ستة في جذر سبعة في ستة في جذر سبعة. وأربعة جذر اثنين الكل تربيع يساوي أربعة في جذر اثنين في أربعة في جذر اثنين. تذكر أن الترتيب لا يهم في عملية الضرب. ولذا، سأعيد ترتيب ذلك بعض الشيء.
سأبدل ترتيب ضرب بعض الحدود، حيث أضع الجذور معًا وبقية الأعداد معًا. وهكذا، أصبح لدينا ستة في ستة في جذر سبعة في جذر سبعة وأربعة في أربعة في جذر اثنين في جذر اثنين. ستة في ستة يساوي ٣٦، وجذر سبعة في جذر سبعة يساوي سبعة. وبذلك، نحصل على ٣٦ في سبعة. ثم أربعة في أربعة يساوي ١٦. وجذر اثنين في جذر اثنين يساوي اثنين. إذن، يبسط التعبير إلى ٣٦ في سبعة ناقص ١٦ في اثنين. والآن، أعتقد أنكم جميعًا على دراية بجدول ضرب ٣٦. ٣٦ في سبعة يساوي ٢٥٢. و١٦ في اثنين يساوي ٣٢. إذن، بطرح ٢٥٢ ناقص ٣٢ نحصل على الإجابة، وهي ٢٢٠.
السؤال التالي يقول: بسط جذر خمسة ناقص جذر ستة الكل تربيع.
عليك أن تنتبه جيدًا عند حل هذا النوع من الأسئلة. الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يقع فيه الطلاب، خاصة تحت ضغط الامتحان، هو أن يعتقدوا أن تحليل هذا التعبير هو جذر خمسة الكل تربيع ناقص جذر ستة الكل تربيع. وينتهي بهم الأمر إلى طرح خمسة ناقص ستة. وهذا خطأ تمامًا. يجب أن تكتب هذا التعبير كاملًا؛ أي إن تعبيرًا ما تربيع يساوي التعبير مضروبًا في نفسه. وبذلك، جذر خمسة ناقص جذر ستة الكل تربيع يساوي جذر خمسة ناقص جذر ستة في جذر خمسة ناقص جذر ستة. وعلينا أن نضرب كل حد في القوس الثاني في كل حد في القوس الأول. أي جذر خمسة في جذر خمسة، ثم نضرب جذر خمسة في سالب جذر ستة. وهذا يساوي سالب جذر خمسة جذر ستة. ثم لدينا سالب جذر ستة في جذر خمسة.
ترتيب ضرب هذه الأعداد لا يهم. ولذا، سأكتبهما جذر خمسة جذر ستة أيضًا. وهنا نضرب سالب في موجب، وهو ما يعطينا إشارة سالب مجددًا. بعد ذلك، سالب جذر ستة في سالب جذر ستة أو سالب في سالب يعطي موجبًا. بالنظر إلى هذه التعبيرات، نجد أن لدينا جذر خمسة في جذر خمسة، ويساوي خمسة. ثم جذر ستة في جذر ستة، ويساوي ستة. في الواقع، إنه موجب ستة. وجذر خمسة في جذر ستة هو نفسه جذر خمسة في ستة. لقد رأينا هذه الصورة سابقًا عندما كنا نخرج العوامل من داخل الجذر ونبسط الجذور أو الجذر الأصم. لكن يمكننا هنا أن نطبق هذه الصورة بطريقة عكسية أيضًا. إذن، جذر خمسة في جذر ستة يساوي جذر خمسة في ستة، ويساوي جذر ٣٠. وبذلك، يصبح لدينا سالب جذر ٣٠ ناقص جذر ٣٠.
والآن، علينا تجميع الحدود المتشابهة معًا. خمسة زائد ستة يساوي ١١، وسالب جذر ٣٠ ناقص جذر ٣٠ يساوي سالب اثنين جذر ٣٠. لننظر الآن إلى العدد تحت هذا الجذر، ٣٠. لنفكر في جميع عوامل العدد ٣٠. حسنًا، العدد ٣٠ له عوامل كثيرة. لكن عندما ننظر إليها، نجد أن العدد واحدًا فقط هو العدد المربع. ولن نستفيد شيئًا إذا استخدمناه هنا في تبسيط هذا العدد. إذن، لا يمكن أن نحلله أكثر من ذلك لأجل تبسيط هذا الجذر أو الجذر الأصم. ومن ثم، الإجابة هي ١١ ناقص اثنين جذر ٣٠.
لنتناول الآن السؤال قبل الأخير.
جذر سبعة في ثلاثة جذر سبعة ناقص خمسة ناقص اثنين في أربعة ناقص خمسة جذر سبعة.
