نسخة الفيديو النصية
كتلة سكون الإلكترون 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام. إذا كانت طاقة حركة الإلكترون 1.14 في 10 أس سالب 27 جول، فما طول موجة دي برولي المصاحبة له؟ استخدم 6.63 في 10 أس سالب 34 جول في ثانية لقيمة ثابت بلانك. أوجد الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، علينا إيجاد طول موجة دي برولي. لذا فإن أول ما يتبادر إلى ذهننا هو علاقة دي برولي التي تربط الطول الموجي للجسيم بطاقة حركته. تتمثل هذه العلاقة في أن 𝜆، أي الطول الموجي، يساوي ℎ، وهو ثابت بلانك، مقسومًا على 𝑝، وهي كمية حركة الجسيم. نعرف من المعطيات قيمة ثابت بلانك، وعلينا إيجاد الطول الموجي. لكننا لا نعرف كمية حركة الإلكترون. كل ما نعرفه هو كتلة سكونه، وهي 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام، وطاقة حركته التي تساوي 1.14 في 10 أس سالب 27 جول.
ومن ثم، علينا حساب كمية الحركة باستخدام كتلة السكون وطاقة الحركة. بما أن طاقة حركة الإلكترون صغيرة جدًّا، فيمكننا افتراض أنها غير نسبية، وكتابة أن طاقة الحركة تساوي نصف الكتلة في مربع السرعة. في الواقع، إذا استخدمنا هذه المعادلة لحساب السرعة، فسنجد أن الإلكترون يتحرك بسرعة 50 مترًا فقط لكل ثانية، وهو ما يعد أبطأ بكثير من سرعة الضوء. ومن ثم، فإن افتراض عدم النسبية مبرر. لكننا لا نحتاج إلى سرعة الإلكترون. بل نحتاج إلى كمية حركته التي يمكن التعبير عنها للسرعات غير النسبية على صورة 𝑝 تساوي 𝑚𝑣، أي كمية الحركة تساوي الكتلة في السرعة.
بالعودة إلى معادلة طاقة الحركة، نجد أنه إذا كان لدينا عامل إضافي للكتلة في الطرف الأيمن، فسنحصل على 𝑚 تربيع في 𝑣 تربيع، وهو 𝑚𝑣 تربيع، والذي يساوي 𝑝 تربيع. ولكي نوجد العامل 𝑚 هذا، كل ما علينا فعله هو ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في الكتلة. ومن ثم، فإن الكتلة في طاقة الحركة تساوي نصف 𝑚 تربيع 𝑣 تربيع، وهو ما يساوي نصف 𝑚𝑣 تربيع، أي نصفًا في مربع كمية حركة الجسيم. والآن نضرب كلا الطرفين في اثنين لنجد أن اثنين في الكتلة في طاقة الحركة يساوي مربع كمية حركة الجسيم.
والآن نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين لجعل 𝑝 في طرف بمفردها. 𝑝 تساوي الجذر التربيعي لاثنين في 𝑚 في طاقة الحركة. هذا يعطينا كمية الحركة بدلالة كتلة السكون وطاقة الحركة، وهما الكميتان المعطاتان في السؤال. بالتعويض بهذه المعادلة في علاقة دي برولي، نحصل على 𝜆 يساوي ℎ مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين في 𝑚 في KE، وهو ما يعطينا الطول الموجي بدلالة الكميات المعطاة في السؤال. كل ما تبقى علينا فعله هو التعويض بـ 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام عن 𝑚، و بـ 1.14 في 10 أس سالب 27 جول عن KE، و بـ 6.63 في 10 أس سالب 34 جول في ثانية عن ℎ.
دعونا نفرغ بعض المساحة لإجراء هذه العملية الحسابية. عند إدخال كل هذه الأعداد على الآلة الحاسبة، نحصل على 1.4547 وعدة منازل عشرية أخرى في 10 أس سالب خمسة. أما فيما يخص الوحدات، فيمكننا أن نحسب مباشرة الجول في ثانية مقسومًا على الجذر التربيعي للكيلوجرام في الجول. لكن يمكننا أن ندرك أيضًا أنه يجب أن تكون وحدة القياس النهائية وحدة طول؛ لأن النتيجة النهائية هي الطول الموجي. والجول والثواني والكيلوجرامات كلها من الوحدات الأساسية للنظام الدولي. ومن ثم، سيكون الناتج بوحدة القياس الأساسية للنظام الدولي للطول، وهي المتر.
وبذلك، يصبح لدينا إجابة عددية بالصيغة العلمية بالوحدة المناسبة. كل ما تبقى هو التقريب لأقرب منزلتين عشريتين. 1.454 إلى آخره إلى أقرب منزلتين عشريتين يساوي 1.45. ومن ثم فإن طول موجة دي برولي المصاحبة للإلكترون يساوي 1.45 في 10 أس سالب خمسة متر.
