نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، إذا كان ﺱ يساوي ستة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ أس خمسة وﺹ يساوي سالب ثمانية في ﻥ تكعيب.
في هذا السؤال، لدينا ﺱ وﺹ معرفين بارامتريًّا. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وبما أن ﺱ دالة في ﻥ وﺹ دالة في ﻥ، فعلينا أن نفعل ذلك باستخدام الاشتقاق البارامتري. ولفعل ذلك، سنبدأ بتذكر كيفية إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺹ وﺱ معرفان بارامتريًّا. نعلم أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي المشتقة بالنسبة إلى ﻥ لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ مقسومة على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ.
إذن لإيجاد هذه المشتقة، علينا اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ، ثم قسمة ذلك على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. لكن هناك مشكلة بسيطة. نحن لا نعرف مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ؛ لأن ﺹ دالة في ﻥ وﺱ دالة في ﻥ. لذا، علينا إيجاد ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. ولتسهيل فعل ذلك، نتذكر قاعدة السلسلة مع تغيير بسيط فيها، والتي تنص على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ.
الآن يمكننا استخدام كل هذه المعلومات لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولفعل ذلك، علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ. دعونا نبدأ بإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. أي سنبدأ بإيجاد مشتقة سالب ثمانية ﻥ تكعيب بالنسبة إلى ﻥ. وبما أنها دالة كثيرة حدود، يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. إننا نضرب في أس ﻥ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وعليه، نحصل على سالب ثمانية مضروبًا في ثلاثة في ﻥ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٢٤ﻥ تربيع.
الآن نريد إيجاد مقدار يعبر عن ﺩﺱ على ﺩﻥ. أي إنه علينا اشتقاق ستة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ أس خمسة بالنسبة إلى ﻥ. وقد نميل لفعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة بما أن هذه الدالة عبارة عن تركيب دالتين. ولكن، يمكننا تبسيط ذلك باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. إننا هنا نحسب اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ أس خمسة. تنص قاعدة القوة للوغاريتمات على أنه إذا كنا سنحسب لوغاريتم دالة قوة، يمكننا بدلًا من ذلك ضرب اللوغاريتم في الأس. ونحن نعرف أن ستة في خمسة يساوي ٣٠. لذلك، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة مشتقة ٣٠ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
يمكننا بعد ذلك حساب ذلك مباشرة بتذكر أن مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي هي دالة المقلوب. إذن، مشتقة ٣٠ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ٣٠ على ﻥ. والآن يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بحساب خارج قسمة هذين المقدارين. وعليه نجد أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٢٤ﻥ تربيع مقسومًا على ٣٠ على ﻥ. ويمكننا تبسيط ذلك. بداية، يمكننا ضرب البسط والمقام في ﻥ. وهذا يعطينا سالب ٢٤ﻥ تكعيب مقسومًا على ٣٠.
بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن سالب ٢٤ و٣٠ بينهما العامل المشترك ستة. وبحذفه، نحصل على سالب أربعة على خمسة، إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة أخماس ﻥ تكعيب. والآن بما أن لدينا مقدارًا يعبر عن ﺩﺹ على ﺩﺱ ومقدارًا يعبر عن ﺩﺱ على ﺩﻥ، يمكننا استخدام الصيغة التي لدينا لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. بالتعويض بمقداري ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩﺱ على ﺩﻥ في هذه الصيغة، نجد أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة سالب أربعة أخماس ﻥ تكعيب بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على ٣٠ على ﻥ.
لنبدأ بتبسيط البسط عن طريق حساب المشتقة. مرة أخرى، هذه مشتقة كثيرة حدود. لذا سوف نفعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في أس ﻥ، وهو ثلاثة، ثم سنطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا سالب ١٢ على خمسة ﻥ تربيع. ولا يزال علينا قسمة ذلك على ٣٠ على ﻥ. وعلينا الآن تبسيط ذلك. مرة أخرى، سنبدأ بضرب البسط والمقام في ﻥ. هذا يعطينا سالب ١٢ على خمسة ﻥ تكعيب مقسومًا على ٣٠. ثم إن القسمة على ٣٠ تكافئ الضرب في واحد على ٣٠. وعليه، نحصل على المقدار الآتي.
وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن ١٢ و٣٠ بينهما العامل المشترك ستة. من ثم، نحصل على سالب اثنين على خمسة مضروبًا في واحد على خمسة، وهو ما يساوي سالب اثنين على ٢٥. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وعليه، إذا كان ﺱ يساوي ستة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ أس خمسة وﺹ يساوي سالب ثمانية ﻥ تكعيب، فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب اثنين ﻥ تكعيب مقسومًا على ٢٥.
