فيديو الدرس: الوسط الهندسي الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الأوساط الهندسية بين حدين غير متتاليين في متتابعة هندسية.

عندما نفكر في الوسط لعددين، فإننا نفكر في الوسط الحسابي. إذا أخذنا عددين ﺃ وﺏ، فإننا نجمع هذين العددين معًا ونقسم على اثنين. ولكن هذا ليس المفهوم الوحيد للوسط. على سبيل المثال، الوسط الهندسي لعددين لهما الإشارة نفسها يعرف بأنه الجذر التربيعي لحاصل ضرب العددين. من الناحية المنهجية، إذا كان لدينا عددان ﺃ وﺏ، لهما الإشارة نفسها، يكون الوسط الهندسي لهما هو الجذر التربيعي لـ ﺃ في ﺏ. لاحظ أنه في حالة اختلاف إشارتي ﺃ وﺏ، فإن حاصل ضربهما يكون سالبًا؛ ومن ثم فإن الوسط الهندسي سيكون غير معرف.

والآن، دعونا نفكر أيضًا في الوسط الهندسي لعددين في سياق المتتابعات الهندسية. تذكر أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة من الأعداد لها نسبة مشتركة بين كل حدين متتاليين. على سبيل المثال، دعونا نتناول المتتابعة التي تتضمن الحدود: ثلاثة، ستة، ١٢، ٢٤، ٤٨. يمكننا إيجاد النسبة عن طريق قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. إذن، فهي ستة مقسومة على ثلاثة، أو ١٢ مقسومة على ستة، وهكذا. ولكن في الحالتين، نجد أن النسبة المشتركة هي اثنان. والآن، دعونا نوضح ما يحدث بأخذ الوسط الهندسي للحدين الأول والثالث من المتتابعة.

تذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ لهما الإشارة نفسها، فإن الوسط الهندسي لهما يساوي الجذر التربيعي لحاصل ضربهما. وفي هذه الحالة، فإنه يساوي الجذر التربيعي لثلاثة في ١٢ أو الجذر التربيعي لـ ٣٦ وهو ما يساوي ستة. ونلاحظ أن هذا يساوي الحد الثاني في المتتابعة. إذن، الوسط الهندسي للحدين الأول والثالث هو قيمة الحد الثاني. دعونا نجرب ذلك مرة أخرى. دعونا نوجد الوسط الهندسي للحدين الثالث والخامس. فهو يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢ في ٤٨ وهذا يساوي ٢٤. مرة أخرى، هذا هو الحد الذي يقع بين الحدين لدينا. إذن، الوسط الهندسي للحدين الثالث والخامس هو الحد الرابع.

يمكننا تعميم ذلك بالطريقة الآتية. إذا كانت لدينا متتابعة هندسية ذات نسبة موجبة، فإن أي حد وسيط في هذه المتتابعة هو المتوسط الهندسي أو الوسط الهندسي للحدين المتجاورين. بأخذنا كل هذه التعريفات في الاعتبار، دعونا نبدأ بإيجاد الوسط الهندسي لعددين.

أوجد الوسط الهندسي بين ١٦ وأربعة.

تذكر أنه إذا كان هناك عددان ﺃ وﺏ لهما الإشارة نفسها، فإن الوسط الهندسي لهما هو الجذر التربيعي لـ ﺃ في ﺏ. العددان لدينا هما ١٦ وأربعة، وكل منهما موجب. إذن، دعونا نفترض أن ﺃ يساوي ١٦ وﺏ يساوي أربعة. الوسط الهندسي لهما إذن هو الجذر التربيعي لـ ١٦ في أربعة. وعلى الرغم من أنه يمكننا تطبيق قوانين الجذور لتبسيط ذلك، فإن ١٦ في أربعة يساوي ٦٤، وهو عدد مربع في حد ذاته. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٦٤ يساوي ثمانية، فإن الوسط الهندسي لـ ١٦ وأربعة هو ثمانية.

لقد أوضحنا كيفية إيجاد الوسط الهندسي لعددين. دعونا نتعرف الآن على كيفية توسيع نطاق ذلك لإيجاد الوسط الهندسي لمقدارين جبريين.

أوجد الوسط الهندسي للمقدارين تسعة ﺱ أس ٣٦ و٣٦ﺹ أس ٤٠.

تذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ عددين لهما الإشارة نفسها، فإن الوسط الهندسي لهما يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ في ﺏ. أما إذا كان للعددين إشارتان مختلفتان، فإن حاصل ضرب ﺃ وﺏ سيكون سالبًا؛ ومن ثم سيصبح الوسط الهندسي غير معرف. دعونا نلق نظرة أكثر تمعنا على المقدارين الجبريين لدينا. المقدار الأول هو حاصل ضرب عددين موجبين. نحن نعرف ذلك لأن ﺱ أس ٣٦ له أس زوجي؛ ومن ثم فإن التعويض بأي عدد حقيقي في هذا المقدار سيعطينا قيمة موجبة. والمقدار الآخر هو أيضًا حاصل ضرب عددين موجبين. ‏ﺹ أس ٤٠ له أس زوجي؛ لذا سيكون غير سالب.

يمكننا إذن التعويض بالمقدارين تسعة ﺱ أس ٣٦ و٣٦ﺹ أس ٤٠ عن كل من ﺃ وﺏ، على الترتيب. إذن، الوسط الهندسي يساوي الجذر التربيعي لتسعة ﺱ أس ٣٦ في ٣٦ﺹ أس ٤٠. وفي هذه المرحلة، يمكننا ضرب تسعة في ٣٦ ثم المقدار الجبري. ولكن حاصل ضرب تسعة و٣٦ عدد كبير. لذا، يمكننا استخدام قوانين الجذور لفصل كل مقدار. وبفعل ذلك، نجد أنه يساوي الجذر التربيعي لتسعة في الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ٣٦ في الجذر التربيعي لـ ٣٦ في الجذر التربيعي لـ ﺹ أس ٤٠. نحن نعلم أن الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة، والجذر التربيعي لـ ٣٦ يساوي ستة. ثلاثة في ستة يساوي ١٨؛ إذن سيكون معامل المقدار الأخير لدينا هو ١٨.

ولكن كيف نوجد الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ٣٦؟ حسنًا، الجذر التربيعي لعدد حقيقي ما — لنفترض أنه ﺟ — يمكن كتابته على صورة ﺟ أس نصف. سنوجد إذن قيمة ﺱ أس ٣٦ أس نصف. ولتبسيط ذلك، نضرب الأسين؛ ٣٦ في نصف يساوي ١٨. إذن، الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ٣٦ هو ﺱ أس ١٨. نكرر ذلك مع الجذر التربيعي لـ ﺹ أس ٤٠. إنه ﺹ أس ٤٠ أس نصف. ومن ثم، ٤٠ في نصف يساوي ٢٠. إذن، الجذر التربيعي لـ ﺹ أس ٤٠ هو ﺹ أس ٢٠. وها نحن قد توصلنا إلى الوسط الهندسي، وهو ١٨ﺱ أس ١٨ في ﺹ أس ٢٠.

في المثالين السابقين، حسبنا الوسط الهندسي لعددين أو مقدارين. في الواقع، يمكن توسيع نطاق هذه الفكرة لإيجاد الوسط الهندسي لأي مجموعة من الأعداد. دعونا نأخذ ثلاثة أعداد ﺃ وﺏ وﺟ، على سبيل المثال. الوسط الهندسي لها هو الجذر التكعيبي لحاصل ضرب هذه الأعداد الثلاثة. نلاحظ أنه بخلاف الوسط الهندسي لعددين، يكون الوسط الهندسي لثلاثة أعداد معرفًا حتى إذا كانت إشارات الأعداد مختلفة. وذلك لأن الجذر التكعيبي لعدد سالب يكون معرفًا. ولكن، من الناحية العملية، عادة ما نستخدم القيم الموجبة فقط عند حساب الوسط الهندسي. دعونا نوسع نطاق ذلك ليشمل ﻥ من الأعداد.

إذا كان لدينا ﻥ من الأعداد ﺡ واحد، ﺡ اثنين حتى ﺡﻥ، فإن الوسط الهندسي لها يساوي الجذر النوني لحاصل ضرب الأعداد البالغ عددها ﻥ، حيث لا بد أن يكون حاصل الضرب موجبًا إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا. في ضوء ذلك، دعونا نتناول مثالًا نحسب فيه الوسط الهندسي لثلاثة أعداد باستخدام هذه الصيغة.

أوجد الوسط الهندسي للأعداد ستة، و٧٢ و١٠٨.

تذكر أنه إذا كانت لدينا ثلاثة أعداد ﺃ وﺏ وﺟ، فإن الوسط الهندسي لها يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃﺏﺟ، وهو حاصل ضرب هذه الأعداد الثلاثة. الأعداد لدينا هي ستة، ٧٢، ١٠٨. يمكننا إذن إيجاد الوسط الهندسي بالتعويض بهذه الأعداد الثلاثة في هذا التعبير. إذن، الوسط الهندسي هو الجذر التكعيبي لستة في ٧٢ في ١٠٨.