سنستخدم خاصية التوزيع لعملية الضرب لحل هذا السؤال. أولًا، لننظر إلى القوس الأول، وفيه جذر سبعة في ثلاثة جذر سبعة وهو نفسه أن تقول جذر سبعة في ثلاثة في جذر سبعة. ثم لدينا جذر سبعة في سالب خمسة. أي إننا نطرح جذر سبعة مضروبًا في خمسة، وهو نفسه أن تقول خمسة في جذر سبعة. بعد ذلك، سالب اثنين في أربعة يساوي سالب ثمانية. أي إننا نطرح ثمانية. ثم سالب اثنين في سالب خمسة جذر سبعة. سالب اثنين في سالب خمسة يساوي موجب ١٠. إذن، يصبح لدينا موجب ١٠ جذر سبعة.
دعونا ننظر إلى هذا الجزء. في الحد الأول، لدينا جذر سبعة في جذر سبعة في ثلاثة. جذر سبعة في جذر سبعة يساوي سبعة، وسبعة في ثلاثة يساوي ٢١. ولا يمكن أن نبسط الحد الثاني؛ إذن، نكتب ناقص خمسة جذر سبعة. ولدينا سالب ثمانية. وبالمثل، لا يمكن أن نبسط الحد الأخير. ٢١ ناقص ثمانية يساوي ١٣. وسالب خمسة جذر سبعة زائد ١٠ جذر سبعة يساوي موجب خمسة جذر سبعة. وبما أنه لا توجد أي عوامل مربعة للعدد سبعة أكبر من الواحد، فلا يمكن أن نبسط هذا الحد أكثر من ذلك. إذن، الإجابة هي ١٣ زائد خمسة جذر سبعة.
وأخيرًا على سبيل المرح، دعونا نحاول حل هذا السؤال الذي يبدو مخادعًا.
بسط الجذر التربيعي لـ ١٥ زائد الجذر التربيعي لـ ١٩ الكل تربيع في الجذر التربيعي لـ ١٥ ناقص الجذر التربيعي لـ ١٩ الكل تربيع.
إذا كنت منتبها خلال الفيديو، فلعلك تلاحظ أن هذا التعبير عبارة عن فرق بين مربعين. لكن ليس بنفس الصورة بالضبط، أليس كذلك؟ طبقًا لقاعدة الفرق بين مربعين، ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ﺃ زائد ﺏ في ﺃ ناقص ﺏ. وهو ما يشبه التعبير لدينا كثيرًا. لكن لدينا هنا مشكلة تتمثل في التربيعات الموجودة أعلى القوسين. إذا قمنا ببعض خطوات الترتيب، فسنتمكن من استخدام قاعدة الفرق بين مربعين. دعونا نلق نظرة على ذلك. جذر ١٥ زائد جذر ١٩ الكل تربيع يساوي جذر ١٥ زائد جذر ١٩ في جذر ١٥ زائد جذر ١٩. إذن، هذا هو القوس الأول الذي لدينا، وسنقوم بالمثل مع القوس الثاني.
لدينا الآن أربعة أقواس، جميعها مضروبة معًا. وفي عملية الضرب، ترتيب ضرب الأقواس لا يهم. ولذا، سأعيد ترتيبها. لقد بدلت للتو ترتيب القوسين في الوسط. ومن ثم، حصلت على جذر ١٥ زائد جذر ١٩ في جذر ١٥ ناقص جذر ١٩ الكل مضروب في جذر ١٥ زائد جذر ١٩ في جذر ١٥ ناقص جذر ١٩. كل زوج من هذه التعبيرات يمثل صورة للفرق بين مربعين التي نبحث عنها. وبافتراض أن ﺃ يساوي جذر ١٥ وﺏ يساوي جذر ١٩، نجد أن لدينا نفس هذا النمط هنا. وهنا أيضًا. وهذا يعني أن ﺃ تربيع يساوي جذر ١٥ الكل تربيع، وهو ما يساوي ١٥. وﺏ تربيع يساوي جذر ١٩ الكل تربيع، وهو ما يساوي ١٩. وﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ١٥ ناقص ١٩.
إذن، هيا نرجع إلى السؤال. لدينا ﺃ زائد ﺏ في ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ في ﺃ ناقص ﺏ. وﺃ زائد ﺏ في ﺃ ناقص ﺏ هو نفسه ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع. وكما قلنا للتو، ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ١٥ ناقص ١٩. ١٥ ناقص ١٩ يساوي سالب أربعة. وهكذا أصبح لدينا سالب أربعة في سالب أربعة، وهو ما يساوي موجب ١٦.
إذن، لقد وفرنا كثيرًا من خطوات الضرب المضنية بمجرد أن تذكرنا قاعدة الفرق بين مربعين وأعدنا ترتيب الأقواس بما يتوافق مع هذه القاعدة. وحصلنا بذلك على إجابة بسيطة للغاية وهي ١٦، بدلًا من كل هذه التفاصيل التي بدأنا بها هذا السؤال.
أتمنى لكم التوفيق في ضرب التعبيرات الجذرية.
