فيديو الدرس: حل المعادلات التربيعية: التحليل الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام التحليل. سنتناول ما المقصود بحل المعادلات التربيعية بيانيًا، وكيف تبدو هذه العملية لمجموعة متنوعة من المعادلات. قبل أن نبدأ هذا الموضوع، من المهم أن تكون قادرًا على تحليل المقادير التربيعية البسيطة التي تكون على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، تحليلًا كاملًا. وتكون على دراية بأساليب تحليل المقادير التي على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. وكذلك تلك المقادير التي تتضمن إيجاد الفرق بين مربعين.

لتوضيح الصورة في هذا الصدد، سنركز بإيجاز على التمثيل البياني لمعادلة تربيعية على الصورة: ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ١٢. نقول إن جذور المعادلة هي قيم ﺱ التي يقطع عندها المنحنى المحور ﺱ. وبقراءة هذه القيم من التمثيل البياني، نجد أن ﺱ يساوي سالب ستة، وﺱ يساوي اثنين هما جذرا هذه المعادلة. لكن ما الشيء الآخر الذي نفهمه من ذلك؟

معادلة المحور ﺱ هي ﺹ يساوي صفرًا. وبهذا، ﺱ يساوي سالب ستة، وﺱ يساوي اثنين هما الحلان للمعادلة: ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. ببساطة، استبدلنا ﺹ بصفر في المعادلة. لكننا بالطبع لن نرغب دائمًا في رسم التمثيل البياني للمعادلة. ماذا لو حللنا، بدلًا من ذلك، المقدار التربيعي: ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ١٢؟

بالنظر إلى المقدار، نجد أن الحدود الثلاثة جميعها هنا أعداد أولية فيما بينها. هذا يعني أن العامل الوحيد المشترك بينها هو الواحد. في حالة المقدار التربيعي، تلك إشارة جيدة إلى أن تحليل المقدار سيكون عبارة عن زوجين من الأقواس. نعلم أنه عند ضرب أو توزيع هذه الأقواس، فلا بد من وجود ﺱ تربيع. إذن، الحد الأول في كل قوس يجب أن يكون ﺱ؛ لأن ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع.

بعد ذلك، تذكر أننا نحدد العدد الثابت في كل قوس عن طريق إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي سالب ١٢ ومجموعهما يساوي أربعة. أزواج عوامل العدد ١٢ هي واحد و ١٢، واثنان وستة، وثلاثة وأربعة. نعلم أن الفرق بين ستة واثنين يساوي أربعة، وأن موجبًا في سالب يعطي إشارة سالبة. أي إن ستة في سالب اثنين يساوي سالب ١٢، وستة ناقص اثنين يساوي أربعة.

وهكذا، يمكن أن نكتب المقدار التربيعي: ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ١٢ على الصورة: ﺱ زائد ستة في ﺱ ناقص اثنين. وهذا المقدار يساوي صفرًا. ونجد أن كل مقدار داخل هذين القوسين سيعطينا عددًا ما. وحين نضرب عددين معًا، نحصل على صفر. إذن، ما الذي يشير إليه هذا بشأن عدد أو آخر من هذين العددين؟

السبيل الوحيد لهذا أن يكون أحد العددين يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إما أن ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. والآن، دعونا نوجد قيمة ﺱ. نحل المعادلة الأولى بطرح ستة من كلا الطرفين. بهذا، ﺱ يساوي سالب ستة. ونحل المعادلة الثانية بجمع اثنين إلى كلا الطرفين. لنجد بذلك أن ﺱ يساوي اثنين. وبهذا نكون وجدنا حلًا للمعادلة: ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. لاحظ أن هذين هما الجذران اللذان حددناهما سابقًا.

وهكذا، تعلمنا أنه كي نحل معادلة تربيعية، علينا أن نساويها بالصفر ثم نحللها. لكن هذا يخبرنا أيضًا بقيم ﺱ التي عندها يقطع المنحنى المحور ﺱ. دعونا نلق نظرة على مثال لذلك.

