نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التباديل لحل المسائل، وكيف نستخدم التباديل لعد النواتج الممكنة.
التباديل، التي يشار إليها بـ ﻥﻝﻙ، هي عدد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة. عند التعامل مع التباديل، يكون ترتيب كل عنصر مهمًّا. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد عدد الثلاثيات المرتبة ضمن الأعداد من واحد إلى خمسة، أي خمسة ﻝ ثلاثة، فسنلاحظ أن الترتيبين: واحدًا، اثنين، ثلاثة؛ وثلاثة، اثنين، واحدًا يحسبان ترتيبين مختلفين. من المهم أن نلاحظ أنه لكي ينطبق هذا التعريف، يجب أن يكون ﻥ وﻙ عددين صحيحين غير سالبين، وأن يكون ﻥ أكبر من أو يساوي ﻙ.
لنتناول الآن بعض التعريفات والخواص الأساسية التي سنستخدمها في هذا الفيديو. يمكننا التفكير في ترتيب ﻙ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر في سياق سباق. لنفترض اشتراك ﻥ من الطلاب في سباق؛ حيث يحصل أول ﻙ من الطلاب ممن ينهون السباق على ميداليات مطبوع عليها مركز كل منهم. على سبيل المثال، يفوز طالب المركز الأول بميدالية تحمل العدد واحدًا، في حين يفوز طالب المركز الثاني بميدالية تحمل العدد اثنين، وهكذا. الطلاب الذين ينهون السباق بعد ﻙ لن يحصلوا على ميدالية.
إذا عددنا الطرق المختلفة لتوزيع الميداليات في نهاية السباق، فإن هذا يعني أننا نعد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من الطلاب من إجمالي ﻥ من الطلاب. وهذا هو عدد التباديل أو ﻥﻝﻙ. ورغم أننا سنستخدم هذا الرمز في الفيديو، يجب أن ننتبه إلى وجود طرق أخرى للإشارة إلى التباديل كما هو موضح. لفهم كيفية إيجاد هذا العدد، سنستخدم مبدأ العد الأساسي.
ينص هذا المبدأ على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان ﺃ وﺏ؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث ﺃ هو ﺱ، وعدد النواتج الممكنة للحدث ﺏ هو ﺹ، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب ﺱ في ﺹ. نتذكر أن أي حدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج أحدهما لا يغير عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.
والآن، سنطبق مبدأ العد الأساسي على هذا المثال. نفترض أن ﺃ هو حدث توزيع الميداليات على أول ﻙ ممن أنهوا السباق، وﺏ هو حدث ترتيب الطلاب المتبقين؛ أي ﻥ ناقص ﻙ. ويعني هذا أن وقوع كلا الحدثين ﺃ وﺏ هو نفسه ترتيب ﻥ من العدائين، بما أننا نرتب ﻙ من العدائين أولًا، ثم نرتب ﻥ ناقص ﻙ من العدائين المتبقين. ونلاحظ أن توزيع الميداليات على أول ﻙ ممن ينهون السباق لا يؤثر على ترتيب ﻥ ناقص ﻙ من العدائين المتبقين. إذن، الحدثان ﺃ وﺏ مستقلان.
وفقًا لمبدأ العد الأساسي، نعرف أن عدد طرق توزيع ﻙ من الميداليات مضروبًا في عدد طرق ترتيب ﻥ ناقص ﻙ من العدائين يساوي عدد طرق ترتيب ﻥ من العدائين. ونعلم بالفعل أن هناك ﻥﻝﻙ من الطرق المختلفة لتوزيع الميداليات على أول ﻙ ممن ينهون السباق. يوجد «مضروب ﻥ ناقص ﻙ» من الطرق المختلفة لترتيب ﻥ ناقص ﻙ من العدائين، ويوجد «مضروب ﻥ» من الطرق المختلفة لترتيب جميع العدائين. وهذا يعني أن ﻥﻝﻙ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص ﻙ يساوي مضروب ﻥ. وبقسمة الطرفين على مضروب ﻥ ناقص ﻙ، نحصل على: ﻥﻝﻙ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. وهذه هي الصيغة العامة للتباديل.
يمكننا تلخيص ذلك كما يلي. إذا كان ﻥ وﻙ عددين صحيحين غير سالبين؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي ﻙ، فإن التباديل ﻥﻝﻙ هي عدد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة. ﻥﻝﻙ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. سنتناول الآن مجموعة متنوعة من الأمثلة في مواقف مختلفة.
احسب خمسة ﻝ اثنين مضروبًا في مضروب اثنين.
نتذكر أن التباديل ﻥﻝﻙ تعرف بأنها تساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. وهذا هو عدد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة. أي إن خمسة ﻝ اثنين يساوي مضروب خمسة مقسومًا على مضروب خمسة ناقص اثنين. تذكر أننا نحاول هنا عد الطرق المختلفة لترتيب عنصرين من إجمالي خمسة عناصر. يمكن تبسيط المقام إلى مضروب ثلاثة؛ لأن خمسة ناقص اثنين يساوي ثلاثة.
