فيديو السؤال: تبسيط المقادير الجبرية باستخدام قوانين الأسس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بسط ٣٦ أس ﺱ زائد نصف مضروبًا في ثمانية أس ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ستة أس ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ١٢ أس ﺱ زائد خمسة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٦ أس ﺱ ناقص واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط مقدار يحتوي على أسس. وتوجد بعض الطرق المختلفة التي يمكننا بها التعامل مع هذا المقدار. بدلًا من محاولة تبسيط المقدار بأكمله مرة واحدة، سنبسط كل جزء على حدة.

دعونا نبدأ بالعامل الأول في البسط، وهو ٣٦ أس ﺱ زائد نصف. نلاحظ أن هذا مقدار أسي. إنه أساس مرفوع إلى أس. وفي هذه الحالة، الأساس عدد صحيح، وهو ٣٦. في المقدار المعطى، نلاحظ وجود العديد من المقادير الأسية التي لها أساسات صحيحة. وعند تبسيط المقادير الأسية التي تكون على هذه الصورة، من الجيد عادة تحليل الأساس إلى عوامله الأولية؛ لأن هذا سيساعدنا في تبسيط المقدار فيما بعد.

في هذه الحالة، العدد ٣٦ له عاملان للعدد اثنين وعاملان للعدد ثلاثة؛ حيث ٣٦ يساوي اثنين تربيع في ثلاثة تربيع. إذن، يمكننا كتابة ٣٦ أس ﺱ زائد نصف على الصورة اثنين تربيع في ثلاثة تربيع الكل أس ﺱ زائد نصف.

نلاحظ أن الأساس عبارة عن حاصل ضرب، والأس عبارة عن مجموع. وهذا يعني أن هناك طريقتين يمكننا استخدامهما لتبسيط هذا المقدار. يمكننا استخدام أي من قاعدتي الضرب للأسس. سنستخدم حقيقة أنه يمكننا توزيع الأس على حاصل الضرب. ‏ﺃ في ﺏ الكل أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. في هذه الحالة، الأس ﻥ يساوي ﺱ زائد نصف. إذن، نحصل على اثنين تربيع الكل أس ﺱ زائد نصف مضروبًا في ثلاثة تربيع الكل أس ﺱ زائد نصف.

والآن، أصبح كل عامل من هذين العاملين على الصورة ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ، ونتذكر أن هذا يساوي ﺃ أس ﻥ في ﻡ. إذن، يمكننا استخدام هذه القاعدة لتبسيط المقدار. وعليه، فإن اثنين مضروبًا في ﺱ زائد نصف يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. ومن ثم يصبح لدينا اثنان أس اثنين ﺱ زائد واحد مضروبًا في ثلاثة أس اثنين ﺱ زائد واحد.

دعونا ننتقل الآن إلى تبسيط العامل الثاني في البسط. لفعل ذلك دعونا نفرغ بعض المساحة ونتبع الخطوات نفسها. سنبدأ بتحليل الأساس ثمانية إلى أعداد أولية. يمكننا فعل ذلك بملاحظة أن ثمانية يساوي اثنين تكعيب ونعرف أن اثنين عدد أولي. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ثمانية على الصورة اثنين تكعيب، وبهذا يصبح لدينا اثنان تكعيب الكل أس ﺱ زائد واحد. نلاحظ الآن أن هذا المقدار على الصورة ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ، وكما نعرف فهذا يساوي ﺃ أس ﻥ في ﻡ. إذن، يمكننا تبسيط ذلك أكثر بضرب الأسين. ثلاثة في ﺱ زائد واحد يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة. إذن، نحصل على اثنين أس ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.

دعونا ننتقل الآن إلى تبسيط العامل الأول في المقام. سنفرغ بعض المساحة ونفعل ذلك باتباع الخطوات نفسها. بداية، سنحلل العدد ستة إلى أعداد أولية. إنه يساوي اثنين في ثلاثة. هذا يعطينا اثنين في ثلاثة الكل أس ﺱ ناقص واحد. ولتبسيط ذلك أكثر، نريد استخدام أحد قوانين الأسس. ولتحديد القاعدة التي نريد استخدامها، علينا ملاحظة أننا نريد كتابة المقدار بدلالة أساسين هما عددان أوليان. وهما اثنان وثلاثة. ويمكننا فعل ذلك عن طريق توزيع الأس على كل عامل. ﺃ في ﺏ الكل أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. بتطبيق هذه القاعدة، نحصل على اثنين أس ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ثلاثة أس ﺱ ناقص واحد.

يمكننا اتباع العملية نفسها لتبسيط العامل الثاني في المقام. نبدأ بتحليل العدد ١٢ إلى أعداد أولية. ١٢ يساوي اثنين في ستة، وهذا يعني أن العامل اثنين موجود مرتين. إذن يكون لدينا اثنان تربيع في ثلاثة. مرة أخرى، سنوزع الأس على كل عامل. هذا يعطينا اثنين تربيع أس ﺱ زائد خمسة مضروبًا في ثلاثة أس ﺱ زائد خمسة. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر. العامل الأول في هذا المقدار هو اثنان تربيع الكل أس ﺱ زائد خمسة.

ويمكننا تذكر أنه إذا رفعنا ﺃ إلى الأس ﻥ الكل أس ﻡ، فإن هذا يساوي ﺃ أس حاصل الضرب ﻥ في ﻡ. وعليه، بما أن اثنين مضروبًا في ﺱ زائد خمسة يساوي اثنين ﺱ زائد ١٠، فإننا نبسط هذا المقدار ليصبح اثنين أس اثنين ﺱ زائد ١٠ مضروبًا في ثلاثة أس ﺱ زائد خمسة.