حلل المعادلة: ﺹ يساوي ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ. عند أي قيم ﺱ يتقاطع التمثيل البياني للمعادلة: ﺹ يساوي ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ مع المحور ﺱ؟

سنحلل المقدار التربيعي: ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ. لاحظ أن لدينا في هذا المقدار حدين بينهما عامل مشترك. كل من ستة ﺱ تربيع وتسعة ﺱ يقبلان القسمة على ثلاثة وﺱ. إذن، العامل المشترك الأكبر بينهما هو ثلاثة ﺱ. هذا يعني أنه عند تحليل المقدار، نأخذ ثلاثة ﺱ خارج القوس. ولإيجاد الحدين داخل القوس، نقسم كلًا من ستة ﺱ تربيع وتسعة ﺱ على العامل المشترك الأكبر. ستة مقسومًا على ثلاثة يساوي اثنين. إذن، ستة ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة ﺱ يساوي اثنين ﺱ.

ثم نرى أن تسعة ﺱ مقسومًا على ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة. وهكذا عندما نحلل المقدار: ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ، نحصل على ثلاثة ﺱ في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. وبهذا تصبح المعادلة: ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ في اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

الجزء الثاني من هذا السؤال يطلب منا إيجاد قيم ﺱ التي يقطع عندها التمثيل البياني للمعادلة المحور ﺱ. هذان هما جذرا المعادلة. وبالطبع نتذكر أن معادلة المحور ﺱ هي ﺹ يساوي صفرًا. إذن، المنحنى يقطع المحور ﺱ عند قيمتي ﺱ؛ حيث ﺹ يساوي صفرًا. جعلنا ﺹ تساوي صفرًا في المعادلة الأصلية. فنحصل على صفر يساوي ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ.

ولكن تذكر أننا حللنا هذا المقدار، وحصلنا على ثلاثة ﺱ في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. إذن، نستبدل ستة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ بصورة المقدار بعد التحليل. نجد الآن أن لدينا مقدارين، وهما ثلاثة ﺱ واثنين ﺱ زائد ثلاثة، وحاصل ضربهما يساوي صفرًا. وكي يتحقق ذلك، لا بد أن يكون ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، أو يكون اثنان ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. جذرا هذه المعادلة، أي قيمتا ﺱ اللتان عندهما يقطع المنحنى المحور ﺱ، هما حلا هاتين المعادلتين.

وهكذا نوجد قيمة ﺱ. نحل المعادلة الأولى بقسمة الطرفين على ثلاثة. فنجد أن ﺱ يساوي صفرًا. لحل المعادلة الثانية، نبدأ بطرح ثلاثة من كلا الطرفين. إذن، اثنان ﺱ يساوي سالب ثلاثة. وأخيرًا، نقسم المقدار على اثنين. ونحصل على ﺱ يساوي سالب ثلاثة على اثنين أو سالب ١٫٥. إذن، قيمتا ﺱ اللتان يقطع عندهما المنحنى المحور ﺱ هما صفر وسالب ثلاثة على اثنين.

والآن، سنتناول مثالًا حول كيفية حل معادلة تربيعية معاملها الرئيسي يساوي واحدًا، أي يكون فيها معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا، وذلك عن طريق التحليل.

حل المعادلة: ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا بالتحليل.

مطلوب منا في السؤال أن نحل هذه المعادلة باستخدام التحليل. لذا سنبدأ بتحليل المقدار التربيعي: ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة. نرى أن لدينا مقدارًا تربيعيًا له ثلاثة حدود. وهذه الحدود أولية فيما بينها. أي إن العامل الوحيد المشترك بينها هو واحد. وهذا يعني أنه يمكننا تحليل هذا المقدار إلى قوسين.

