نسخة الفيديو النصية
أوجد نقطتي انقلاب الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة على اثنين ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة.
لنبدأ بتذكر ما نعرفه عن نقاط الانقلاب لدالة. هي النقاط التي تقع على التمثيل البياني للدالة حيث يتغير اتجاه الانحناء. تتغير الدالة من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل أو العكس. عند نقطة الانقلاب نفسها، فإن المشتقة الثانية، وهي في هذه الحالة ﺩ شرطتين ﺱ، تساوي صفرًا. ولكن يمكن أن ينطبق هذا أيضًا على بعض نقاط القيم الصغرى المحلية ونقاط القيم العظمى المحلية. وعليه، فإن إشارة قيمة المشتقة الثانية تتغير أيضًا حول قيمة ﺱ لنقطة الانقلاب.
وهذا يعكس حقيقة أن المشتقة الثانية للدالة تكون موجبة عندما يكون تقعر الدالة لأعلى وتكون سالبة عندما يكون تقعر الدالة لأسفل. إذن، إذا كان هناك تغير في تقعر الدالة، فسيكون هناك أيضًا تغير في إشارة المشتقة الثانية. وجدير بالذكر أيضًا أن نقاط الانقلاب يمكن أن تحدث في حالة عدم وجود المشتقة الثانية للدالة. ولكن بما أن الدالة كثيرة الحدود، فإن جميع مشتقاتها ستكون كثيرات حدود؛ ومن ثم ستكون معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. لإيجاد نقاط انقلاب هذه الدالة، علينا أولًا إيجاد تعبير للمشتقة الثانية، وهو ما يمكننا فعله بالاشتقاق مرتين.
نلاحظ أن الدالة ﺩﺱ هي دالة كثيرة الحدود. وبالتالي لإيجاد مشتقتها، يمكننا تطبيق قاعدة القوة العامة للاشتقاق، التي تنص على أن مشتقة ﺃﺱ، بالنسبة لـ ﺱ، مرفوعة للقوة النونية للقيم الحقيقية لـ ﺃ وﻥ تساوي ﺃﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب ذلك في الأس الأصلي ﻥ، ثم نطرح واحدًا من الأس. قبل الاشتقاق، قد يكون من المفيد أن نتذكر أن الثابت أربعة يمكن كتابته على الصورة أربعة مضروبًا في ﺱ أس صفر. والآن، يمكننا إيجاد المشتقة الأولى للدالة بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق.
لدينا نصف مضروبًا في أربعة مضروبًا في ﺱ تكعيب، بالنسبة لمشتقة الحد الأول، ناقص ثلاثة مضروبًا في اثنين ﺱ، بالنسبة لمشتقة الحد الثاني، زائد أربعة مضروبًا في صفر مضروبًا في ﺱ أس سالب واحد، بالنسبة لمشتقة الحد الثالث. لكن بالطبع، الضرب في صفر يعطينا صفرًا فقط. ومن ثم، نلاحظ أن مشتقة العدد الثابت تساوي صفرًا. نبسط المشتقة الأولى إلى اثنين ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ. لإيجاد المشتقة الثانية، نشتق مرة أخرى. وقد يكون من المفيد هنا أن نعتبر أن سالب ستة ﺱ يساوي سالب ستة ﺱ أس واحد. بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، نجد أن ﺩ شرطتين ﺱ تساوي اثنين مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ستة.
العدد سالب ستة هذا يساوي في الحقيقة سالب ستة مضروبًا في واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر. لكن بما أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا، فإن هذا يساوي سالب ستة مضروبًا في واحد مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي سالب ستة. يمكن تبسيط المشتقة الثانية إلى ستة ﺱ تربيع ناقص ستة. والآن تذكر أنه فيما يتعلق بنقاط انقلاب دالة، سنبحث عن الموضع الذي تساوي عنده المشتقة الثانية صفرًا أولًا. إذن، الخطوة التالية هي جعل هذا التعبير يساوي صفرًا وحل المعادلة الناتجة. فيكون لدينا المعادلة، ستة ﺱ تربيع ناقص ستة يساوي صفرًا. يمكننا قسمة الطرفين على ستة ثم إضافة واحد إلى كلا طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا ﺱ تربيع يساوي واحدًا.
