نسخة الفيديو النصية
سندرس في هذا الفيديو كيفية إجراء عمليات القسمة باستخدام الأعداد المركبة. وهذه بعض أنواع الأسئلة التي قد نرغب في الاطلاع عليها. في المثال الأول، نقسم عددًا مركبًا على العدد المركب 𝑖، وهو عدد مركب تخيلي صرف. في المثال الثاني، نرى قسمة عددين مركبين، كلاهما يحتوي على أجزاء حقيقية وأجزاء تخيلية غير صفرية. وفي المثال الثالث، ننظر في كيفية حل معادلة ما. إذن نريد إيجاد العدد 𝑧، حيث يمثل 𝑧 عددًا مركبًا. ولكي نفعل ذلك علينا استخدام قسمة الأعداد المركبة. سنتناول في هذا الفيديو هذه الأسئلة الثلاثة.
قبل الدخول في قسمة الأعداد المركبة، سنذكر سريعًا بمفهوم المرافق المركب للعدد المركب. وهو العدد المركب الذي ينتج عن تغيير إشارة الجزء التخيلي في العدد المركب. مثلًا، بالنسبة إلى العدد المركب ثلاثة زائد أربعة 𝑖، إذا أردت الحصول على مرافقه المركب، كل ما سأفعله هو تغيير إشارة الجزء التخيلي. فسيتغير من موجب أربعة 𝑖 إلى سالب أربعة 𝑖. والمرافق المركب لهذا العدد سيكون ثلاثة ناقص أربعة 𝑖.
في المثال الثاني لدينا على الشاشة، العدد سبعة. هذا العدد المركب هو في الحقيقة عدد حقيقي، والجزء التخيلي به صفر. والمرافق المركب للعدد سبعة هو سبعة أيضًا، لأنني إذا غيرت إشارة موجب صفر 𝑖، فسيظل لدي موجب صفر 𝑖. أما في المثال الثالث، فلدينا العدد المركب سالب اثنين 𝑖، وهو عدد تخيلي صرف. إذا غيرت إشارة الجزء التخيلي، فسأحصل على العدد المركب موجب اثنين 𝑖، إلا أنني لن أكتب إشارة الموجب في هذه الحالة. أما في المثال الرابع فلدينا سالب أربعة ناقص ستة 𝑖، وإذا غيرت إشارة الجزء التخيلي فقط، تذكر ذلك، سيصبح لدي العدد المركب سالب أربعة زائد ستة 𝑖. بشكل عام، إذا كان لدينا العدد المركب 𝑎 زائد 𝑏𝑖، فسيكون مرافقه المركب 𝑎 ناقص 𝑏𝑖، إذن فقد غيرنا الإشارة فقط. إذن نريد فهم الأعداد المرافقة المركبة لكي نستطيع إجراء عملية القسمة.
فلننظر لماذا تكون الأعداد المرافقة المركبة مفيدة في عمليات القسمة. ويأتي ذلك من خاصية مفيدة جدًّا تظهر عندما نضرب عددًا مركبًا في مرافقه. إذن لدي هنا على الشاشة العدد المركب ثلاثة زائد أربعة 𝑖، وأريد أن أضربه في مرافقه ثلاثة ناقص أربعة 𝑖. إذن سأغير إشارة الجزء التخيلي. لدينا هنا زوجان من الأقواس. إذن علي فك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني «𝐹𝑂𝐼𝐿»، أو أي طريقة ترتاح لها. وبذلك، سأحصل على هذه الحدود الأربعة: تسعة زائد 12𝑖 ناقص 12𝑖 ناقص 16𝑖 تربيع. وهناك العديد من الخطوات المختلفة التي سأفعلها فيه للتبسيط. لكن النقطة الأساسية تكمن هنا. لدي موجب 12𝑖 ناقص 12𝑖، وهذان الحدان سيلغي أحدهما الآخر، فيتبقى لدي جزء تخيلي هو صفر. الحقيقة الأساسية الأخرى التي يجب أن أتذكرها هي أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. لذا، سيكون ذلك مفيدًا لتبسيط هذا الحد الأخير.
إذا كان 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، فإن سالب 16 في 𝑖 تربيع يصبح سالب 16 في سالب واحد، وبالتالي يساوي موجب 16. إذن يمكنني استبدال هذا الحد الأخير. بدلًا من سالب 16𝑖 تربيع، يمكنني كتابة موجب 16. وحسب النقطة الأساسية التي ذكرناها، موجب 12𝑖 هذا وسالب 12𝑖 سيلغي أحدهما الآخر مباشرة. فماذا يتبقى لنا؟ يتبقى تسعة زائد 16، ما يعطينا الناتج 25 لعملية الضرب هذه. وهنا تكمن المعلومة الأساسية، أن هذا عدد حقيقي صرف. لا يحتوي على أي أجزاء تخيلية، فهو 25 فقط.