نعلم أن الحد الأول في كل قوس من القوسين لا بد أن يكون ﺱ؛ لأن ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع كما هو مطلوب. لكن لكي نوجد العدد الثابت في كل قوس، نبحث عن عددين حاصل ضربهما أربعة ومجموعهما يساوي سالب أربعة. وهكذا نبدأ ببساطة بكتابة أزواج العوامل للعدد أربعة. وهما واحد وأربعة، واثنان واثنان.

ناتج جمع اثنين واثنين يساوي أربعة. لكننا نعلم أن سالبًا مضروبًا في سالب يعطي إشارة موجبة. وبذلك، إذا اخترنا العددين سالب اثنين وسالب اثنين، نجد أن سالب اثنين في سالب اثنين يساوي موجب أربعة، وهو المطلوب. ولكن مجموعهما، سالب اثنين زائد سالب اثنين، يساوي سالب أربعة، وهو المطلوب. وهكذا، عند تحليل ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة، نحصل على ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين.

توجد طريقتان لحل هذه المعادلة التربيعية. الأولى أن نتذكر أنه عند ضرب عدد في نفسه، فهذا يسمى تربيع العدد. وبهذا، ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين يساوي ﺱ ناقص اثنين تربيع. وتصبح لدينا المعادلة: ﺱ ناقص اثنين تربيع يساوي صفرًا.

والآن سنأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. عادة نأخذ الجذر التربيعي الموجب والسالب للقيمة الموجودة في الطرف الأيسر. لكن بالطبع، الجذر التربيعي لصفر هو صفر. لذا عند حساب الجذر التربيعي للطرفين، نحصل ببساطة على ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. وسنوجد قيمة ﺱ في هذه المعادلة بجمع اثنين إلى الطرفين. لنجد أن ﺱ يساوي اثنين هو حل المعادلة.

قد يبدو من غير المعتاد أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط. لذا، سنستعرض الطريقة الثانية لنرى نتيجتها. باستخدام الطريقة الأخرى، سنفكر فيما يحدث هنا. لدينا عددان حاصل ضربهما يساوي صفرًا. وكي يتحقق ذلك لا بد أن يكون أحد العددين يساوي صفرًا. إذن، إما ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا، وإما ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. لكن هاتين هما نفس المعادلة؛ وحل كل منهما هو ﺱ يساوي اثنين. في هذه الحالة نقول إن هذه المعادلة لها جذران متساويان. وعلى الرسم البياني، يعني هذا أن الرأس أو نقطة التحول على التمثيل البياني هي نقطة تقاطع المنحنى مع المحور ﺱ. وقد يبدو هكذا.

والآن، سنتناول كيف نوجد جذور المعادلات التربيعية التي معاملها الرئيسي لا يساوي الواحد.

حل المعادلة تسعة ﺱ تربيع زائد ٣٠ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا بالتحليل.

هذه معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي الواحد، أي معادلة تربيعية فيها معامل ﺱ تربيع لا يساوي واحدًا. هذا يعني أن تحليل هذا المقدار التربيعي يكون أكثر صعوبة قليلًا من المعتاد. قد نلاحظ أن هذا المقدار عبارة عن مربع كامل؛ حيث ﺃ وﺟ عددان مربعان. لكن إن لم نلاحظ ذلك، يمكن أن نستخدم أسلوب التجربة والخطأ أو الطريقة التالية للتحليل.

في هذه الطريقة، أول ما نفعله هو ضرب معامل ﺱ تربيع في الثابت. تسعة في ٢٥ يساوي ٢٢٥. لذا، نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي ٢٢٥ ومجموعهما يساوي ٣٠. ‏‏٢٢٥ عدد مربع؛ حيث إن ١٥ في ١٥ يساوي ٢٢٥. ونعلم أيضًا أن ناتج جمع ١٥ و١٥ يساوي ٣٠.

