نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل ثلاثة متجهات 𝐀 و𝐁 و𝐂. أي من المعادلات الآتية يعطينا المتجه 𝐂 بدلالة المتجهين 𝐀 و𝐁؟ أ: 𝐂 يساوي 𝐀 زائد 𝐁. ب: 𝐂 يساوي 𝐀 ناقص 𝐁. ج: 𝐂 يساوي 𝐁 ناقص 𝐀. د: 𝐂 يساوي اثنين 𝐀 ناقص 𝐁. هـ: 𝐂 يساوي اثنين 𝐁 ناقص 𝐀.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نعرف بأي كيفية نجمع المتجهين 𝐀، 𝐁 أو نطرحهما لنحصل على المتجه 𝐂. وهذه فرصة جيدة لنتدرب على جمع المتجهات وطرحها جبريًّا.
دعونا نتذكر أولًا أنه يمكننا تمثيل أي متجه في صورة مجموع مضاعفات متجهي الوحدة على طول المحورين 𝑥، 𝑦. لتوضيح ما نعنيه هنا، نتناول المتجه 𝐀. نلاحظ أنه يبدأ من نقطة الأصل ويتجه إلى اليسار وحدة واحدة، ويتجه إلى الأسفل ست وحدات. وكالعادة، سنعرف الاتجاه إلى اليمين بأنه الاتجاه الموجب على المحور 𝑥، ونعرف الاتجاه إلى الأعلى بأنه الاتجاه الموجب على المحور 𝑦. من ثم، بما أن المتجه 𝐀 يتجه إلى اليسار وحدة واحدة، نقول إن مركبته الأفقية تساوي سالب واحد. وبالمثل، نقول إن المركبة الرأسية للمتجه 𝐀 تساوي سالب ستة؛ لأننا عرفنا الاتجاه إلى الأسفل بأنه سالب.
الآن، من الضروري أن نتذكر أن متجه الوحدة على طول المحور 𝑥 يسمى 𝐢 هات، وأنه يمثل متجهًا طوله وحدة واحدة في الاتجاه الموجب للمحور 𝑥. وبالمثل، متجه الوحدة على طول المحور 𝑦 يسمى 𝐣 هات، ويمثل متجهًا طوله وحدة واحدة في الاتجاه الموجب للمحور 𝑦. إذن، لتمثيل المتجه 𝐀 جبريًّا، نقول إن 𝐀 يساوي سالب واحد في 𝐢 هات زائد سالب ستة في 𝐣 هات أو سالب واحد 𝐢 هات ناقص ستة 𝐢 هات.
الآن، دعونا نلق نظرة على المتجه 𝐁. يبدأ هذا المتجه أيضًا من نقطة الأصل، ويتجه وحدتين إلى الأعلى وخمس وحدات إلى اليسار. وعليه، نقول إن المتجه 𝐁 يساوي سالب خمسة 𝐢 هات زائد اثنين 𝐣 هات.
بعد أن عرفنا المتجهين 𝐀، 𝐁، دعونا نفكر في كيفية جمعهما أو طرحهما للحصول على المتجه 𝐂. لنتذكر أنه عند جمع المتجهات أو طرحها جبريًّا، فإننا ببساطة نجمع مركباتها المتشابهة أو نطرحها: 𝐢 هات مع 𝐢 هات و𝐣 هات مع 𝐣 هات. على سبيل المثال، نتناول ما يحدث عندما نجمع 𝐀، 𝐁. بجمع مركبتيهما الأفقيتين: سالب واحد 𝐢 هات زائد سالب خمسة 𝐢 هات، نحصل على سالب ستة 𝐢 هات. وبجمع مركبتيهما الرأسيتين: سالب ستة 𝐣 هات زائد اثنين 𝐣 هات، نحصل على سالب أربعة 𝐣 هات.
إذن، هل المتجه 𝐀 زائد المتجه 𝐁 يساوي المتجه 𝐂، كما ينص الخيار أ؟ لمعرفة ذلك، دعونا نستخدم الشكل لإيجاد المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه 𝐂. نلاحظ أن ذيل المتجه يقع عند هذه النقطة، وليس عند نقطة الأصل. إذن، نبدأ من هنا، 𝐂 يتجه إلى اليمين أربع وحدات وإلى الأسفل ثماني وحدات. هذا لا يطابق ما يساويه المتجه 𝐀 زائد 𝐁 الذي أوجدناه قبل قليل. إذن، نستبعد الخيار أ. المتجه 𝐂 يمثل جبريًّا على الصورة: أربعة 𝐢 هات ناقص ثمانية 𝐣 هات.
والآن، بدلًا من استعراض جميع الخيارات المتبقية والتحقق منها، دعونا نتناول المركبتين 𝑥، 𝑦 لكل من هذه المتجهات الثلاثة على حدة ونفكر في كيفية جمع المركبات المتشابهة لكل من 𝐀، 𝐁 أو طرحها لنحصل على المركبة المقابلة للمتجه 𝐂. نبدأ بالمركبتين الرأسيتين.
كيف يمكننا جمع أو طرح سالب ستة واثنين لنحصل على سالب ثمانية؟ حسنًا، نحن نعلم أن سالب ستة ناقص اثنين يعطينا سالب ثمانية. إذن، هذا تلميح جيد بأن المتجه 𝐀 ناقص المتجه 𝐁 يعطينا المتجه 𝐂. والآن، هيا بنا نتحقق من المركبتين الأفقيتين، بطرح المتجه 𝐁 من المتجه 𝐀، نحصل على سالب واحد ناقص سالب خمسة، وهو ما يساوي موجب أربعة، وهو ما يساوي بالضبط المركبة الأفقية للمتجه 𝐂. هذا يؤكد أن المتجه 𝐀 ناقص المتجه 𝐁 يساوي المتجه 𝐂. إذن، الخيار ب هو الإجابة الصحيحة. هذه المعادلة تعطينا المتجه 𝐂 بدلالة المتجهين 𝐀، 𝐁.
