فيديو الدرس: محصلة القوى المتوازية المستوية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة نظام مكون من قوى مستوية متوازية، وكيف نحدد نقطة تأثيرها. نتذكر أن القوى المتعددة التي تؤثر عند نقطة ما مجموعها قوة محصلة تؤثر عند تلك النقطة. كما أن خط عمل القوة المحصلة يتقاطع مع خطوط عمل مركباتها عند نقطة تأثير القوى. في هذا الفيديو، سنتعامل مع قوى لا تؤثر عند النقطة نفسها، كما هو موضح في الشكل.

دعونا نبدأ بالنظر إلى الحالة التي لدينا فيها ثلاث قوى مستوية متوازية، ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﻕ ثلاثة، كما هو موضح في الشكل. أما إيجاد القوة المحصلة والنقطة التي تؤثر عندها فسيكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء مما هو عليه عندما تؤثر القوى عند نقطة واحدة. ولكن، توجد عملية تدريجية يمكننا تطبيقها.

بما أن القوى متجهة، فإن لها اتجاهًا وكذلك مقدار. حسنًا، خطوتنا الأولى هي وضع قاعدة للإشارات. في هذا المثال، سنجعل الاتجاه الموجب هو الاتجاه رأسيًّا لأعلى. خطوتنا التالية هي إيجاد مجموع القوى المتوازية. بما أن ﻕ واحد وﻕ ثلاثة تؤثران لأعلى، فإن إشارتيهما موجبتان، بينما تؤثر ﻕ اثنين لأسفل ومن ثم ستكون سالبة. القوة المحصلة تساوي ﻕ واحد ناقص ﻕ اثنين زائد ﻕ ثلاثة.

لنفترض الآن أن مقادير القوى الثلاث هي اثنان نيوتن، وثلاثة نيوتن، وأربعة نيوتن، على الترتيب. إذن، القوة المحصلة تساوي اثنين ناقص ثلاثة زائد أربعة، وهو ما يساوي ثلاثة نيوتن. وبما أن هذه القوة موجبة، فإننا نعلم أن القوة المحصلة تؤثر رأسيًّا لأعلى بالمقدار ثلاثة نيوتن.

علينا الآن أن نفكر في الموضع الذي تؤثر عنده القوة المحصلة على خط عمل القوة. ولكي نفعل هذا، نمثل الخط على أنه قضيب خفيف رفيع ثم نحسب العزوم حول أي نقطة على الخط. هذه هي الخطوة الثالثة في العملية. عادة، عند حساب العزوم، نعتبر أن العزوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة، والعزوم في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبة. على الرغم من أنه يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة، فإننا عادة نختار نقطة تؤثر عندها إحدى القوى. في هذه الحالة، سنحسب العزوم حول النقطة التي تؤثر عندها القوة ﻕ واحد.

وكما ذكرنا من قبل، لا نعرف أين تؤثر القوة المحصلة التي مقدارها يساوي ثلاثة نيوتن. لكننا سنضيفها إلى الشكل على أنها تبعد مسافة عمودية مقدارها ﺱ متر من نقطة تأثير القوة ﻕ واحد. نعلم أنه يمكننا حساب عزم أي قوة بضرب مقدار القوة في المسافة العمودية من نقطة تأثير القوة إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم. عادة ما يكتب هذا بالصيغة ﺝ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ.

بالعودة إلى الشكل والترميز العام ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﻕ ثلاثة، يمكننا جمع المسافتين ﻑ اثنين وﻑ ثلاثة. هاتان هما المسافتان العموديتان لكل من ﻕ اثنين وﻕ ثلاثة من النقطة التي نحسب عندها العزوم. وبما أن القوة ﻕ واحد تؤثر عند النقطة التي نحسب عندها العزوم، فإن عزمها سيساوي صفرًا. القوة المحصلة تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة التي نحسب عندها العزوم. ومن ثم، سيكون لها عزم موجب يساوي ﺡ مضروبًا في ﺱ. تؤثر القوة ﻕ اثنين نيوتن في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ ومن ثم سيكون عزمها سالبًا. وهذا يساوي سالب ﻕ اثنين مضروبًا في ﻑ اثنين. وأخيرًا، تؤثر القوة ﻕ ثلاثة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة؛ ومن ثم سيكون عزمها موجبًا. وهذا يساوي ﻕ ثلاثة مضروبًا في ﻑ ثلاثة.

