نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ يمثل متغيرًا عشوائيًّا متقطعًا يمكن أن يأخذ القيم صفرًا واثنين وخمسة. إذا كان ﺱ له دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ تساوي ﺃ على ستة ﺱ زائد ستة، فأوجد الانحراف المعياري لـ ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متقطع هو مقياس لمدى تشتت التوزيع الاحتمالي له. لدينا هنا دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ لهذا المتغير العشوائي المتقطع، والتي تمثل احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لكل قيمة في مداه، لكن ذلك بدلالة قيمة مجهولة وهي ﺃ. قبل أن نتمكن من حساب الانحراف المعياري لـ ﺱ، علينا أولًا تحديد قيمة ﺃ.
ولفعل ذلك، نحتاج إلى تذكر أن مجموع قيم جميع الاحتمالات لأي توزيع احتمالي يجب أن يساوي واحدًا. بعبارة أخرى، إذا أوجدنا تعبيرات لكل من ﺩ لصفر وﺩ لاثنين وﺩ لخمسة، وهي احتمالات ظهور كل قيمة موجودة في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع، فيمكننا عندئذ جمع هذه الاحتمالات وتكوين معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺃ.
بالتعويض أولًا بصفر في دالة التوزيع الاحتمالي، يصبح لدينا ﺩ لصفر تساوي ﺃ على ستة مضروبًا في صفر زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ستة. وﺩ لاثنين تساوي ﺃ على ستة مضروبًا في اثنين زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ١٨. وﺩ لخمسة تساوي ﺃ على ستة مضروبًا في خمسة زائد ستة، وهو ما يساوي ﺃ على ٣٦. وكما ذكرنا من قبل، مجموع هذه القيم الثلاث يجب أن يساوي واحدًا. يمكننا كتابة كل حد في الطرف الأيمن بدلالة المقام المشترك ٣٦. وبجمع هذه الحدود الثلاثة، يصبح لدينا تسعة ﺃ على ٣٦ يساوي واحدًا. نبسط ذلك إلى ﺃ على أربعة يساوي واحدًا. ثم بضرب طرفي هذه المعادلة في أربعة، نجد أن ﺃ يساوي أربعة.
يمكننا الآن إيجاد احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لكل قيمة في مداه، وكتابة دالة احتمال صريحة. قيم الاحتمالات هي أربعة أسداس، وأربعة على ١٨، وأربعة على ٣٦، ويمكن تبسيطها جميعًا. سنكتب دالة الاحتمال في صورة جدول. إذن، هذه هي دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. لدينا في الصف الأول القيم الموجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع، وهي صفر واثنان وخمسة، وفي الصف الثاني لدينا الاحتمالات المناظرة لها والتي تساوي، عند تبسيطها، ثلثين وتسعين وتسعًا.
مطلوب منا إيجاد الانحراف المعياري لـ ﺱ. وهو ما نرمز له باستخدام الحرف اليوناني 𝜎 فقط، أو بكتابته أحيانًا على الصورة 𝜎 وأسفله ﺱ إذا كان هناك عدة متغيرات في المسألة نفسها. الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي للتباين، الذي نكتبه إما على الصورة 𝜎 تربيع، أو 𝜎 ﺱ تربيع، أو تباين ﺱ. تنص صيغة حساب تباين متغير عشوائي متقطع على أنه يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. وعلينا هنا الانتباه لتوضيح الفرق بين الرمزين؛ حيث إن حدي الصيغة متشابهان إلى حد ما.
الحد الأول هو توقع ﺱ تربيع. ما يعني أننا نقوم بتربيع قيم المتغير ﺱ أولًا، ثم نوجد القيمة المتوقعة له، أما الحد الثاني فهو المتوسط أو القيمة المتوقعة لـ ﺱ، والتي نقوم بتربيعها بعد ذلك. لدينا عدة عمليات حسابية علينا إجراؤها هنا؛ لذا سنقسمها إلى خطوات. أولًا: علينا إيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ، وذلك بضرب كل قيمة من قيم المتغير ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها، ثم إيجاد المجموع.
يمكننا إضافة صف آخر لهذا الجدول. القيمة الأولى هي صفر مضروبًا في ثلثين، وهو ما يساوي صفرًا. القيمة الثانية هي اثنان مضروبًا في تسعين، وهو ما يساوي أربعة أتساع. والقيمة الثالثة هي خمسة مضروبًا في تسع. ومجموع هذه القيم هو صفر زائد أربعة أتساع زائد خمسة أتساع، وهو ما يساوي تسعة أتساع. ويمكن تبسيط ذلك إلى العدد الصحيح واحد. بذلك نكون قد أوجدنا توقع ﺱ. وهذا هو المتوسط للمتغير العشوائي المتقطع.
بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وصيغة حساب ذلك هي مجموع كل قيمة من قيم المتغير ﺱ بعد تربيعها مضروبة في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها. ويمكننا الحصول على التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ تربيع مباشرة من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. وإذا كانت القيم في مدى ﺱ هي صفرًا واثنين وخمسة، فإن القيم في مدى ﺱ تربيع هي مربعات هذه القيم، وتساوي صفرًا وأربعة و٢٥. نلاحظ هنا أن احتمال كل قيمة من هذه القيم يتطابق مع الصف الثاني في الجدول لدينا. وذلك لأن احتمال أن ﺱ تربيع يساوي أربعة، على سبيل المثال، يماثل احتمال أن يكون ﺱ نفسه يساوي اثنين.
بعد ذلك، نضيف صفًّا آخر للجدول لدينا لنضرب كل قيمة مربعة من قيم المتغير ﺱ في ﺩﺱ. وهكذا يصبح لدينا صفر مضروبًا في ثلثين، وأربعة مضروبًا في تسعين، و٢٥ مضروبًا في تسع. تبسط هذه القيم إلى صفر، وثمانية أتساع، و٢٥ على تسعة. مجموع هذه القيم الثلاث هو ٣٣ على تسعة. إذن، هذه هي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع.
بعد ذلك نحسب تباين ﺱ، وهو القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. هذا يساوي ٣٣ على تسعة ناقص واحد تربيع. و٣٣ على تسعة ناقص واحد تربيع، هو ٣٣ على تسعة ناقص واحد، أو ٣٣ على تسعة ناقص تسعة على تسعة. هذا يساوي ٢٤ على تسعة، وهو ما يبسط إلى ثمانية أثلاث.
هكذا أوجدنا تباين ﺱ، لكننا لم ننته من الحل بعد. الخطوة الأخيرة هي حساب الجذر التربيعي لهذه القيمة لنحصل على الانحراف المعياري لـ ﺱ. من ثم، 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لثمانية على ثلاثة، ما يساوي في صورة عدد عشري ١٫٦٣٢٩ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. وبما أن الرقم الموجود في الخانة العشرية الثالثة هو اثنان، فسنقرب لأسفل. وبذلك نجد أن الانحراف المعياري لـ ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين هو ١٫٦٣. إذن، هذا يعني أن قيم المتغير العشوائي المتقطع ﺱ تقع، في المتوسط، على بعد ١٫٦٣ وحدة من القيمة المتوقعة.
