نسخة الفيديو النصية
قذفت كرة من الأرض بزاوية 𝜃 وسرعة 𝑣. أقصى ارتفاع رأسي تصله الكرة 8 m وأقصى مدى أفقي تصله 15 m. احسب قيمة 𝜃. افترض أن 𝑔 تساوي 10 أمتار لكل ثانية تربيع. أ: 82.4 درجة، ب: 64.9 درجة، ج: 46.8 درجة، د: 28.1 درجة.
في هذا السؤال علمنا أن كرة قذفت من الأرض بزاوية 𝜃 من الأفقي. وعلمنا أيضًا أن أقصى ارتفاع للكرة يساوي ثمانية أمتار، وأن المسافة الأفقية التي تقطعها الكرة من نقطة قذفها إلى نقطة وصولها إلى الأرض مرة أخرى هي 15 مترًا. بناء على هذه المعلومات، علينا حساب الزاوية 𝜃 بين الأفقي واتجاه السرعة الابتدائية للكرة 𝑣.
لحساب قيمة 𝜃، دعونا نبدأ بقول إن الكرة تستغرق الزمن 𝑇 لإكمال مسارها. وبما أننا سنتجاهل تأثير مقاومة الهواء على الكرة، فيمكننا افتراض أن المسار متماثل حول نقطة المنتصف وأن الكرة عند وصولها إلى أقصى ارتفاع لها كانت في منتصف رحلتها بالضبط، عند زمن يساوي 𝑇 على اثنين.
بعد ذلك، تجدر الإشارة هنا أن عجلة الجاذبية تساوي 10 أمتار لكل ثانية تربيع. وستكون هذه العجلة في الاتجاه الرأسي فقط؛ لأن قوة الجاذبية المؤثرة على الكرة تؤثر لأسفل في اتجاه الأرض. بعبارة أخرى، إذا كان الاتجاه الأفقي يسمى 𝑥، والاتجاه الرأسي يسمى 𝑦، فيمكننا القول إن العجلة في الاتجاه 𝑦، 𝑎𝑦، تساوي سالب 10 أمتار لكل ثانية تربيع، أو سالب 𝑔 كما ورد في السؤال.
والسبب في أن هذه القيمة سالبة هو أننا افترضنا ضمنيًّا أن أي حركة في اتجاه الأعلى تكون موجبة وذلك عندما ذكرنا أن أقصى ارتفاع للكرة يساوي موجب ثمانية أمتار. تحركت الكرة لأعلى لتصل إلى أقصى إزاحة رأسية مقدارها ثمانية أمتار؛ ومن ثم فإن العجلة لأسفل ستكون قيمتها سالبة. يخبرنا السؤال أيضًا بأن الكرة قذفت بسرعة 𝑣. نوجد المركبتين الأفقية والرأسية لهذه السرعة ليتسنى لنا دراسة الحركة الأفقية والرأسية للكرة كل على حدة.
دعونا نتذكر أن السرعة الأفقية الابتدائية للكرة، التي سنسميها 𝑣𝑥، تساوي 𝑣 مضروبة في cos 𝜃. وبالمثل، فإن مركبة السرعة الرأسية الابتدائية، 𝑣𝑦، تساوي 𝑣 مضروبة في sin 𝜃. والسبب في أننا نفعل ذلك هو أن بإمكاننا الآن دراسة الحركة الأفقية والرأسية للكرة كل على حدة، وهو ما سيسهل علينا العمليات الحسابية.
على سبيل المثال، لنتذكر أنه إذا تحرك جسم بسرعة ثابتة، فإن سرعة هذا الجسم تساوي إزاحته مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه الإزاحة. يمكننا تطبيق هذه المعادلة على الحركة الأفقية للكرة؛ لأنه في هذا الاتجاه، تكون سرعة الكرة ثابتة بالفعل.
سنفرغ بعض المساحة للحل، نجد أن السرعة الأفقية للكرة، 𝑣 في cos 𝜃، تساوي المسافة الأفقية 𝑠𝑥 على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة، الذي رمزنا إليه بالحرف 𝑇. نعرف قيمة 𝑠𝑥؛ وهي 15 مترًا، لكننا لن نعوض بها الآن.
بعد ذلك، لنطبق بعض معادلات الحركة على الحركة الأفقية والرأسية للكرة. دعونا نتذكر أنه لا يمكن تطبيق معادلات الحركة المعروفة إلا على الأجسام التي تتحرك بعجلة ثابتة. ينطبق هذا الشرط على الكرة الواردة في السؤال؛ إذ إنها تتحرك للأسفل بعجلة ثابتة بفعل الجاذبية. أول معادلة حركة يمكننا تذكرها هي المعادلة الآتية. السرعة النهائية للجسم 𝑣f تساوي السرعة الابتدائية 𝑣i زائد العجلة 𝑎 مضروبة في الزمن المستغرق للحركة 𝑡.