والآن، بينما يمكننا ضرب هذه القيم ثم إيجاد الجذر التكعيبي باستخدام الآلة الحاسبة، سنجري بعض الخطوات لإيجاد ذلك بدونها. سنبدأ بكتابة كل عدد على صورة حاصل ضرب عوامله الأولية. ستة يساوي اثنين في ثلاثة، ويمكننا استخدام شجرة العوامل إذا لزم الأمر. ‏٧٢ يساوي اثنين تكعيب في ثلاثة تربيع، و١٠٨ يساوي اثنين تربيع في ثلاثة تكعيب. وبذلك نكون قد عوضنا عن التعبير داخل الجذر التكعيبي باثنين في ثلاثة في اثنين تكعيب في ثلاثة تربيع في اثنين تربيع في ثلاثة تكعيب.

نلاحظ أنه يمكننا جمع أسس الأعداد التي لها الأساس نفسه بما أننا نقوم بعملية الضرب. بما أن كلًّا من اثنين وثلاثة مرفوعان كل على حدة للقوة واحد، فإننا نحصل على الجذر التكعيبي لاثنين أس ستة في ثلاثة أس ستة. لكن بعد ذلك، نلاحظ أن الجذر التكعيبي لعدد ما ﺱ يساوي ﺱ أس ثلث. وبذلك، فإن اثنين أس ستة أس ثلث يساوي اثنين تربيع. وبالمثل، ثلاثة أس ستة أس ثلث يساوي ثلاثة تربيع. وهذا بدوره يساوي أربعة في تسعة، وهو ما يساوي ٣٦. إذن، الوسط الهندسي للأعداد الثلاثة ستة، و٧٢ و١٠٨ هو ٣٦.

حتى هذه المرحلة، تطرقنا إلى كيفية إيجاد الوسط الهندسي لعددين أو أكثر. سنتناول الآن مفهومًا مرتبطًا بالوسط الهندسي يعرف بـ ﻥ من الأوساط الهندسية بين عددين. إذا كان لدينا عددان، ﺃ وﺏ، تكون ﻥ من الأوساط الهندسية بين ﺃ وﺏ هي القيم في المتتابعة الهندسية من ﺃ إلى ﺏ مع وجود ﻥ من الحدود بينهما تحديدًا. نلاحظ أن هذا يختلف تمامًا عن إيجاد الوسط الهندسي لعددين. فهو يشير إلى عدد واحد فقط، بينما هذه متتابعة لعدد ﻥ من الحدود. في الحقيقة، إذا نظرنا إلى متتابعة هندسية ذات ﻥ من الحدود، فإن عدد الأوساط الهندسية بين الحد الأول والحد الأخير هو ﻥ ناقص اثنين. دعونا نوضح ذلك في المثال التالي.

أدخل خمسة أوساط هندسية موجبة بين ٢١ على ٣٨ و٦٧٢ على ١٩.

تذكر أنه إذا كان لدينا عددان، تكون ﻥ من الأوساط الهندسية بينهما هي ﻥ من حدود متتابعة هندسية بين العددين المعطيين. نحن نريد إيجاد خمسة أوساط هندسية بين ٢١ على ٣٨ و٦٧٢ على ١٩. إذن، نحن نريد إيجاد متتابعة هندسية، وستكون موجبة وفقًا للسؤال، والتي تبدأ بـ ٢١ على ٣٨ وتنتهي بـ ٦٧٢ على ١٩ وبينهما تحديدًا خمسة حدود.

لذا، سنستخدم الصيغة التي تساعدنا على إيجاد أي حد في متتابعة هندسية. وهي ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺭ هو النسبة المشتركة. ولكي يكون هناك خمسة حدود بين الحدين الأول والأخير، فلا بد أن يعني هذا أن هناك سبعة حدود إجمالًا. الحد الأول: ﺡ واحد، يساوي ٢١ على ٣٨، والحد السابع: ﺡ سبعة، يساوي ٦٧٢ على ١٩. هذا يعني أنه يمكننا استنتاج تعبير بدلالة ﺭ للحد السابع باستخدام الحد الأول. وهو ﺡ سبعة يساوي ٢١ على ٣٨ في ﺭ أس سبعة ناقص واحد، وهو ما يمكن كتابته على صورة ٢١ على ٣٨ في ﺭ أس ستة.

نحن نعلم أن ﺡ سبعة يساوي ٦٧٢ على ١٩. إذن، يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭ بقسمة الطرفين على ٢١ على ٣٨. وهذا يعطينا ﺭ أس ستة يساوي ٦٤. بعد ذلك، يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ موجب وسالب الجذر السادس لـ ٦٤، وهو ما يعطينا ﺭ يساوي موجب أو سالب اثنين. ولكن تذكر أننا نحاول إيجاد أوساط هندسية موجبة. هذا يعني أن المتتابعة نفسها يجب أن تحتوي على حدود موجبة فقط. وبالتالي، سنختار ﺭ يساوي موجب اثنين.