الخطوة الأخيرة هي أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع تذكر أن علينا أخذ موجب أو سالب الجذر التربيعي. بالتالي، لدينا ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد، وهو ما يساوي موجب أو سالب واحد. إذن، لقد حللنا المعادلة وأوجدنا قيمتي ﺱ. لكن تذكر أن هذه هي إحداثيات ﺱ لنقطتي انقلاب محتملتين؛ لأن هاتين النقطتين يمكن أن تكونا أيضًا قيمتين صغريين محليتين أو قيمتين عظميين محليتين. ثمة أمران علينا القيام بهما. أولًا، علينا إيجاد قيمة الدالة نفسها لكل من قيمتي ﺱ هاتين. بإيجاد قيمة الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا، يصبح لدينا واحد أس أربعة على اثنين ناقص ثلاثة مضروبًا في واحد تربيع زائد أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة على اثنين.
وبإيجاد قيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب واحد، نحصل أيضًا على ثلاثة على اثنين لأن الدالة ﺩﺱ هي في الواقع دالة زوجية. إذن ﺩﺱ تساوي ﺩ لسالب ﺱ. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي الدالة عند كل من نقطتي الانقلاب المحتملتين. كلتاهما يساوي ثلاثة على اثنين. الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة المشتقة الثانية بالقرب من جانبي قيمتي ﺱ لكل نقطة من نقطتي الانقلاب المحتملتين، حتى نتمكن من تحديد ما إذا كان سيطرأ تغير على إشارة المشتقة الثانية أم لا. يمكننا اختيار قيم ﺱ سالب اثنين وصفر وموجب اثنين؛ لأن هذه القيم تقع بالقرب من نقطتي الانقلاب المحتملتين من الجانبين.
والآن، نعلم بالفعل أن المشتقة الثانية تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي واحدًا. علينا الآن إيجاد قيمتها عند كل من قيم ﺱ الأخرى هذه. عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يكون لدينا ﺩ شرطتان لسالب اثنين تساوي ستة مضروبًا في سالب اثنين تربيع ناقص ستة. وهذا يساوي ستة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ٢٤ ناقص ستة، وهو ما يساوي ١٨. والنقطة الأساسية هنا هي أن المشتقة الثانية تكون موجبة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. عند ﺱ يساوي اثنين، فإن قيمة المشتقة الثانية تساوي ١٨ مرة أخرى. وفي الواقع، المشتقة الثانية دالة زوجية أيضًا. ﺩ شرطتان ﺱ تساوي ﺩ شرطتين لسالب ﺱ.
ومن ثم، نقول إنه عند ﺱ يساوي اثنين، تكون قيمة المشتقة الثانية موجبة. لكن عند ﺱ يساوي صفرًا، وهو بين نقطتي الانقلاب المحتملتين، فإن المشتقة الثانية تساوي ستة مضروبًا في صفر تربيع ناقص ستة، وهو ما يساوي سالب ستة. وبالتالي، تكون قيمة المشتقة الثانية سالبة عند قيمة ﺱ هذه. وعليه، فقد وجدنا أن المشتقة الثانية تتغير بالفعل من موجب إلى صفر إلى سالب حول قيمة ﺱ التي تساوي سالب واحد. وبالتالي، فهذا يدل بالفعل على وجود نقطة انقلاب.
كما نجد أن قيمة المشتقة الثانية تتغير من سالب إلى صفر إلى موجب حول قيمة ﺱ التي تساوي واحدًا. وبالتالي، فإن هذا أيضًا يدل على وجود نقطة انقلاب. إذن، أولًا بإيجاد النقطتين اللتين عندهما تكون قيمة المشتقة الثانية للدالة صفرًا، والتفكير فيما إذا كان قد يطرأ تغير على إشارة المشتقة الثانية أيضًا حول قيمتي ﺱ هاتين، وجدنا أن للدالة نقطتي انقلاب. النقطتان اللتان إحداثياتهما هي واحد، ثلاثة على اثنين؛ وسالب واحد، ثلاثة على اثنين.
