فيديو: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد

افترض أن ‪𝑉 = 𝑖‬‏، ‪𝑊 = 3𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘‬‏. احسب ‪𝑉 × 𝑊‬‏.

٠٣:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن 𝑉 يساوي 𝑖 و𝑊 يساوي ثلاثة 𝑖 زائد اثنين 𝑗 زائد أربعة 𝑘. احسب 𝑉 ضرب اتجاهي 𝑊.

نريد حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝑉 و𝑊. يمكننا كتابة حاصل الضرب الاتجاهي هذا كمحدد لمصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. المدخلات في الصف الأول من المصفوفة هي متجهات الوحدة 𝑖 و𝑗 و𝑘. هذه المتجهات هي نفسها المتجهات 𝑖 و𝑗 و𝑘 المكتوب بدلالتها المتجهان 𝑉 و𝑊. المتجهات 𝑖 و𝑗 و𝑘 متعامدة وتتجه في الاتجاهات 𝑥 و𝑦 و𝑧 على الترتيب.

نجد أن مدخلات الصف الثاني من هذه المصفوفة هي المتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي، وهو 𝑉. أما مدخلات الصف الثاني، فهي معاملات 𝑖 و𝑗 و𝑘 عند كتابة 𝑉 بدلالة 𝑖 و𝑗 و𝑘. نلاحظ أن 𝑉 مكتوب بهذه الطريقة بالفعل. ‏‏𝑉 يساوي 𝑖 بالضبط. ويمكننا كتابته بطريقة تجعل المعاملات أكثر وضوحًا. ‏‏𝑉 يساوي واحد 𝑖 زائد صفر 𝑗 زائد صفر 𝑘. نكتب هذه المعاملات، واحد، صفر، صفر، في المحدد.

وتأتي مدخلات الصف الثالث والأخير في المحدد، من المتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي، وهو 𝑊. تخبرنا المسألة بأن 𝑊 يساوي ثلاثة 𝑖 زائد اثنين 𝑗 زائد أربعة 𝑘. وبالتالي، مدخلات الصف الثالث هي ثلاثة، اثنان، أربعة. والآن نمسح جزءًا من اللوح لإيجاد هذا المحدد. نفك المحدد باستخدام الصف الأول، لنحصل من كل مدخل على حد.

نحصل على حد يتضمن 𝑖، وحد يتضمن 𝑗، وحد يتضمن 𝑘. معامل 𝑖 هو محدد المصفوفة الناتج عن حذف الصف والعمود اللذين يتضمنان 𝑖. وبالمثل، معامل 𝑗 هو محدد المصفوفة الناتج عن حذف الصف والعمود اللذين يتضمنان 𝑗. وعلينا طرح هذا الحد الأوسط. وأخيرًا، معامل 𝑘 هو المحدد الناتج عن حذف الصف والعمود اللذين يتضمنان 𝑘.

يمكننا الاستعانة بالصيغة المستخدمة لإيجاد قيمة المحددات التي رتبتها اثنان في اثنين. وهي حاصل ضرب الحدين الواقعين على القطر الرئيسي، ناقص حاصل ضرب الحدين الواقعين على القطر الآخر. ويمكننا التبسيط، لنحصل على صفر 𝑖 ناقص أربعة 𝑗 زائد اثنين 𝑘. يمكننا كتابة ذلك في الصورة الإحداثية: صفر، سالب أربعة، اثنان. يجب أن يكون حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝑉 و𝑊، هو متجه آخر عمودي على كل من 𝑉 و𝑊.

وفي حين تصعب علينا رؤية تعامد المتجه الناتج على 𝑊. لا بد أننا نستطيع رؤية تعامده على 𝑉. مركبة المتجه الناتج في الاتجاه 𝑥 تساوي صفرًا، وبالتالي فهو عمودي على 𝑉 الذي يشير في الاتجاه 𝑥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.