إذا كان ﻑ اثنين يساوي مترين، وﻑ ثلاثة يساوي أربعة أمتار، يمكننا التعويض بكل هذه القيم في المعادلة. هذا يعطينا ثلاثة ﺱ يساوي سالب ثلاثة مضروبًا في اثنين زائد أربعة مضروبًا في أربعة. يبسط الطرف الأيسر إلى سالب ستة زائد ١٦، وهو ما يساوي ١٠. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثلاثة، بحيث يكون ﺱ يساوي ١٠ على ثلاثة، أو ١٠ أثلاث. تؤثر القوة المحصلة ﺡ على بعد مسافة عمودية مقدارها ١٠ على ثلاثة متر من القوة ﻕ واحد.

وهذا يقودنا إلى قاعدة عامة يمكننا استخدامها لحساب المسافة العمودية للمحصلة من نقطة التي نحسب العزوم عندها. المسافة ﺱ تساوي مجموع العزوم مقسومًا على القوة المحصلة. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب اتباع هذه العملية المكونة من أربع خطوات.

قوتان متوازيتان مقداراهما ١٠ نيوتن و٢٠ نيوتن. والمسافة بين خطي عملهما تساوي ٣٠ سنتيمترًا. إذا كانت القوتان تؤثران في نفس الاتجاه، فأوجد محصلتهما ﺡ، والمسافة ﺱ بين خط عمل المحصلة والنقطة ﺃ.

نبدأ بملاحظة أننا نتعامل مع قوتين مستويتين متوازيتين. تؤثر كلتا هاتين القوتين في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ، ومقداراهما ١٠ و٢٠ نيوتن. والمسافة بين القوتين تساوي ٣٠ سنتيمترًا. والمطلوب منا إيجاد المحصلة ﺡ والمسافة ﺱ بين خط عمل المحصلة والنقطة ﺃ.

نعلم أنه عند التعامل مع القوى المستوية المتوازية، فإن القوة المحصلة ﺡ تساوي مجموع القوى الأخرى. وبما أن كلتا القوتين تؤثران في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ، فإن ﺡ يساوي ١٠ زائد ٢٠. وهذا يساوي ٣٠. القوة المحصلة ﺡ تساوي ٣٠ نيوتن وتؤثر رأسيًّا لأعلى.

لا نعرف الآن الموضع الذي تؤثر عنده هذه القوة المحصلة. لنفترض أنها تؤثر على بعد مسافة عمودية مقدارها ﺱ سنتيمتر من ﺃ. بالتفكير في العزوم، نتذكر أن هذه المسافة ﺱ تساوي مجموع العزوم مقسومًا على القوة المحصلة ﺡ. نعلم أن عزم أي قوة يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم. سنعتبر أن العزم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب ونحسب العزوم حول النقطة ﺃ.

ومن ثم، فإن عزم القوة التي مقدارها ١٠ نيوتن سيساوي صفرًا، حيث تؤثر عند هذه النقطة. القوة الوحيدة الأخرى التي علينا التفكير فيها هي القوة التي مقدارها ٢٠ نيوتن. وسيكون عزمها ٢٠ نيوتن، وهو مقدارها، مضروبًا في ٣٠ سنتيمترًا، وهي المسافة التي تبعدها عن النقطة ﺃ. ‏٢٠ مضروبًا في ٣٠ يساوي ٦٠٠. ومن ثم، فإن مجموع العزوم يساوي ٦٠٠ نيوتن سنتيمتر. بالتعويض بذلك في الصيغة لدينا، نحصل على ﺱ يساوي ٦٠٠ مقسومًا على ٣٠. وهذا يماثل ٦٠ مقسومًا على ثلاثة. إذن، ﺱ يساوي ٢٠ سنتيمترًا. إذن، المسافة بين خط عمل القوة المحصلة والنقطة ﺃ تساوي ٢٠ سنتيمترًا.

سنتناول الآن مثالًا تؤثر فيه القوتين المتوازيتين في اتجاهين متضادين.

قوتان متوازيتان مقداراهما ٢٤ نيوتن و٦٠ نيوتن كما هو موضح في الشكل. المسافة بين خطي عمل القوتين تساوي ٩٠ سنتيمترًا. إذا كانت القوتان تؤثران في اتجاهين متضادين، فأوجد محصلتهما ﺡ، والمسافة ﺱ بين خط عمل المحصلة والنقطة ﺃ.

