فيديو الدرس: حل معادلات خطية ذات قيم مجهولة في كلا طرفي المعادلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية حل المعادلات الخطية التي تشتمل على حدود تتضمن متغيرًا مجهولًا في كلا طرفي المعادلة. ببعض التفكير المتأني، يمكننا تسهيل الأمور على أنفسنا عن طريق التأكد من الحصول على عدد موجب من القيمة المجهولة في أحد طرفي المعادلة. لنلق نظرة على بعض الأمثلة ونعرف المزيد.

المثال الأول، حل: ثلاثة ﺱ ناقص خمسة يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة. حسنًا كما ترى، لدينا ثلاثة ﺱ في الطرف الأيمن، ولدينا اثنان ﺱ في الطرف الأيسر. إذن مهمتنا الأولى هي محاولة حذف ﺱ من أحد الطرفين. يمكننا الاختيار ما بين اثنتين من العمليات العكسية. فإما أن نطرح ثلاثة ﺱ من كلا الطرفين لحذف ﺱ من الطرف الأيمن، وإما أن نطرح اثنين ﺱ من كلا الطرفين لحذف ﺱ من الطرف الأيسر. الآن إذا طرحت ثلاثة ﺱ من كلا الطرفين، يكون لدي في الطرف الأيمن ثلاثة ﺱ ناقص خمسة ناقص ثلاثة ﺱ، وثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا. إذن سيتبقى لدينا سالب خمسة. ثم لدي في الطرف الأيسر اثنان ﺱ، وسأطرح منها ثلاثة ﺱ. اثنان ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي سالب واحد ﺱ، أو سالب ﺱ فحسب. وكما هو واضح، لدي زائد ثلاثة أيضًا. حسنًا، الآن لدي سالب خمسة يساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة. أمامي اختيار من اثنين. فإما أن أجرب حذف الثلاثة من الطرف الذي يحتوي على ﺱ، ولكن عندئذ سيظل لدي عدد سالب من ﺱ. أو يمكنني إضافة ﺱ إلى كلا الطرفين للحصول على عدد موجب من ﺱ في أحد الطرفين. لذا، سأجرب إضافة ﺱ إلى كلا الطرفين. وبذلك، يصبح لدي في الطرف الأيسر سالب ﺱ زائد ﺱ، وهو ما يساوي صفرًا. سيحذف هذان معًا، ويتبقى لدينا ثلاثة. الآن لدي سالب خمسة زائد ﺱ في الطرف الأيمن يساوي ثلاثة. إذن إذا أضفت خمسة إلى كلا الطرفين، فإنه يصبح لدي في الطرف الأيمن سالب خمسة زائد خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. يحذف هذان معًا، ويتبقى لدينا ﺱ. وفي الطرف الأيسر، ثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية، إذن ﺱ يساوي ثمانية.

إذن نجحت هذه الطريقة. وها قد حصلت على الإجابة. لنحل ذلك مرة أخرى. لكن هذه المرة بدلًا من حذف ثلاثة ﺱ من كلا الطرفين في أول خطوة، دعونا نطرح اثنين ﺱ من كلا الطرفين. في الطرف الأيمن لدي ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي ﺱ فحسب. وكما هو واضح، ما زال لدي الحد سالب خمسة. وفي الطرف الأيسر، لدي اثنان ﺱ ناقص اثنين ﺱ. حسنًا هذا يساوي صفرًا، إذن يحذف هذان معًا. وبذلك يتبقى لدينا موجب ثلاثة فقط. والآن، يمكنني إضافة خمسة إلى كلا الطرفين لحذف سالب خمسة من الطرف الأيمن. وهذا يعني أنه سيكون لدي في الطرف الأيمن سالب خمسة زائد خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. إذن يحذف هذان معًا، ليتبقى لدينا ﺱ فقط. وفي الطرف الأيسر، ثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية. إذن حصلنا على نفس الإجابة في كلتا الحالتين. فالناتج هو ﺱ يساوي ثمانية في الحالتين. لكن عندما حذفت اثنين ﺱ من هذا الطرف وتبقى عدد موجب من ﺱ في الطرف الآخر بدلًا من العدد السالب من ﺱ، كان الحل أسرع. فقد اختصرت بذلك إحدى خطوات الحل. إذن إليك نصيحة مهمة: عندما تكون لديك مسألة تتضمن قيمة مجهولة في كلا طرفي المعادلة، فعليك أن تجرب حذف القيمة المجهولة التي ستجعلك تحصل على عدد موجب من ذلك المتغير في الطرف الآخر من المعادلة، وسيوفر لك ذلك بعض الوقت.

