نسخة الفيديو النصية
فقاعة هواء صاعدة في عمود ماء لها حجم عند قاعدة العمود، وحجم أكبر بالقرب من قمة العمود، كما هو موضح في الشكل. أوجد ارتفاع الفقاعة أعلى قاعدة العمود عندما يكون حجمها 1.55 مثل حجمها عند قاعدة العمود. استخدم القيمة 101 كيلو باسكال للضغط الجوي، والقيمة 1000 كيلوجرام لكل متر مكعب لكثافة الماء. درجة حرارة الماء منتظمة. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
في هذا السؤال، نتعامل مع فقاعة هواء تصعد من قاع عمود ماء. علينا حساب ارتفاع الفقاعة أعلى قاعدة العمود عندما يكون حجمها 1.55 مثل حجمها الابتدائي. للإجابة عن هذا السؤال، علينا استخدام قانون الغاز المثالي لغاز كتلته ثابتة. 𝑃 واحد 𝑉 واحد مقسومًا على 𝑇 واحد يساوي 𝑃 اثنين 𝑉 اثنين مقسومًا على 𝑇 اثنين؛ حيث يمثل 𝑃 واحد، و𝑉 واحد، و𝑇 واحد ضغط الغاز الابتدائي وحجمه الابتدائي ودرجة حرارته الابتدائية، ويمثل 𝑃 اثنان، و𝑉 اثنان، و𝑇 اثنان ضغط الغاز النهائي وحجمه النهائي ودرجة حرارته النهائية.
نظرًا لأننا علمنا أن درجة حرارة الماء منتظمة، فإننا نعلم أن 𝑇 واحدًا لا بد أن تساوي 𝑇 اثنين. وهذا يعني حذف حدي درجة الحرارة، فيتبقى لدينا معادلة أبسط. وهي 𝑃 واحد 𝑉 واحد يساوي 𝑃 اثنين 𝑉 اثنين. دعونا نبدأ بإيجاد هذه الكميات للفقاعة.
أولًا: دعونا نتناول الضغط الابتدائي للفقاعة، وهو 𝑃 واحد. عندما تكون الفقاعة في قاع عمود الماء، فإنها ستتعرض لضغط من مصدرين. ستتعرض لضغط ناتج عن وزن الماء الموجود فوقها، الذي سنسميه 𝑃𝑤. وستتعرض أيضًا للضغط الجوي، 𝑃𝑎، الذي يدفع الماء كله لأسفل في العمود. إذن، قيمة 𝑃 واحد تساوي 𝑃𝑎 زائد 𝑃𝑤. وعلمنا أن الضغط الجوي، 𝑃𝑎، يساوي 101 كيلو باسكال.
تذكر أن الضغط الناتج عن مائع يعطى بالمعادلة 𝑃 يساوي 𝜌𝑔ℎ؛ حيث تمثل 𝜌 كثافة المائع، وتمثل 𝑔 شدة مجال الجاذبية، ويمثل ℎ ارتفاع المائع فوق النقطة التي نحسب الضغط عندها. إذن، الضغط الذي يؤثر به الماء على فقاعة الهواء، 𝑃𝑤، يساوي كثافة الماء، 𝜌𝑤، مضروبة في شدة مجال الجاذبية، 𝑔، مضروبة في ارتفاع الماء فوق الفقاعة. ونظرًا لأن الفقاعة توجد عند قاعدة العمود، فهذا يساوي ارتفاع العمود، الذي سنرمز إليه بحرف 𝐻 الكبير. إذن، يعطى الضغط الذي يؤثر على الفقاعة عندما تكون عند قاعدة العمود بالمعادلة 𝑃 واحد يساوي 𝑃𝑎 زائد 𝜌𝑤 𝑔𝐻.