في هذا السؤال، لدينا قوتان مستويتان متوازيتان تؤثران في اتجاهين متضادين. مقداراهما يساويان ٢٤ و٦٠ نيوتن، حيث تؤثر القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن في الاتجاه الموجب، وتؤثر القوة التي مقدارها ٦٠ نيوتن في الاتجاه السالب. وعلمنا أيضًا من المعطيات أن المسافة بين خطي عمليهما تساوي ٩٠ سنتيمترًا. والمطلوب منا حساب القوة المحصلة ﺡ إلى جانب المسافة ﺱ بين خط عملها والنقطة ﺃ.

نعلم أن القوة المحصلة تساوي مجموع القوى الأخرى. وبما أن الاتجاه الموجب هو الاتجاه رأسيًّا لأعلى، فإن القوة المحصلة تساوي ٢٤ زائد سالب ٦٠، وهو ما يساوي سالب ٣٦. القوة المحصلة ﺡ تساوي سالب ٣٦ نيوتن. وهذا يعني أنها تؤثر في الاتجاه لأسفل ومقدارها ٣٦.

لا نعرف الموضع الذي تؤثر عنده هذه القوة المحصلة. لكن يمكننا حساب المسافة ﺱ بين خط عملها والنقطة ﺃ باستخدام الصيغة ﺱ يساوي مجموع العزوم مقسومًا على القوة المحصلة ﺡ، حيث يمكن حساب عزم أي قوة عن طريق ضرب مقدار هذه القوة في المسافة العمودية إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم.

في هذا السؤال، سنحسب العزوم حول النقطة ﺃ، حيث تكون العزوم التي تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة. تؤثر القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن عند النقطة ﺃ؛ ما يعني أنها تبعد مسافة صفر سنتيمتر من النقطة ﺃ. ومن ثم، فإن عزمها سيساوي صفرًا. هذا يعني أن العزم الوحيد الذي علينا التفكير فيه هو عزم القوة التي مقدارها ٦٠ نيوتن. وهو يؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة عند النقطة ﺃ. وعليه، فإن العزم يساوي سالب ٦٠ مضروبًا في ٩٠، حيث ٩٠ سنتيمترًا هي المسافة العمودية لهذه القوة من النقطة ﺃ. ‏٦٠ مضروبًا في ٩٠ يساوي ٥٤٠٠. إذن، سالب ٦٠ مضروبًا في ٩٠ يساوي سالب ٥٤٠٠.

يمكننا إذن حساب ﺱ بقسمة سالب ٥٤٠٠ على سالب ٣٦. بقسمة عدد سالب على عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. لذا، فإن ﺱ يساوي ١٥٠. إذن، المسافة بين خط عمل القوة المحصلة والنقطة ﺃ تساوي ١٥٠ سنتيمترًا.

يمكننا أن نلاحظ من هذه الإجابة نقطة مثيرة للاهتمام حول هذا السؤال. خط عمل القوة المحصلة لا يقع بين خطي عمل القوتين الأخريين. من الناحية العملية، يمكننا التفكير في قضيب خفيف رفيع ﺃﺟ طوله ١٥٠ سنتيمترًا. إذا كانت القوتان اللتان مقداراهما ٢٤ نيوتن و٦٠ نيوتن تؤثران عليه كما هو موضح، فسنحتاج إلى قوة رأسية مقدارها ٣٦ نيوتن عند النقطة ﺟ للحفاظ على الاتزان.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا حيث تتصل القوتان المستويتان المتوازيتان بواسطة خط ليس عموديًّا على خطي عملهما.

في الشكل الآتي، ﻕ واحد وﻕ اثنان قوتان متوازيتان مقيستان بالنيوتن، حيث ﺡ محصلتهما. إذا كانت ﺡ تساوي ٣٠ نيوتن، وﺃﺏ يساوي ٣٦ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٢٤ سنتيمترًا، فأوجد مقدار كل من ﻕ واحد وﻕ اثنين.

في هذا السؤال، لدينا قوتان مستويتان متوازيتان، ﻕ واحد وﻕ اثنين، تؤثران في اتجاهين متضادين. ولدينا أيضًا القوة المحصلة ﺡ، التي تساوي ٣٠ نيوتن. المسافة من النقطة ﺃ إلى ﺏ تساوي ٣٦ سنتيمترًا، والمسافة من ﺏ إلى ﺟ تساوي ٢٤ سنتيمترًا. خطوط عمل القوى، ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﺡ ليست عمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺟ. لكن بما أن القوى الثلاث متوازية، يمكننا إضافة الزاوية 𝜃 إلى الشكل كما هو موضح.