حسنًا، لننتقل إلى سؤال آخر.

حل: أربعة ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ١١ ناقص ثلاثة ﺱ. حسنًا، سأستخدم إحدى العمليتين العكسيتين: إما أن نحذف أربعة ﺱ من هذا الطرف عن طريق طرح أربعة ﺱ من كلا الطرفين أو نحذف سالب ثلاثة ﺱ من هذا الطرف عن طريق إضافة ثلاثة ﺱ إلى كلا الطرفين. إذن أحتاج فقط أن أفكر بعناية أيهما سأتبع. إذا طرحت أربعة ﺱ من كلا الطرفين، فسوف أحذف أربعة ﺱ من الطرف الأيمن؛ لكن في الطرف الأيسر، سأحصل على سالب ثلاثة ﺱ ناقص أربعة ﺱ. وسيتبقى لدي سالب سبعة ﺱ، إذن لن أقوم بذلك. إذا أضفت ثلاثة ﺱ إلى كلا الطرفين، فسيؤدي ذلك إلى حذف سالب ثلاثة ﺱ من الطرف الأيسر. لكن في الطرف الأيمن، سيكون لدي أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ، أي موجب سبعة ﺱ. إذن هذه هي العملية العكسية التي سأجريها في كلا الطرفين. إذن لدي المعادلة الأصلية، لكنني سأضيف ثلاثة ﺱ إلى كلا الطرفين. أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي سبعة ﺱ. ثم علي أن أطرح ثلاثة، إذن ما زال لدي هذا الحد هنا. في الطرف الأيسر، لدي سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ. حسنًا هذا يساوي صفرًا، ومن ثم يحذفان معًا. وبهذا يصبح لدي ١١ فقط. الآن، يصبح لدي في الطرف الأيمن سبعة ﺱ ناقص ثلاثة. والعملية العكسية لطرح ثلاثة هي إضافة ثلاثة. إذن سأضيف ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، لدي سبعة ﺱ ناقص ثلاثة، وسأضيف ثلاثة إلى ذلك. وفي الطرف الأيسر، لدي ١١ وسأضيف ثلاثة إلى ذلك. في الطرف الأيمن، سالب ثلاثة زائد ثلاثة يساوي صفرًا. ذلك هو المغزى من إضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين، وبذلك يتبقى لدي سبعة ﺱ فقط. وفي الطرف الأيسر، ١١ زائد ثلاثة يساوي ١٤. إذن أصبح لدي الآن سبعة ﺱ يساوي ١٤. حسنًا هذا يعني سبعة في ﺱ. والعملية العكسية للضرب في سبعة هي القسمة على سبعة. إذن سأقسم طرفي المعادلة على سبعة. وذلك يعني أنه في الطرف الأيمن، لدي سبعة في الجزء العلوي وسبعة في الجزء السفلي. إذن بقسمة سبعة على سبعة، أحصل على واحد. سبعة على سبعة يساوي واحدًا. وبذلك، يصبح لدي ﺱ فقط في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، ١٤ على سبعة يساوي اثنين فحسب، إذن الإجابة هي ﺱ يساوي اثنين. الآن سأتحقق من الناتج للتأكد من صحة الإجابة. في الطرف الأيمن من المعادلة الأصلية، يوجد أربعة ﺱ ناقص ثلاثة. حسنًا، معلوم لنا الآن أن ﺱ يساوي اثنين. إذن سنعوض عن ﺱ باثنين. وبالتالي، يصبح ذلك أربعة في اثنين ناقص ثلاثة. أربعة في اثنين يساوي ثمانية، إذن لدي الآن ثمانية ناقص ثلاثة، وثمانية ناقص ثلاثة يساوي خمسة. إذن الطرف الأيمن يساوي خمسة. لنر قيمة الطرف الأيسر عندما نعوض فيه عن ﺱ باثنين. ‏١١ ناقص ثلاثة ﺱ، إذا كان ﺱ يساوي اثنين، فذلك يساوي ١١ ناقص ثلاثة في اثنين. وثلاثة في اثنين يساوي ستة. إذن ١١ ناقص ستة يساوي خمسة. وهذه هي نفس قيمة الطرف الأيمن، ومن ثم فهما متساويان. إذن يبدو أننا على صواب. إذن عندما تحل هذا النوع من الأسئلة في اختبار أو امتحان، فعليك التحقق من الناتج متى سنحت الفرصة؛ لأنك ستتأكد حينها من صحة إجابتك أو خطئها. وإذا أخطأت في أي خطوة وكتبت عددًا غير صحيح، فسيكون لديك وقت لتصحيح ذلك على الأقل.