يمكننا إما التعويض بـ ﺭ يساوي اثنين في الصيغة السابقة، أو يمكننا استخدام حقيقة أنه للحصول على كل حد في متتابعة هندسية، فإننا نضرب الحد السابق له في النسبة المشتركة. إذن، الحد الثاني يساوي الحد الأول مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ٢١ على ١٩. والحد الثالث يساوي الحد الثاني في اثنين، وهو ٤٢ على ١٩. سنستمر بهذه الطريقة، لنحصل على الحد الرابع وهو ٨٤ على ١٩، والحد الخامس يساوي ١٦٨ على ١٩، والحد السادس يساوي ٣٣٦ على ١٩. وإذا ضربنا هذه القيمة في اثنين، فسنحصل على ٦٧٢ على ١٩، كما توقعنا. إذن، الأوساط الهندسية الموجبة الخمسة لدينا هي ٢١ على ١٩؛ ٤٢ على ١٩؛ ٨٤ على ١٩؛ ١٦٨ على ١٩؛ ٣٣٦ على ١٩.

في هذا المثال، تناولنا الأوساط الهندسية بين عددين معطيين. لكن تذكر أن هناك متتابعتين محتملتين كان بإمكاننا إيجادهما. المتتابعة الأولى، التي تناولناها، لها النسبة الموجبة ﺭ يساوي موجب اثنين، في حين أن الأخرى لها نسبة سالبة ﺭ يساوي سالب اثنين. وبهذا، نستنتج من ذلك أنه ما لم تقتصر الأوساط الهندسية على إشارة محددة، لكانت لدينا مجموعتان ﻥ من الأوساط الهندسية بين عددين عندما يكون عدد الأوساط الهندسية فرديًّا. دعونا نتناول مثالًا أخيرًا.

أوجد المتوسطات الهندسية للمتتابعة التي حدها الأول اثنان وحدها الأخير ٤٨٠٢.

تذكر أن ﻥ من الأوساط الهندسية بين عددين هي ﻥ من الحدود لمتتابعة هندسية بين العددين المعطيين. إذن، علينا تحديد المتتابعة التي حدها الأول اثنان، وحدها الأخير ٤٨٠٢ وهناك تحديدًا ثلاثة حدود بينهما. سنستخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية باستخدام الحد الأول ﺃ والنسبة المشتركة ﺭ. وهي ﺡﻥ يساوي ﺃ واحدًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد.

الحد الأول في المتتابعة هو اثنان؛ والحد الخامس هو ٤٨٠٢. وباستخدام الصيغة التي لدينا، يمكننا التعبير عن ذلك بدلالة ﺭ؛ فهو يساوي اثنين في ﺭ أس خمسة ناقص واحد، أو اثنين في ﺭ أس أربعة. لدينا الآن معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺭ.

نبدأ بقسمة طرفي المعادلة على اثنين. ‏ﺭ أس أربعة يساوي ٢٤٠١. وبذلك، يمكننا إيجاد موجب وسالب الجذر الرابع لـ ٢٤٠١. وتذكر أننا نفعل ذلك لأن أربعة أس زوجي، وهذا يعطينا قيمة ﺭ على صورة موجب أو سالب سبعة. وبذلك، توجد في الواقع متتابعتان هندسيتان محتملتان. الأولى هي عندما ﺭ يساوي سبعة. بدءًا من الحد الأول، أي اثنين، نضرب في سبعة في كل مرة. وهذا يعطينا المتتابعة: اثنان، ١٤، ٩٨، ٦٨٦، ٤٨٠٢. وإذا كان ﺭ يساوي سالب سبعة، فإننا نغير إشارة ١٤ و٦٨٦. إذن، الأوساط الهندسية لهذه المتتابعة الهندسية هي إما ١٤ و٩٨ و٦٨٦ أو سالب ١٤ و٩٨ وسالب ٦٨٦.

دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي وردت في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد الوسط الهندسي لأي مجموعة من الأعداد. إذا كانت لدينا ﻥ من الأعداد، من ﺡ واحد إلى ﺡﻥ، فإن الوسط الهندسي هو الجذر النوني لحاصل ضربها. ولكن إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا، فلا بد أن يكون حاصل ضربها موجبًا. ورأينا أن ﻥ من الأوساط الهندسية بين عددين هي القيم في متتابعة هندسية بين هذين العددين حيث يوجد بينهما تحديدًا ﻥ من الحدود. ومن المنطقي أيضًا أنه إذا كانت لدينا متتابعة هندسية عدد حدودها ﻥ، فلا بد أن يكون هناك عدد ﻥ ناقص اثنين من الحدود بين الحدين الأول والأخير‎.