الخطوة التالية هي أن نقسم ٣٠ﺱ إلى ١٥ﺱ و١٥ﺱ. وبذلك، نحصل على المقدار التربيعي: تسعة ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ١٥ﺱ زائد ٢٥. الآن نبدأ بتحليل الحدين الأولين معًا، والحدين الأخيرين معًا. العامل المشترك الأكبر لتسعة ﺱ تربيع و١٥ﺱ هو ثلاثة ﺱ. إذن بتحليل هذين الحدين الأولين، نحصل على ثلاثة ﺱ في ثلاثة ﺱ زائد خمسة. والعامل المشترك الأكبر للحدين الآخرين هو خمسة. إذن بتحليل ١٥ﺱ زائد ٢٥، نحصل على خمسة في ثلاثة ﺱ زائد خمسة.

لاحظ أن لدينا الآن عاملًا مشتركًا هو ثلاثة ﺱ زائد خمسة. لذا سنحلل هذا المقدار. ثلاثة ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ثلاثة ﺱ وخمسة. إذن، هذا هو المقدار ذو الحدين الآخر. وبهذا يصبح المقدار لدينا هو ثلاثة ﺱ زائد خمسة في ثلاثة ﺱ زائد خمسة.

بالطبع، نحن الآن نحل المعادلة: تسعة ﺱ تربيع زائد ٣٠ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا. لذا، دعنا نساو هذا بصفر. ونعلم أنه لكي يكون حاصل ضرب هذين العددين صفرًا، يجب أن يكون أحد العددين يساوي صفرًا. إذن، إما ثلاثة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، وإما ثلاثة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. في الواقع، هاتان المعادلتان هما نفس المعادلة، وسنحصل منهما على نفس الناتج.

لذا، سنكتفي بحل المعادلة: ثلاثة ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا. نطرح خمسة من كلا الطرفين. إذن، ثلاثة ﺱ يساوي سالب خمسة. ثم نقسم الطرفين على ثلاثة. ومن ثم ﺱ يساوي سالب خمسة على ثلاثة. إذن، نجد أن حل المعادلة تسعة ﺱ تربيع زائد ٣٠ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا هو ﺱ يساوي سالب خمسة على ثلاثة. يمكننا القول إن هذه المعادلة لها جذران متساويان أو جذر متكرر.

وتذكر أنه يمكننا التحقق من صحة الحل عن طريق التعويض بقيمة ﺱ يساوي سالب خمسة على ثلاثة في المقدار الأصلي. وإذا وجدنا الناتج يساوي صفرًا، فتكون بذلك خطواتنا صحيحة.

والآن، سنتناول التمثيل البياني لدالة معامل ﺱ بها يساوي صفرًا.

ما قيم ﺱ التي يقطع عندها التمثيل البياني للمعادلة: ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص سبعة المحور ﺱ؟

تذكر أن معادلة المحور ﺱ هي ﺹ يساوي صفرًا. إذن، التمثيل البياني يقطع المحور ﺱ عند ﺹ يساوي صفرًا. لذا، سنساوي ﺹ بصفر ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. إذن، المعادلة تصبح صفر يساوي ﺱ تربيع ناقص سبعة. الآن، هذه معادلة تربيعية. وقد نفكر في أننا بحاجة إلى التحليل. لكن معامل ﺱ هنا هو صفر. إذن، يمكننا حل المعادلة عن طريق إعادة الترتيب.

سنبدأ بإضافة سبعة إلى كلا طرفي المعادلة، ليصبح لدينا سبعة يساوي ﺱ تربيع. خطوتنا التالية هي أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. لكن تذكر، أنه لفعل ذلك، علينا أن نأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي للعدد سبعة. إذن، ﺱ يساوي موجب وسالب الجذر التربيعي لسبعة. هذا يعني أن جذري المعادلة، أي قيمتي ﺱ اللتين عندهما يقطع التمثيل البياني المحور ﺱ، هما جذر سبعة وسالب جذر سبعة.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكن أن نحصل على الجذر الآخر للمعادلة بمعلومية أحد الجذرين.