يمكننا تطبيق ذلك على الحركة الرأسية للكرة عند لحظة قذفها ولحظة وصولها إلى أقصى ارتفاع لها. السرعة الرأسية النهائية للكرة في هذه الحالة تساوي صفرًا. عندما تكون الكرة عند أقصى ارتفاع لها، يجب أن تساوي سرعتها الرأسية صفرًا بالضبط. لأنه إذا لم يكن الأمر كذلك، لواصلت الكرة التحرك لأعلى أو لما وصلت إلى هذا الارتفاع، ولكانت قيمة أقصى ارتفاع لها مختلفة. إذن 𝑣f𝑦 تساوي السرعة الرأسية الابتدائية، التي تساوي 𝑣 في sin 𝜃، زائد العجلة، التي تساوي سالب 𝑔، في زمن حركة الكرة.
وبما أننا ندرس حركة الكرة لأعلى حتى وصولها إلى أقصى ارتفاع لها فحسب، فسيكون الزمن هذه المرة هو 𝑇 على اثنين؛ أي نصف الزمن المستغرق للحركة الكاملة للكرة. يمكننا الآن إعادة ترتيب هاتين المعادلتين اللتين توصلنا إليهما حتى نتمكن من جعل 𝑣 في طرف بمفردها في كل منهما. في هذه المعادلة، نعلم أن 𝑣f𝑦 تساوي صفرًا؛ وبذلك نجد أن 𝑣 تساوي 𝑔 في 𝑇 على اثنين sin 𝜃. نعيد ترتيب المعادلة الأولى بحيث تصبح 𝑣 تساوي 𝑠𝑥 على 𝑇 في cos 𝜃.
والآن، نساوي الطرفين الأيمنين من هاتين المعادلتين؛ لأن كليهما يساوي 𝑣. عندما نفعل ذلك، نعيد الترتيب مرة أخرى. بذلك تصبح المعادلة 𝑠𝑥 في sin 𝜃 على cos 𝜃 يساوي 𝑔 في 𝑇 تربيع على اثنين. والسبب في أننا نعيد الترتيب هكذا هو أن نريد الاستفادة من أن sin 𝜃 على cos 𝜃 يساوي tan 𝜃.
بعد ذلك يمكننا تطبيق معادلة حركة أخرى على الحركة الرأسية للكرة. تخبرنا هذه المعادلة بأن إزاحة الجسم تساوي السرعة الابتدائية في الزمن المستغرق زائد نصف العجلة في الزمن تربيع.
بالنسبة إلى سقوط الكرة من أقصى ارتفاع لها إلى الأرض مرة أخرى، تكون الإزاحة الرأسية سالب 𝑠𝑦، والسرعة الرأسية الابتدائية تساوي صفرًا، والعجلة تساوي سالب 𝑔، والزمن يساوي 𝑇 على اثنين. بحذف الحد الذي يساوي صفرًا لأن السرعة الابتدائية تساوي صفرًا، وحذف الإشارتين السالبتين من الحدين الآخرين، نجد أن 𝑠𝑦 تساوي نصف 𝑔 في 𝑇 تربيع على أربعة.
هناك طريقة أخرى لكتابة الطرف الأيمن من هذه المعادلة وهي: ربع في نصف 𝑔 في 𝑇 تربيع. والسبب في فعلنا ذلك هو أن الطرف الأيمن للمعادلة التي حصلنا عليها من قبل يحتوي على نصف 𝑔 في 𝑇 تربيع. هذا يعني أن بإمكاننا مساواة الطرفين الأيسرين إذا راعينا هذا الربع. بفعل ذلك، نجد أن 𝑠𝑦 تساوي ربعًا في 𝑠𝑥 في tan 𝜃.
والآن، نعرف قيم جميع الكميات الموجودة في هذه المعادلة باستثناء 𝜃؛ لذا يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمتها. بفعل ذلك، نجد أن tan 𝜃 يساوي أربعة في 𝑠𝑦 على 𝑠𝑥. إذن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ tan هذه الكمية. وأخيرًا نعوض بقيمة 𝑠𝑦، التي تساوي ثمانية أمتار، وقيمة 𝑠𝑥، التي تساوي 15 مترًا. تحذف وحدتا المتر من البسط والمقام، وهذا جيد؛ لأننا نريد عددًا بلا وحدة ليتسنى لنا إيجاد الدالة العكسية للظل له. عندما نوجد قيمة هذا التعبير، نجد أن 𝜃 تساوي 64.88 درجة إلى آخره. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يصبح الناتج 64.9 درجة.
بالرجوع إلى الخيارات، نجد أن هذا هو الخيار ب. إذن، وجدنا أن قياس الزاوية بين الأرض واتجاه السرعة الابتدائية للكرة يساوي 64.9 درجة.