حسنًا لننتقل إلى المثال الثالث. يا إلهي! انظر إلى هذا!

لدينا ١٫٥ﺱ زائد خمسة يساوي ثلاثة ﺱ ناقص واحد، إذن الأعداد لا تكون دائمًا سهلة كما نريدها أن تكون. لكن، بالنظر إلى العمليات العكسية لحذف ﺱ من أحد الطرفين، يمكننا بالأساس إما طرح ١٫٥ﺱ من كلا الطرفين، وإما طرح ثلاثة ﺱ من كلا الطرفين. إذا طرحنا ١٫٥ﺱ من الطرف الأيمن، فسيؤدي ذلك إلى حذف ﺱ. وإذا طرحنا ١٫٥ﺱ من الطرف الأيسر، فسيكون لدينا ثلاثة ﺱ ناقص ١٫٥ﺱ. سيكون لدينا موجب ١٫٥ﺱ في الطرف الأيسر. إذن يبدو أن هذه ستكون خطة جيدة. لنتحقق من الطريقة الأخرى. إذا طرحنا ثلاثة ﺱ من الطرف الأيسر، فلن يكون لدينا أي ﺱ؛ ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا. إذا طرحنا ثلاثة ﺱ من الطرف الأيمن، ١٫٥ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي سالب ١٫٥ﺱ، وهو ما لا نأمله، لذا لن أجري هذه العملية. إذن سنطرح ١٫٥ﺱ من الطرف الأيمن، بدأنا بـ ١٫٥ﺱ وسنطرح الآن ١٫٥ﺱ. لا يوجد لدينا أي ﺱ. إذن يتبقى لدينا خمسة فقط. وفي الطرف الأيسر، بدأنا بثلاثة ﺱ. سنطرح ١٫٥ﺱ، فيصبح لدينا ١٫٥ﺱ، وسالب واحد. إذن، لدي الآن ١٫٥ﺱ ناقص واحد. حسنًا، العملية العكسية لطرح واحد هي إضافة واحد. لحذف كل شيء والإبقاء على الحد ﺱ فقط، سأضيف واحدًا إلى كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيسر سالب واحد زائد واحد يساوي صفرًا. وبذلك، يتبقى لدينا ١٫٥ﺱ فقط. وفي الطرف الأيمن، خمسة زائد واحد يساوي ستة. وهكذا، يصبح لدينا الآن ١٫٥ﺱ يساوي ستة. العملية العكسية للضرب في ١٫٥، وهو ما نفعله هنا، هي القسمة على ١٫٥. إذا قررت قسمة كلا الطرفين على ١٫٥، فكم مرة يتكرر العدد ١٫٥ في ستة؟ إذا كنا نستطيع معرفة ذلك، فأقترح القسمة على ١٫٥ هذه المرة. وفي الواقع، أعلم أن ١٫٥ زائد ١٫٥ يساوي ثلاثة. إذن العدد ١٫٥ يتكرر في ستة أربع مرات. إذن يمكنني حساب ذلك ذهنيًّا. أما إذا كنت لا ترغب في ذلك، فثمة نصيحة مهمة أخرى، وهي أن تحاول فحسب التخلص من هذا العدد العشري في هذه الخطوة، ربما عن طريق مضاعفة كلا طرفي المعادلة. إذن اثنان، في ستة في الطرف الأيمن يساوي ١٢. اثنان، في ١٫٥ﺱ في الطرف الأيسر يساوي ثلاثة ﺱ. والآن، يمكنني إجراء العملية العكسية للضرب في ثلاثة، وهي القسمة على ثلاثة. وهذا عدد صحيح؛ ومن ثم فمن الأسهل التعامل معه. في الطرف الأيسر، لدي ثلاثة ﺱ على ثلاثة، وهو ما يساوي ﺱ فحسب. وفي الطرف الأيسر، ١٢ على ثلاثة يساوي أربعة. إذن الإجابة هي أربعة يساوي ﺱ، أو ﺱ يساوي أربعة. والآن إذا كان لدي متسع من الوقت، فيمكنني التحقق مجددًا من الطرف الأيمن والطرف الأيسر إن أردت. لكن، سأوضح لكم في عجالة طريقة حل أكثر إيجازًا إلى حد ما. فقد كنت أكتب كل المعادلات مجددًا، وأضيف حدًّا، وأطرح حدًّا، وأشرح كل الخطوات بوضوح جدًّا. لكن توجد طريقة مختصرة إلى حد ما يمكنك اتباعها عندما تعتاد تلك المسائل وتعرف ما ينبغي عليك فعله. لنلق نظرة على ذلك. في الخطوة الأولى، قلنا إننا سنطرح ١٫٥ﺱ من كلا طرفي المعادلة. كما أرى، لدي الآن في الطرف الأيمن ١٫٥ﺱ. سأطرح ١٫٥ﺱ. لا داعي لكتابة كل ذلك على هذا النحو. يمكنني حساب ذلك مباشرة، وكتابة الناتج خمسة. ثم في الطرف الأيسر، ثلاثة ﺱ ناقص ١٫٥ﺱ يساوي ١٫٥ﺱ. ولدي أيضًا ناقص واحد. والآن، سأضيف واحدًا إلى كلا الطرفين. فهذه هي العملية العكسية لطرح واحد، ومن ثم يمكنني حساب ذلك مباشرة: خمسة زائد واحد يساوي ستة. إذن، سأكتب ذلك. في الطرف الأيسر، ١٫٥ﺱ ناقص واحد زائد واحد يساوي ١٫٥ﺱ فحسب. الآن سـأضاعف كلا الطرفين مثلما فعلت من قبل. ومرة أخرى، يمكنني كتابة الناتج فقط في كل مرة. والآن سأقسم كلا الطرفين على ثلاثة. ومرة أخرى، يمكنني كتابة الناتج فقط؛ ١٢ على ثلاثة يساوي أربعة؛ ثلاثة ﺱ على ثلاثة يساوي ﺱ فقط. وهكذا، يكون لدينا — كما ترى — حل أبسط بخطوات أقل. فما زال لدينا شرح واضح تمامًا لكل خطوة من الحل، ولكن بخطوات أقل نتوصل بها إلى الناتج النهائي.