إذا كان سالب ١٠ جذرًا للمعادلة: اثنان ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠ يساوي صفرًا، فما الجذر الآخر؟

من المعطيات في المسألة أن سالب ١٠ جذر لهذه المعادلة، وهذا يعني أن هذه المعادلة التربيعية يجب أن تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب ١٠. هذا بالأساس حل للمعادلة: اثنان ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠ يساوي صفرًا. وهذا في الواقع يعني أن ﺱ زائد ١٠ لا بد أن يكون أحد عوامل اثنين ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠. لذا، يمكن أن نكتب اثنين ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠ على صورة: ﺱ زائد ١٠ مضروبًا في مقدار آخر ذي حدين.

دعونا نضع صورة لهذا المقدار ذي الحدين. لنقل إنه على صورة: ﺃﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان. علينا أن نوزع الأقواس في الطرف الأيسر للمعادلة ونرى ما الذي سنحصل عليه. نبدأ بضرب ﺱ في ﺃﺱ. هذا يساوي ﺃﺱ تربيع. ثم نضرب الطرفين. وهما ﺱ في ﺏ، أي ﺏﺱ. بعد ذلك، نضرب الوسطين. لنحصل على ١٠ في ﺃﺱ، أي ١٠ﺃﺱ. وأخيرًا، نضرب ١٠ في ﺏ، أي ١٠ﺏ. وهكذا، نجد أن هذا يساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠.

والآن، نستخدم عملية تسمى مقارنة المعاملات. وننظر إلى معاملات الحدود المختلفة. لنبدأ بمقارنة معاملي ﺱ تربيع. في الطرف الأيمن، لدينا اثنان. وفي الطرف الأيسر، معامل ﺱ تربيع هو ﺃ. إذن، عند مقارنة معاملي ﺱ تربيع، نجد أن ﺃ يساوي اثنين.

بعد ذلك، يمكن أن نقارن معاملي ﺱ. لكن في الواقع، سنقارن الثابتين. قد نقول إنهما معاملا حدي ﺱ أس صفر. في الطرف الأيمن، الثابت هو سالب ٧٠. وفي الطرف الأيسر، لدينا ١٠ﺏ. وهكذا، سالب ٧٠ يساوي ١٠ﺏ. لذا سنقسم على ١٠ لنوجد قيمة ﺏ. بهذا، ﺏ يساوي سالب سبعة. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المقدار التربيعي على الصورة: ﺱ زائد ١٠ في اثنين ﺱ ناقص سبعة. عوضنا عن ﺃ وﺏ بقيمتيهما.

لكننا نعلم أننا نستخدم هذه العملية لحل المعادلة: اثنان ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ ناقص ٧٠ يساوي صفرًا. نعلم بالفعل أن لدينا الجذر سالب ١٠. وهذا حصلنا عليه بمساواة ﺱ زائد ١٠ بصفر. والآن، سنساوي اثنين ﺱ ناقص سبعة بصفر، ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. سنضيف سبعة إلى كلا طرفي المعادلة، فنجد أن اثنين ﺱ يساوي سبعة. ثم نقسم الطرفين على اثنين. وبهذا، نجد أن ﺱ يساوي سبعة على اثنين، أو ٣٫٥. ويمكن أن نتحقق من هذه الإجابة بالتعويض بقيمة ﺱ يساوي سبعة على اثنين في المعادلة الأصلية، لنتأكد أنها بالفعل تساوي صفرًا.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن جذور المعادلة التربيعية هي حلول ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ورأينا أنه عندما نحاول أن نحل معادلة تربيعية على هذه الصورة، نبدأ بتحليل المقدار التربيعي حيثما أمكن. وبعد التحليل، نساوي كل قوس بصفر، ونحل لإيجاد قيمة ﺱ. وبالطبع، يمكننا التحقق من الحل بالتعويض بالحلول مرة أخرى في المقدار الأصلي.