هذه ليست مصادفة. فالأمر لا ينطبق فقط على زوج الأعداد المترافقة المركبة هذا، بل ستكون هذه هي الحالة دائمًا. إذا أخذت عددًا مركبًا وضربته في مرافقه، فستحصل دائمًا على ناتج حقيقي صرف. وفي الحقيقة، يمكننا التقدم خطوة أبعد وتعميم ذلك. إذا أخذت العدد المركب 𝑎 زائد 𝑏𝑖 وضربته في مرافقه 𝑎 ناقص 𝑏𝑖، فسأحصل دائمًا على الناتج 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع، وهو عدد حقيقي صرف. وسينطبق ذلك على أي عدد مركب نستخدمه.
فلنشرع الآن في قسمة بعض الأعداد المركبة. المثال الذي سننظر فيه أولًا هو أربعة زائد 𝑖، وسأقسمه على 𝑖. الخطوات الأساسية التي علينا اتباعها الآن هي أن نضرب بسط هذا الكسر ومقامه في المرافق المركب للمقام. إذن في المقام، لدي العدد المركب 𝑖، ومرافقه المركب سالب 𝑖. إذن سنضرب في سالب 𝑖 على سالب 𝑖. ولأن بسط ومقام الكسر متساويان، إذ يعادل واحدًا، بالتالي لن أغير الناتج، بل سأضرب فقط في شيء يعادل واحدًا. والآن نضرب هذين الكسرين في بعضهما. في البسط، سيكون لدي أربعة زائد 𝑖 في سالب 𝑖. إذن، أربعة في سالب 𝑖 يساوي سالب أربعة 𝑖. ثم موجب 𝑖 في سالب 𝑖 يساوي سالب 𝑖 تربيع. ثم المقام 𝑖 في سالب 𝑖 يساوي أيضًا سالب 𝑖 تربيع.
وللتبسيط، علينا أن نتذكر الحقيقة الأساسية أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. بالتالي يوجد العديد من الحدود المختلفة التي سنبسطها هنا. سالب أربعة 𝑖 سيبقى كما هو في الوقت الحالي. وبالنسبة إلى سالب 𝑖 تربيع، إذا كان 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، فإن سالب 𝑖 تربيع سيساوي موجب واحد. إذن يصبح ذلك موجب واحد. والشيء نفسه في المقام، الذي سيصبح أيضًا موجب واحد. وإذ نقسم على واحد، فلن نكتبه هكذا. سنبسط ذلك ونحصل على الناتج النهائي واحد ناقص أربعة 𝑖. وقد كتبتها بهذه الطريقة لتكون بالشكل الذي اعتدنا أن نرى فيه الأعداد المركبة.
فلنراجع سريعًا ما فعلناه: الخطوة الأساسية هي ما فعلناه أولًا هنا، عندما ضربنا بسط الكسر ومقامه في المرافق المركب للمقام. وهكذا نبدأ حل أي مسألة تتضمن قسمة أعداد مركبة. ثم نجري العمليات الحسابية بضرب البسطين وضرب المقامين، ثم تبسيط الناتج. لكن هذه هي الخطوة الأساسية، أن نتذكر ضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام.
فلننظر الآن إلى مثال، حيث يحتوي المقام على جزء حقيقي وجزء تخيلي. إذن ستكون العملية هي نفسها بالضبط: سنبدأ بضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام. في هذه الحالة، المقام ثلاثة زائد أربعة 𝑖. وبالتالي يكون مرافقه المركب ثلاثة ناقص أربعة 𝑖. ومن ثم نضرب في ثلاثة ناقص أربعة 𝑖 على ثلاثة ناقص أربعة 𝑖. وقد يكون مفيدًا أن نتصور وجود بعض الأقواس حول كل من هذه الأجزاء المختلفة؛ لأن ما علينا فعله الآن هو ضرب البسطين في بعضهما والمقامين في بعضهما. فتصبح المسألة هنا مجرد مسألة فك زوجين من الأقواس.
إذا فككت الأقواس في البسط، فسيصبح لدي أربعة حدود: ستة ناقص ثمانية 𝑖 زائد ثلاثة 𝑖 ناقص أربعة 𝑖 تربيع. وإذا فعلت الشيء نفسه في المقام، فسأحصل على أربعة حدود أيضًا: تسعة زائد 12𝑖 ناقص 12𝑖 ناقص 16𝑖 تربيع. والآن علينا إجراء بعض عمليات التبسيط. ونتذكر بالطبع أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد، وسيكون ذلك مهمًّا من أجل التبسيط. وكذلك حقيقة أن في المقام موجب 12𝑖 وسالب 12𝑖 سيلغي كل منهما الآخر. وتذكر أن هذا ليس من قبيل المصادفة؛ إنما مقصود لكي يتبقى لدينا عدد حقيقي في المقام. إذن يحذفان معًا. ويمكن التعويض عن 𝑖 تربيع بسالب واحد في جميع الحدود التي تحتوي على هذا الجزء.