نحن لا نعلم حجم الفقاعة في هذه المرحلة؛ لذا سنسميه 𝑉 واحدًا. عندما تصعد الفقاعة لأعلى العمود، يقل ارتفاع الماء فوقها. وهذا يعني أن الضغط الذي يؤثر به الماء على الفقاعة يقل. ومن ثم يزداد حجم الفقاعة. يوضح لنا الشكل الفقاعة عندما تصل إلى قمة العمود، وهو ما يعني وجود كمية مهملة من الماء فوقها. إذن، الضغط الوحيد المؤثر الذي تتعرض له الفقاعة هو الضغط الجوي 𝑃𝑎. ومن ثم نعلم أن 𝑃 اثنين يساوي 𝑃𝑎. وعلى الرغم من أنه ليس لدينا قيمة دقيقة لحجم الفقاعة، فإننا نعلم أنها تساوي 1.55 مثل حجمها عند قاعدة العمود. إذن، يمكننا، مرة أخرى، أن نلاحظ أن 𝑉 اثنين يساوي 1.55 في 𝑉 واحد.
الآن وبعد أن حصلنا على معادلات تعبر عن 𝑃 واحد، و𝑃 اثنين، و𝑉 اثنين، يمكننا التعويض بها في معادلة الغاز المثالي المبسطة لنحصل على 𝑃𝑎 زائد 𝜌𝑤 𝑔𝐻 الكل مضروب في 𝑉 واحد يساوي 𝑃𝑎 مضروبًا في 1.55 في 𝑉 واحد.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد ارتفاع الفقاعة أعلى قاعدة عمود الماء. نظرًا لأن الفقاعة قريبة جدًّا من قمة العمود، فإن هذا يكافئ إيجاد ارتفاع العمود، 𝐻. لفعل ذلك، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𝐻 في طرف بمفرده. يمكننا أولًا قسمة كلا طرفي المعادلة على 𝑉 واحد، وحذف هذه الحدود. وهذا يعطينا المعادلة 𝑃𝑎 زائد 𝜌𝑤 𝑔𝐻 يساوي 1.55𝑃𝑎. يمكننا بعد ذلك طرح 𝑃𝑎 من كلا الطرفين. وبذلك نحصل على 𝜌𝑤 𝑔𝐻 يساوي 1.55𝑃𝑎 ناقص 𝑃𝑎، الذي يمكن تبسيطه إلى 𝜌𝑤 𝑔𝐻 يساوي 0.55𝑃𝑎. وأخيرًا، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على 𝜌𝑤𝑔 لنحصل على معادلة تعبر عن 𝐻. وهي 𝐻 يساوي 0.55𝑃𝑎 مقسومًا على 𝜌𝑤𝑔.
كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيم 𝑃𝑎، و𝜌𝑤، و𝑔. نحن نعلم أن الضغط الجوي، 𝑃𝑎، يساوي 101 كيلو باسكال. علينا أن ننتبه إلى الوحدة هنا. هذه القيمة معطاة لنا بوحدة الكيلو باسكال، لكننا نريدها بوحدة النظام الدولي للوحدات وهي الباسكال. للتحويل من وحدة الكيلو باسكال إلى وحدة الباسكال، نضرب القيمة في 1000. إذن، الضغط الجوي 𝑃𝑎 يساوي 101000 باسكال. علمنا أن كثافة الماء، 𝜌𝑤، تساوي 1000 كيلوجرام لكل متر مكعب، ويمكننا أن نتذكر أن شدة مجال الجاذبية الأرضية، 𝑔، تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة التي تعبر عن 𝐻، نجد أن 𝐻 يساوي 0.55 في 101000 باسكال مقسومًا على 1000 كيلوجرام لكل متر مكعب في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
بإكمال هذه العملية الحسابية، نجد أن 𝐻 يساوي 5.668 أمتار. وبتقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية، فسنجد أنه يساوي 5.7 أمتار. وبذلك نكون قد وجدنا أن الفقاعة تصل إلى ارتفاع 5.7 أمتار أعلى قاعدة العمود. وهذه هي الإجابة النهائية لهذا السؤال.