يمكننا حساب المركبات العمودية لهذه القوى باستخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية. وهي تساوي ﻕ واحد في جا 𝜃، وﻕ اثنين في جا 𝜃، وﺡ في جا 𝜃. وستكون هذه مفيدة عندما نصل إلى حساب العزوم؛ لأن عزم قوة ما يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم. على الرغم من أنه يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على الخط، فإننا في هذه المسألة سنفعل ذلك عند النقطة ﺃ.

سنعتبر أن العزوم التي تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة، والعزوم التي تؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبة. هذا يعني أن العزم ﺝ واحد للقوة ﻕ واحد يؤثر في الاتجاه الموجب ويساوي ﻕ واحدًا جا 𝜃 مضروبًا في ٣٦. يمكننا تكرار هذه العملية مع ﺝ اثنين، وهو عزم القوة ﻕ اثنين. وبما أنه يؤثر في الاتجاه السالب، فإنه يساوي سالب ﻕ اثنين جا 𝜃 مضروبًا في ٦٠.

يمكن تبسيط تعبيري ﺝ واحد وﺝ اثنين كما هو موضح. نعلم أن المسافة ﺱ من خط عمل القوة المحصلة إلى النقطة التي نحسب عندها العزوم تساوي مجموع العزوم مقسومًا على ﺡ. في هذه الحالة، نحسب العزوم حول النقطة التي تؤثر عندها المحصلة. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي صفرًا. هذا يعني أن مجموع العزمين لا بد أن يساوي صفرًا. ‏٣٦ مضروبًا في ﻕ واحد جا 𝜃 زائد سالب ٦٠ مضروبًا في ﻕ اثنين جا 𝜃 يساوي صفرًا. بما أن جا 𝜃 لا يمكن أن يساوي صفرًا، يمكننا قسمة كلا الطرفين عليه. يمكننا أيضًا قسمة كلا الطرفين على ١٢ بحيث يكون ثلاثة ﻕ واحد ناقص خمسة ﻕ اثنين يساوي صفرًا. وبما أن لدينا مجهولين هنا، فسنسمي هذه المعادلة رقم واحد.

سنفكر الآن في القوة المحصلة، وحقيقة أنها تساوي مجموع القوتين الأخريين. بالرجوع إلى الشكل الابتدائي، إذا جعلنا الاتجاه الموجب رأسيًّا لأعلى، يصبح لدينا ﺡ يساوي ﻕ واحد زائد سالب ﻕ اثنين. بما أن ﺡ يساوي ٣٠ نيوتن، فإن ٣٠ يساوي ﻕ واحدًا ناقص ﻕ اثنين. بإضافة ﻕ اثنين إلى كلا طرفي هذه المعادلة، يصبح لدينا ﻕ واحد يساوي ٣٠ زائد ﻕ اثنين. سنسمي هذه المعادلة رقم اثنين. وأصبح لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما بالتعويض.

إحدى طرق إجراء ذلك هي التعويض بقيمة ﻕ واحد من المعادلة رقم اثنين في المعادلة رقم واحد. هذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في ٣٠ زائد ﻕ اثنين ناقص خمسة ﻕ اثنين يساوي صفرًا. وبتوزيع القوسين، نحصل على ٩٠ زائد ثلاثة ﻕ اثنين. ثم يبسط الطرف الأيسر إلى ٩٠ ناقص اثنين ﻕ اثنين. بإضافة اثنين ﻕ اثنين إلى كلا الطرفين ثم القسمة على اثنين، يصبح لدينا ﻕ اثنان يساوي ٤٥. نعود ونعوض بهذه القيمة في المعادلة رقم اثنين، فنحصل على ﻕ واحد يساوي ٣٠ زائد ٤٥، وهو ما يساوي ٧٥. مقدارا القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين هما ٧٥ نيوتن و٤٥ نيوتن، على الترتيب.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكن دمج القوى المستوية المتوازية في قوة محصلة ﺡ؛ بحيث يكون ﺡ يساوي مجموع ﻕ. ونقطة عمل ﺡ هي النقطة التي حولها يكون مجموع محصلة العزوم الناتجة عن القوى يساوي صفرًا. هذا يعني أنه يمكننا حساب المسافة ﺱ من خط عمل القوة المحصلة إلى أي نقطة على الخط عن طريق إيجاد مجموع العزوم وقسمته على القوة المحصلة ﺡ.