إذن في البسط، سالب أربعة 𝑖 تربيع يساوي سالب أربعة في سالب واحد. فيصبح موجب أربعة. وفي المقام، لدينا سالب 16𝑖 تربيع، ومرة أخرى سالب 16 في سالب واحد يصبح موجب 16. فنحصل على هذا الناتج. الخطوة التالية هي تبسيط كل جزء. في البسط، لدي ستة زائد أربعة يساوي جزءًا حقيقيًّا وهو 10. لدي سالب ثمانية 𝑖 زائد ثلاثة 𝑖 يساوي جزءًا تخيليًّا هو سالب خمسة 𝑖. أما المقام فتذكر أنه حقيقي بالكامل: لدينا تسعة زائد 16 يساوي جزءًا حقيقيًّا هو 25.
وأخيرًا، الأعداد المتضمنة من مضاعفات العدد خمسة، لذا يمكنني قسمة هذه الأعداد الثلاثة على خمسة للتبسيط، فأحصل على اثنين ناقص 𝑖 في البسط وخمسة في المقام. وسيكون هذا ناتجًا نهائيًّا جيدًا جدًا، أو يمكنني استبداله بالناتج اثنين على خمسة ناقص واحد على خمسة 𝑖، أو اثنين على خمسة ناقص 𝑖 على خمسة، إذا طلبت صورة محددة. لكن أيًّا من ذلك سيكون مناسبًا. مرة أخرى، الخطوة الأساسية كانت هذه، عندما ضربت بسط الكسر ومقامه في المرافق المركب للمقام.
حسنًا، لن أحل هذه الأمثلة للنهاية، لكن سنقوم بالخطوة الأولى فقط. في المثال الأول، نقسم على اثنين 𝑖. إذن، الخطوة الأولى ستكون الضرب في المرافق المركب لذلك المقام. إذن سنضرب في سالب اثنين 𝑖 على سالب اثنين 𝑖. ثم نكمل العملية كما فعلنا في السؤال السابق. بالنسبة إلى المثال الرابع مرة أخرى، سأضرب في المرافق المركب لهذا المقام. بتغيير إشارة الجزء التخيلي، سأضرب في ثلاثة زائد اثنين 𝑖 على ثلاثة زائد اثنين 𝑖. إذن في كل حالة، ما علينا استخدامه هو المرافق المركب.
المسألة الأخيرة التي نريد أن نتناولها هي كيف يمكنك استخدام قسمة الأعداد المركبة لحل معادلة مثل التي لدينا هنا. لدي إذن 𝑧 في واحد زائد 𝑖 يساوي أربعة ناقص ثلاثة 𝑖، وأريد إيجاد العدد المركب 𝑧. الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة ستكون قسمة كلا طرفي المعادلة على واحد زائد 𝑖. وإذا فعلت ذلك، يصبح أمامي الخطوة التالية لإيجاد الحل: 𝑧 يساوي أربعة ناقص ثلاثة 𝑖 مقسومًا على واحد زائد 𝑖. وهذا يشبه كثيرًا الأمثلة التي شرحناها. إذن، الخطوة التالية لإجراء عملية القسمة هذه ستكون ضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام، أي ضربهما في واحد ناقص 𝑖. وكما ذكرنا من قبل، قد تحتاج إلى تصور وجود الأقواس حول كل من هذه الأجزاء المختلفة لكي تتذكر أنك تضرب زوجين من الأقواس.
لكن إذا فككت كل هذه الأقواس، فسأصل إلى هذه الخطوة: أربعة ناقص أربعة 𝑖 ناقص ثلاثة 𝑖 زائد ثلاثة 𝑖 تربيع في البسط، وواحد زائد 𝑖 ناقص 𝑖 ناقص 𝑖 تربيع في المقام. والآن كالمعتاد، سنبسط ذلك باستخدام هذه الحقيقة الأساسية، أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. كما حدث من قبل، موجب 𝑖 وسالب 𝑖 في المقام سيلغي أحدهما الآخر مباشرة ليتبقى لنا جزء حقيقي صرف.
إذا عوضت عن 𝑖 تربيع بسالب واحد في كل الحدود، فإن الحد الأخير في البسط ثلاثة 𝑖 تربيع سيصبح سالب ثلاثة، لأنه ثلاثة في سالب واحد. وهذا الحد في المقام سالب 𝑖 تربيع سيصبح موجب واحد، لأنه سالب سالب واحد. يتبقى لنا خطوة أخيرة وهي ترتيب الناتج. إذن في البسط، أربعة ناقص ثلاثة يساوي واحدًا، وهو الجزء الحقيقي. وسالب أربعة 𝑖 ناقص ثلاثة 𝑖 يساوي سالب سبعة 𝑖، وهو الجزء التخيلي. وفي المقام، واحد زائد واحد يساوي اثنين. ويمكنني إما أن أتركه هكذا وإما أن أكتبه في صورة نصف ناقص سبعة على اثنين 𝑖، إذا أردت فصل الجزء الحقيقي عن التخيلي أكثر قليلًا. لكن كلاهما سيكون إجابة نهائية جيدة تمامًا.
ها قد انتهينا. الخطوة الأساسية لقسمة الأعداد المركبة هي تذكر الأعداد المرافقة المركبة، وخاصة ضرب البسط والمقام في المرافق المركب للعدد الموجود لديك في مقام القسمة.