ومن ثم، سنستخدم هذه الطريقة لحل مثالنا الرابع والأخير.

حل: اثنان في ثلاثة ﺱ ناقص خمسة زائد أربعة في ﺱ زائد واحد يساوي سبعة في اثنين ﺱ ناقص أربعة. لدينا هنا عدد من الأقواس علينا فكها، ثم علينا تجميع بعض الحدود المتشابهة للحصول على نسخة أبسط من المعادلة متضمنة القيمة المجهولة في كلا الطرفين. إذن سأستخدم قانون التوزيع لحساب حاصل ضرب اثنين في ثلاثة ﺱ، واثنين في سالب خمسة. ثم سأضرب موجب أربعة في ﺱ، وموجب أربعة في موجب واحد. ثم سأضرب سبعة في اثنين ﺱ، وسبعة في سالب أربعة. اثنان في ثلاثة ﺱ يساوي ستة ﺱ، واثنان في سالب خمسة يساوي سالب ١٠. موجب أربعة في ﺱ يساوي موجب أربعة ﺱ، وموجب أربعة في موجب واحد يساوي موجب أربعة. هذا في الطرف الأيمن. في الطرف الأيسر، سبعة في اثنين ﺱ يساوي ١٤ﺱ، وسبعة في سالب أربعة يساوي سالب ٢٨. والآن، علينا تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن. حسنًا لدي ستة ﺱ، ولدي أربعة ﺱ. إذن ستة ﺱ زائد أربعة ﺱ يساوي ١٠ﺱ. ثم لدي سالب ١٠ زائد أربعة يساوي سالب ستة. وفي الطرف الأيسر، ما زال لدي ١٤ﺱ ناقص ٢٨. إذن، يجب أن أقرر الآن. هل سأطرح ١٤ﺱ من كلا الطرفين أم سأطرح ١٠ﺱ من كلا الطرفين؟ حسنًا إذا طرحت ١٤ﺱ من كلا الطرفين، فسيصبح لدي ١٠ﺱ ناقص ١٤ﺱ، وهو ما يعطينا سالب أربعة ﺱ في الطرف الأيمن. لكن إذا طرحت ١٠ﺱ من كلا الطرفين، فسيصبح لدي في الطرف الأيسر ١٤ﺱ ناقص ١٠ﺱ. ومن ثم، سأحصل على موجب أربعة ﺱ. في الطرف الأيمن، ١٠ﺱ ناقص ١٠ﺱ يساوي صفرًا، ويتبقى لدي سالب ستة فقط. لا تنس إشارة السالب قبل الستة. ‏١٤ﺱ ناقص ١٠ﺱ يساوي أربعة ﺱ. وما زال لدي سالب ٢٨. أما في الطرف الأيسر، فلدي أربعة ﺱ ناقص ٢٨، وأريد أن يتبقى لدي فقط هذا الحد المتضمن ﺱ. لذا، سأقوم بالعملية العكسية لطرح ٢٨ من كلا الطرفين. سأضيف ٢٨ إلى كلا الطرفين. في الطرف الأيمن، إذا بدأت عند سالب ستة وأضفت ٢٨، فسأحصل على موجب ٢٢. وفي الطرف الأيسر، أربعة ﺱ ناقص ٢٨ زائد ٢٨ يساوي أربعة ﺱ. وأخيرًا، سأجري العملية العكسية للضرب في أربعة لإلغاء ضرب أربعة في ﺱ للحصول على واحد ﺱ فقط. لذا سأقسم طرفي المعادلة على أربعة. وبقسمة الطرف الأيسر على أربعة، يكون لدي ﺱ فقط، ويصبح الطرف الأيسر ٢٢ على أربعة. لكن انظر، يمكنني تبسيط ذلك. لاحظ أن كلًّا من الجزء العلوي والسفلي يقبل القسمة على اثنين. إذن النسخة المبسطة من هذا الكسر هي ١١ على اثنين. إذن الإجابة هي: ﺱ يساوي ١١ على اثنين. أو إذا كنت تفضل كتابة هذا كعدد كسري، فسيكون ﺱ يساوي خمسة ونصفًا.

إذن لنلخص سريعًا الخطوات التي قمنا بها لحل هذه المعادلات الخطية التي تتضمن قيمة مجهولة في كلا طرفيها. أولًا، إذا كان لدينا أقواس، فعلينا توزيع المعامل بضربها فيه. ثانيًا، علينا تجميع أي حدود متشابهة. ثالثًا، علينا اتخاذ قرار بشأن ما سنفعله في كلا الطرفين لحذف ﺱ من أحد الطرفين. وتذكر هنا أن القاعدة المثالية تنص على محاولة الحصول على عدد موجب من المتغير ﺱ في أحد طرفي المعادلة. ثم احتجنا إلى إجراء عمليات عكسية إضافية للحصول على الحد ﺱ فقط. وأخيرًا، قررنا ما العملية العكسية التي سنقوم بها ليتبقى لدينا واحد ﺱ فقط في أحد الطرفين، وعدد فقط في الطرف الآخر. ثم إذا كان لدينا متسع من الوقت، بعد الانتهاء من الامتحان أو الاختبار مثلًا، فيمكننا التعويض بالناتج في الطرف الأيمن، ثم في الطرف الأيسر من المعادلة، والتأكد من أنهما متساويان بالفعل، وبذلك نكون قد حصلنا على الإجابة الصحيحة.