نتذكر أيضًا أنه عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا موجبًا، فإن مضروب ﻥ يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من ﻥ تنازليًّا حتى الوصول إلى واحد. مضروب ﻥ يساوي أيضًا ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. أي إننا نستطيع إعادة كتابة بسط خمسة ﻝ اثنين على الصورة: خمسة مضروبًا في أربعة مضروبًا في مضروب ثلاثة. ومن ثم، يحذف مضروب ثلاثة من البسط والمقام، ويتبقى لدينا خمسة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ٢٠. إذن، خمسة ﻝ اثنان يساوي ٢٠. علينا الآن ضرب ذلك في مضروب اثنين. مضروب اثنين يساوي اثنين مضروبًا في واحد. هذا يساوي اثنين، وبالضرب في ٢٠، يصبح لدينا ٤٠. خمسة ﻝ اثنان مضروبًا في مضروب اثنين يساوي ٤٠.
في المثال التالي، سنتناول مسألة من الحياة الواقعية.
أوجد عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها شخصان على ثمانية مقاعد؟
في هذه المسألة، علينا معرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يجلس بها شخصان على ثمانية مقاعد. ولذلك سنعيد صياغة عبارة العد بحيث تتوافق مع تعريف التباديل. لنفترض أن اسمي الشخصين هما واحد واثنان. مهمة اختيار الشخص واحد والشخص اثنين مقعدين للجلوس عليهما تكافئ مهمة تسمية اثنين من المقاعد واحدًا واثنين. يمكننا إذن إعادة صياغة السؤال على النحو التالي: عد الطرق التي يمكن بها ترتيب مقعدين من ثمانية مقاعد. ويعطى هذا بالتباديل ثمانية ﻝ اثنين.
نتذكر أن ﻥﻝﻙ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. وهذا يعني أن ﻥﻝ اثنين يساوي مضروب ثمانية مقسومًا على مضروب ثمانية ناقص اثنين، وهذا يعني مضروب ثمانية مقسومًا على مضروب ستة. نعلم أيضًا أنه إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. ومن ثم، إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين، فإن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص اثنين. وعليه، يمكننا إعادة كتابة البسط على صورة: ثمانية مضروبًا في سبعة مضروبًا في مضروب ستة. وبقسمة الطرفين على مضروب ستة، نحصل على: ثمانية مضروبًا في سبعة. وهذا يساوي ٥٦.
إذن، توجد ٥٦ طريقة لترتيب مقعدين من إجمالي ثمانية مقاعد. بالرجوع إلى المسألة الأصلية، نستنتج أن هناك ٥٦ طريقة يجلس بها شخصان على ثمانية مقاعد.
في المثال التالي، سنتناول مسألة تتضمن إيجاد قيمة مجهولة للتباديل ﻥﻝﻙ.
أوجد قيمة ﻥ؛ حيث ﻥﻝ ثلاثة يساوي ٣٢٧٣٦.
نعلم من التعريف العام للتباديل أن ﻥﻝﻙ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. أي إننا نستطيع كتابة ﻥﻝ ثلاثة على الصورة: مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. وهذا يساوي ٣٢٧٣٦. إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. أي إنه عندما يكون ﻥ أكبر من أو يساوي ثلاثة، يمكننا كتابة مضروب ﻥ على الصورة: ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. بقسمة البسط والمقام على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة، نحصل على: ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين يساوي ٣٢٧٣٦.
إذن علينا إيجاد ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، ﻥ وﻥ ناقص واحد وﻥ ناقص اثنين، حاصل ضربها يساوي ٣٢٧٣٦. وعليه، يجب أن يقع حاصل ضرب هذه الأعداد الصحيحة الثلاثة بين ﻥ ناقص اثنين تكعيب وﻥ تكعيب. يمكننا إيجاد الجذر التكعيبي لهذه المتباينة؛ حيث يصبح الجذر التكعيبي لـ ٣٢٧٣٦ يقع بين ﻥ ناقص اثنين وﻥ. الجذر التكعيبي لـ ٣٢٧٣٦ يساوي ٣١٫٩٩ تقريبًا، وهو ما يعطينا المتباينة التالية. يخبرنا ذلك أن ﻥ لا بد أن يساوي ٣٢ على الأقل. كما يخبرنا أن ﻥ ناقص اثنين يمكن أن يساوي ٣١ على الأكثر؛ لأن ﻥ وﻥ ناقص واحد وﻥ ناقص اثنين هي أعداد صحيحة. إذا افترضنا أن ﻥ ناقص اثنين يساوي ٣١، وﻥ ناقص واحد يساوي ٣٢، وﻥ يساوي ٣٣، فإن حاصل ضرب هذه الأعداد الثلاثة يعطينا ٣٢٧٣٦. وهذا يعني أن ﻥ يساوي ٣٣؛ حيث ٣٣ﻝ ثلاثة يساوي ٣٢٧٣٦. يوجد ٣٢٧٣٦ طريقة لاختيار ثلاثة عناصر من إجمالي ٣٣ عنصرًا مختلفًا.
قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، سنرى ما يحدث عندما تحتوي التباديل على تماثل دوراني. وسيقودنا هذا إلى صيغة نستخدمها عند عد الترتيبات الدائرية. سيقلل وجود تماثل دوراني في المسألة من عدد التباديل؛ لأن تدوير ترتيب دائري معين يقود إلى ترتيب مكافئ.
على سبيل المثال، نفترض أن لدينا حلقة تحتوي على عدد ﻙ من الأحجار المختلفة تفصل بينها مسافات متساوية؛ حيث يوجد ﻥ من أنواع الأحجار المختلفة. وعلينا حساب عدد الحلقات المختلفة من هذا السياق. نعلم بالفعل أن هناك عدد ﻥﻝﻙ من الطرق التي يمكننا بها ترتيب ﻙ من الأحجار في خط مستقيم من إجمالي عدد ﻥ من الأحجار. لنفترض أننا نكون حلقة بضم الطرفين الأيمن والأيسر من الخط المستقيم معًا. وسينتج عن هذا ترتيب دائري. ونفترض في هذا المثال أن ﻙ يساوي أربعة.
يمكن وضع الأحجار الأربعة أ وب وج ود كما هو موضح. إذا أدرنا الأحجار ٩٠ درجة في اتجاه عقارب الساعة، فسنجد أن الأحجار ستصبح موضوعة كما هو موضح في الشكل الثاني. يمكننا تدوير الترتيب ٩٠ درجة أخرى، ثم نكرر ذلك مرة أخرى بحيث يصبح ترتيب الأحجار كما هو موضح. نلاحظ هنا أن جميع الترتيبات الدائرية الأربعة متطابق. ويعني هذا أنه عندما نعد الأشكال الخطية، سيتكرر كل تصميم مختلف للحلقة أربع مرات. بعبارة أخرى، توجد أربعة ترتيبات خطية مختلفة يمكن تكوينها من حلقة دائرية مختلفة كما هو موضح. وعليه، إذا كان لدينا عدد ﻙ من الأحجار المختلفة في حلقة، فإن كل تصميم للحلقة يمكن أن يكون عدد ﻙ من الترتيبات الخطية المختلفة.
باستخدام مبدأ العد الأساسي وجعل ﺃ حدث تكوين تصميم الحلقة وﺏ حدث تكوين ترتيب خطي من تصميم حلقة معين؛ حيث ﺃ وﺏ حدثان مستقلان، فإن عدد الحلقات المختلفة التي تحتوي على ﻙ من الأحجار مضروبًا في عدد الترتيبات الخطية للحلقة يساوي عدد الترتيبات الخطية لـ ﻙ من الأحجار. الطرف الأيسر يساوي ﻥﻝﻙ. وقد لاحظنا أن هناك ﻙ من الطرق المختلفة لتكوين ترتيبات خطية من حلقة.
ومعنى هذا أن عدد الترتيبات الدائرية مضروبًا في ﻙ يساوي ﻥﻝﻙ. بقسمة الطرفين على ﻙ، نجد أن عدد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من العناصر في نمط دائري من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة يساوي ﻥﻝﻙ مقسومًا على ﻙ. سنتناول الآن مثالًا واقعيًّا على ذلك.
أوجد عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها ستة أطفال في دائرة.
نتذكر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد ﻙ من العناصر في نمط دائري من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة يساوي ﻥﻝﻙ مقسومًا على ﻙ. في هذا المثال، نرتب ستة طلاب في دائرة من إجمالي ستة طلاب. أي إن ﻥ يساوي ستة، وﻙ أيضًا يساوي ستة. وبذلك، علينا حساب ستة ﻝ ستة مقسومًا على ستة. بناء على معرفتنا بالتباديل، فإن ﻥﻝﻙ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. وهذا يعني أن ستة ﻝ ستة يساوي مضروب ستة مقسومًا على مضروب ستة ناقص ستة. يمكن تبسيط المقام إلى مضروب صفر، وهو ما يساوي واحدًا. ستة ﻝ ستة يساوي مضروب ستة.
إذن، عدد الطرق التي يمكن لستة أطفال أن يجلسوا بها في دائرة يساوي مضروب ستة مقسومًا على ستة. إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، يمكن إعادة كتابة مضروب ﻥ على الصورة: ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. وعليه، مضروب ستة يساوي ستة مضروبًا في مضروب خمسة. يمكننا بعد ذلك قسمة البسط والمقام على ستة، ويتبقى لدينا مضروب خمسة. وهذا يساوي ١٢٠. إذن، توجد ١٢٠ طريقة يمكن أن يجلس بها ستة أطفال في دائرة.
سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. التباديل ﻥﻝﻙ هي طريقة لعد الطرق المختلفة لترتيب ﻙ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر المختلفة. يمكن الإشارة إلى التباديل ﻥﻝﻙ كما هو موضح أيضًا. لحساب عدد التباديل ﻥﻝﻙ، نقسم مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﻙ. وأخيرًا، رأينا في المثال الأخير أن عدد الترتيبات الدائرية لعدد ﻙ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر يساوي ﻥﻝﻙ مقسومًا على ﻙ.