الآن، علينا تبسيط العامل الأخير في المقام. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بإفراغ بعض المساحة. علينا أولًا إعادة كتابة الأساس على صورة عدد صحيح. ويمكننا فعل ذلك بإيجاد قيمة الأساس. نتذكر أن الجذر التربيعي لـ ١٦ هو العدد غير السالب الذي مربعه يساوي ١٦. نعرف أن أربعة تربيع يساوي ١٦. ومن ثم، يكون الجذر التربيعي لـ ١٦ هو أربعة. إذن، جذر ١٦ أس ﺱ ناقص واحد يساوي أربعة أس ﺱ ناقص واحد.

والآن يمكننا اتباع الخطوات نفسها. نحلل العدد أربعة إلى أعداد أولية، فنحصل على اثنين تربيع. إذن هذا المقدار يساوي اثنين تربيع أس ﺱ ناقص واحد. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام النتيجة نفسها. ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ في ﻡ. وبما أن اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص واحد يساوي اثنين ﺱ ناقص اثنين، إذن يمكن تبسيط هذا المقدار ليصبح اثنين أس اثنين ﺱ ناقص اثنين.

والآن بعد أن كتبنا كل جزء من الأجزاء الخمسة للمقدار المعطى في السؤال بهذه الصورة، يمكننا البدء في التبسيط. سنبدأ بإفراغ بعض المساحة، ثم بالتعويض في المقدار المعطى بكل مقدار من المقادير الخمسة التي أوجدناها. بفعل ذلك، نحصل على الآتي. نلاحظ الآن أن هذا هو حاصل ضرب وخارج قسمة دوال أسية؛ حيث يكون الأساس إما اثنين وإما ثلاثة.

والآن يمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام قوانين الأسس. أولًا: نتذكر أنه إذا ضربنا مقدارين أسيين لهما الأساس نفسه، فإننا نجمع أسيهما. ﺃ أس ﻥ في ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻡ. يمكننا تطبيق ذلك في البسط والمقام كل منهما على حدة. دعونا نبدأ بالبسط. لدينا اثنان أس اثنين ﺱ زائد واحد مضروبًا في اثنين أس ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.

لضرب هذين العاملين معًا، علينا جمع أسيهما؛ لأن لهما الأساس نفسه. وهذا يعطينا أسًّا جديدًا وهو خمسة ﺱ زائد أربعة. بهذا، يمكننا إعادة كتابة بسط هذا المقدار على الصورة اثنين أس خمسة ﺱ زائد أربعة مضروبًا في ثلاثة أس اثنين ﺱ زائد واحد. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه في المقام. هذه المرة، نلاحظ أن لدينا ثلاثة عوامل؛ حيث الأساس في كل منها يساوي اثنين. ولضرب هذه العوامل معًا، علينا جمع أسسها. هذا يعطينا أسًّا جديدًا وهو خمسة ﺱ زائد سبعة.

إذن، إذا بسطنا هذه الحدود، فسنحصل في المقام على العامل اثنين أس خمسة ﺱ زائد سبعة. لكننا لم ننته بعد؛ لأن لدينا في المقام أيضًا عاملين أساسهما ثلاثة. وبما أن أساسيهما متساويان، إذن يمكننا ضربهما بالطريقة نفسها. نجمع الأسين لنحصل على أس جديد، وهو اثنان ﺱ زائد أربعة. وعليه، هذا المقدار يعطينا اثنين أس خمسة ﺱ زائد أربعة مضروبًا في ثلاثة أس اثنين ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على اثنين أس خمسة ﺱ زائد سبعة مضروبًا في ثلاثة أس اثنين ﺱ زائد أربعة.

يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك بملاحظة أننا نوجد خارج قسمة مقادير أسية لها الأساس نفسه. ونعلم أنه عندما يكون لدينا هذا، فإننا نوجد الفرق بين الأسين. ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. هذا يعني أن هناك طريقتين مختلفتين يمكن تبسيط هذا المقدار بهما. يمكننا حذف العاملين المشتركين اثنين وثلاثة في كل من البسط والمقام، أو يمكننا استخدام قانون الأسس هذا.

كلتا الطريقتين صحيحتان. لكننا سنستخدم قانون الأسس. بإيجاد الفرق بين الأسين اللذين أساسهما اثنان، نحصل على سالب ثلاثة. وبالمثل، بإيجاد الفرق بين الأسين اللذين أساسهما ثلاثة، نحصل على سالب ثلاثة. إذن، يمكن تبسيط هذا المقدار بأكمله إلى اثنين أس سالب ثلاثة مضروبًا في ثلاثة أس سالب ثلاثة. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار بتذكر أن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺃ أس ﻥ.

إذن، هذا يساوي واحدًا على اثنين تكعيب مضروبًا في واحد على ثلاثة تكعيب. ويمكننا إيجاد قيمة كل من اثنين تكعيب وثلاثة تكعيب. يمكننا حساب اثنين تكعيب يساوي ثمانية، وثلاثة تكعيب يساوي ٢٧. ثمانية في ٢٧ يساوي ٢١٦. بذلك، نكون قد تمكنا من تبسيط المقدار المعطى لنا في السؤال. لقد أوضحنا أنه يساوي واحدًا مقسومًا على ٢١٦.