نسخة الفيديو النصية
يدور حبل منتظم أفقيًّا حول أحد طرفيه، كما هو موضح في الشكل. يعود طرف الحبل المقابل للطرف الثابت إلى موضعه كل 0.65 ثانية. يتحرك الطرف الحر من الحبل بسرعة ثابتة من النقطة 𝐴 إلى النقطة 𝐵. ما نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐴 إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐵؟
في هذا الشكل، نرى الحبل في موضعين مختلفين. يدور الحبل بحيث يتحرك في مسار دائري وطرفه الثابت يقع هنا. وعندما يدور، يمر الطرف الحر من الحبل بالنقطتين 𝐵 و𝐴. تقع هاتان النقطتان على نفس المسافة القطرية وهي 0.22 متر من الطرف الثابت للحبل.
للإجابة عن هذا الجزء الأول من السؤال الذي يتناول العجلة المركزية، دعونا نبدأ بملاحظة أنه إذا كان لدينا جسم يتحرك في مسار دائري، كهذا الجسم الأزرق هنا، بسرعة خطية 𝑣 في دائرة نصف قطرها 𝑟، فإن العجلة المركزية للجسم، التي سنسميها 𝑎c، تساوي 𝑣 تربيع على 𝑟. هذه هي العجلة التي يتعرض لها الجسم في اتجاه مركز مساره الدائري. وبالفعل، يقصد بكلمة «المركزية» أنها تتجه نحو المركز. في أي وقت يتحرك جسم في مسار دائري كطرف الحبل الذي لدينا، فإنه يتعرض لعجلة مركزية. نريد أن نقارن العجلة المركزية للحبل عند النقطة 𝐴 بالعجلة المركزية للحبل عند النقطة 𝐵.
يخبرنا السؤال أن الطرف الحر من الحبل يتحرك بسرعة ثابتة بين هاتين النقطتين. يمكننا أن نكتب الآن أن سرعة الحبل عند مروره بالنقطة 𝐴 تساوي سرعة الحبل عند مروره بالنقطة 𝐵. وبما أن هاتين السرعتين متساويتان، فسنسميهما ببساطة 𝑣. يمكننا إذن كتابة العجلة المركزية لطرف الحبل عند النقطة 𝐴 على أنها تساوي 𝑣 تربيع على 𝑟𝐴؛ حيث 𝑟𝐴 هي المسافة بين الطرف الثابت للحبل والنقطة 𝐴. وبالمثل، فإن العجلة المركزية للحبل عند مروره بالنقطة 𝐵 هي 𝑣 تربيع على 𝑟𝐵.
عرفنا سابقًا أن المسافة بين الطرف الثابت للحبل والنقطتين 𝐴 و𝐵 متساويتان. يمكننا إذن كتابة أن 𝑟𝐴 يساوي 𝑟𝐵. وبما أن هاتين القيمتين متساويتان، يمكننا أن نسميهما ببساطة 𝑟. باستخدام هذه الرموز، نلاحظ أن العجلة المركزية للحبل عند النقطة 𝐴 تساوي العجلة المركزية للحبل عند النقطة 𝐵. وهذا يعني أنه عندما نوجد نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐴 إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐵، فإن هذه النسبة تساوي واحدًا. ويجب أن تكون هذه هي الإجابة لأن العجلة المركزية للحبل عند النقطتين 𝐴 و𝐵 واحدة.
هيا نفرغ الآن بعض المساحة على الشاشة ونتناول الجزء الثاني من السؤال.
ما نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐴 إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐷؟
نلاحظ أن النقطة 𝐷 أقرب إلى طرف الحبل الثابت من النقطة 𝐴 أو النقطة 𝐵. كتبنا سابقًا أن مقدار العجلة المركزية للحبل عند النقطة 𝐴 يساوي 𝑣 تربيع على 𝑟𝐴. لجعل هذه المعادلة خاصة بالنقطة 𝐴، دعونا نطلق على السرعة 𝑣𝐴. ومن ثم، عندما يكون طرف الحبل عند النقطة 𝐴، فإنه يتحرك بسرعة 𝑣𝐴، ويكون على مسافة 𝑟𝐴 من الطرف الثابت للحبل. بالنسبة لهذا الجزء من الحبل الذي يمر بالنقطة 𝐷، فإنه يتحرك بسرعة 𝑣𝐷. ويكون على مسافة 𝑟𝐷 من الطرف الثابت للحبل.
والآن، دعونا نتذكر العلاقة بين السرعة الخطية 𝑣 لجسم يتحرك في مسار دائري وسرعته الزاوية 𝜔. عندما يتحرك الجسم في دائرة نصف قطرها 𝑟، فإن 𝑣 تساوي 𝑟 في 𝜔. نتذكر ذلك لأنه سيساعدنا في كتابة العجلة المركزية للجسم بطريقة مختلفة. إذا عوضنا عن 𝑣 بـ 𝑟 في 𝜔، فستصبح معادلة العجلة المركزية هي 𝑟 تربيع في 𝜔 تربيع على 𝑟، أو بما أن أحد المعاملات وهو 𝑟 سيلغى من البسط والمقام، فسيكون لدينا 𝑟 في 𝜔 تربيع.
عندما نفكر في دوران الحبل حول أحد طرفيه، يمكننا ملاحظة أن لجميع النقاط على الحبل السرعة الزاوية نفسها. هذا يعني أن الفترة الزمنية التي تستغرقها نقطة ما، لنقل هنا على الحبل، لتدور دورة كاملة في مسار دائري هي نفسها الفترة الزمنية التي تستغرقها أي نقطة أخرى على الحبل، مثل هذه أو هذه. ولا تعتمد السرعة الزاوية لنقطة على الحبل 𝜔 على المسافة بين هذه النقطة والطرف الثابت للحبل.
كل هذا يعني أن بإمكاننا إعادة كتابة معادلة العجلة المركزية للحبل عند النقطتين 𝐴 و𝐷. بدلًا من استخدام السرعة الخطية 𝑣𝐴 و𝑣𝐷، يمكننا التعبير عن العجلة المركزية بدلالة السرعة الزاوية 𝜔، التي لا تتغير عند النقطتين. عندما نحاول إيجاد النسبة التي يطلبها السؤال، نجد أنها تساوي 𝑟𝐴 في 𝜔 تربيع على 𝑟𝐷 في 𝜔 تربيع. لاحظ أن السرعة الزاوية 𝜔 ستحذف من البسط والمقام. ومن ثم، فإن نسبة العجلة المركزية عند هاتين النقطتين تساوي ببساطة النسبة بين نصفي القطرين 𝑟𝐴 و𝑟𝐷.
يوضح الشكل الذي لدينا أن 𝑟𝐴 تساوي 0.22 متر. و𝑟𝐷 تساوي 0.16 متر. وفي هذا الكسر، ستحذف وحدتا المتر من البسط والمقام. 0.22 على 0.16 يساوي 1.375. إذن، هذه هي نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐴 إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة 𝐷.
