نسخة الفيديو النصية
أوجد الفترات التي تكون عندها الدالة دﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ ناقص اثنين تزايدية أو تناقصية.
أولًا، نتذكر أن الدالة دﺱ تزايدية عندما يكون ميلها، الذي يعطى بدلالة المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ، موجبًا؛ وتناقصية عندما يكون ميلها، ﺩ شرطة ﺱ، سالبًا. علينا استخدام الاشتقاق لإيجاد تعبير دال على ﺩ شرطة ﺱ، ثم إيجاد الفترات التي يكون عندها موجبًا أو سالبًا. لكن يمكننا أيضًا رسم مخطط لما قد تبدو عليه الدالة دﺱ.
الدالة دﺱ دالة تكعيبية. ولها معامل رئيسي موجب. من ثم فإن الدالة دﺱ تبدو بهذا الشكل تقريبًا. بناء على المخطط، نلاحظ أنه من المتوقع أن تتزايد دﺱ على فترتين، وقد ظللناهما باللون البرتقالي. ومن المتوقع أيضًا أن تتناقص الدالة دﺱ على فترة واحدة، وهي الفترة المظللة الآن باللون الوردي. يمكننا استخدام هذا المخطط للتحقق مما سنستنتجه باستخدام الاشتقاق.
أولًا، دعونا نوجد تعبيرًا دالًّا على المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نشتق كل حد على حدة. مشتقة ﺱ تكعيب تساوي ثلاثة ﺱ تربيع. ومشتقة سالب ثلاثة ﺱ تساوي سالب ثلاثة. ومشتقة الثابت، سالب اثنين، تساوي صفرًا. ومن ثم نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة.
لتحديد الفترات التي تكون فيها الدالة دﺱ تزايدية، علينا التفكير في المواضع التي تكون فيها مشتقتها الأولى موجبة. من ثم يمكننا استخدام التعبير عن المشتقة الأولى لكتابة المتباينة: ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة أكبر من صفر. يمكننا قسمة طرفي هذه المتباينة على ثلاثة ثم إضافة واحد إلى كلا الطرفين لنحصل على المتباينة المكافئة: ﺱ تربيع أكبر من واحد.
علينا الانتباه هنا لأن هذه متباينة تربيعية. من الخطأ أن نحسب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة ونقول إن ﺱ أكبر من الجذر التربيعي لواحد أو حتى ﺱ أكبر من موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد.
بدلًا من ذلك، دعونا ننظر إلى القيم على خط الأعداد. لكي يكون ﺱ تربيع أكبر من واحد، يمكن أن يكون ﺱ موجبًا أو سالبًا. لكن يجب في هذه الحالة أن تكون القيمة المطلقة لـ ﺱ أكبر من واحد، ما يعني أن ﺱ يجب أن يكون أقل من سالب واحد أو أكبر من موجب واحد. بذلك، يكون لدينا موضعان مختلفان تتزايد فيهما الدالة: قيم ﺱ الأقل من سالب واحد، وقيم ﺱ الأكبر من موجب واحد. وهذا يتسق مع ما لاحظناه في المخطط.
لمعرفة مواضع تناقص الدالة دﺱ، يمكننا اتباع خطوات مماثلة تقريبًا. لكن علينا فقط عكس اتجاه المتباينة. تكون دﺱ تناقصية عندما يكون ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة، أي المشتقة الأولى، أقل من صفر، ما يعني أن ﺱ تربيع أقل من واحد. ولكي يكون ﺱ تربيع أقل من واحد، يجب أن تكون القيمة المطلقة لـ ﺱ أقل من واحد أيضًا، أي إن ﺱ نفسه يجب أن يكون بين سالب واحد وواحد.
إذن لدينا فترة واحدة تتناقص فيها الدالة. وهذا يتسق، مجددًا، مع ما لاحظناه في المنحنى الذي رسمناه لـ دﺱ. لاحظ أن قيمتي سالب واحد وواحد غير متضمنتين في أي من الفترات. وهذا لأنه عند هاتين القيمتين، ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا. وهما نقطتان حرجتان للدالة دﺱ.
بالنظر إلى إشارة المشتقة الأولى للدالة، لاحظنا أن الدالة تزايدية على الفترتين المفتوحتين من سالب ∞ إلى سالب واحد ومن واحد إلى ∞، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد.
