فيديو الدرس: خواص جمع الأعداد النسبية الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص الجمع في مجموعة الأعداد النسبية ونحدد المعكوس الجمعي. هيا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمجموعة الأعداد النسبية.

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة الكسر ﺃ على ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان؛ أي عددان كليان. ومن الأمثلة على الأعداد النسبية العدد ٠٫٧ الذي يمكن كتابته على الصورة سبعة أعشار، والعدد ١٩، والعدد ٠٫٣ دوري، وهو ما يساوي ثلثًا. إذا كان العدد غير نسبي، فإننا نقول إنه عدد غير كسري. ومن الأمثلة على الأعداد غير النسبية ‪𝜋‬‏ والجذر التربيعي لاثنين. ومن ذلك، نجد أن مجموعة الأعداد النسبية هي جميع الأعداد الممكنة التي تحقق هذين الشرطين. حسنًا، علينا أيضًا أن نتذكر ما نعنيه بالمعكوس. كلمة معكوس معناها «مضاد». لذلك، عند إجراء عملية عكسية، فإننا نجري العملية المضادة لها. ومن ثم، فإن العملية العكسية هي العملية التي تعكس أو تلغي تأثير العملية المضادة لها.

إذن، كيف يساعدنا هذا الشرح في تعريف المقصود بالمعكوس الجمعي؟ المعكوس الجمعي لأي عدد ﺃ هو العدد الذي عند إضافته إلى ﺃ يعطينا صفرًا. ويمكننا توضيح هذا التعريف في صورة رياضية أبسط؛ فنقول إن المعكوس الجمعي لعدد ما هو سالب هذا العدد. إذن، المعكوس الجمعي للعدد ﺃ هو ببساطة سالب ﺃ. لنلق الآن نظرة على مثال.

أوجد المعكوس الجمعي للعدد ٠٫٧.

إننا نعرف أن المعكوس الجمعي لعدد ما هو العدد الذي عند إضافته إلى هذا العدد الأصلي يعطينا صفرًا. في هذا السؤال، سنشير إلى المعكوس الجمعي للعدد ٠٫٧ بالرمز ﺱ. ووفقًا لتعريف المعكوس الجمعي، يمكننا القول إن ٠٫٧ زائد ﺱ يساوي صفرًا. الآن، يمكننا التفكير في حل هذه المعادلة بالطريقة المعتادة. سنطرح ٠٫٧ من كلا الطرفين. صفر ناقص ٠٫٧ يساوي سالب ٠٫٧.

وبذلك، نكون قد أوجدنا أن قيمة ﺱ، ومن ثم المعكوس الجمعي للعدد ٠٫٧، تساوي سالب ٠٫٧. في الواقع، هذا الناتج منطقي للغاية؛ لأننا نعلم أن المعكوس الجمعي لأي عدد هو ببساطة سالب هذا العدد؛ أي إننا نغير الإشارة فقط. إذن، المعكوس الجمعي للعدد ٠٫٧ هو سالب ٠٫٧.

سنتناول الآن خاصية جديدة تسمى خاصية الدمج. تنص خاصية الدمج للجمع على أن تغيير طريقة تجميع ثلاثة أعداد أو أكثر لا يؤثر على مجموع هذه الأعداد. لننظر إلى خط الأعداد ونر كيف توصلنا إلى هذه الخاصية. لنفترض أننا نريد جمع ثلاثة زائد أربعة زائد واحد. يمكننا إجراء هذه العملية الحسابية من اليمين إلى اليسار. نبدأ بالعدد ثلاثة على خط الأعداد ونضيف أربعة بالتحرك بمقدار وحدة واحدة ثم وحدتين ثم ثلاث وحدات ثم أربع وحدات إلى اليمين. بعد ذلك، نجمع العدد واحدًا بالتحرك وحدة واحدة أخرى إلى اليمين. أو بدلًا من ذلك، يمكننا البدء بجمع أربعة وواحد. هذه المرة، سنبدأ بالعدد أربعة ثم نتحرك وحدة واحدة إلى اليمين. بعد ذلك، نجمع العدد ثلاثة بالتحرك وحدة واحدة ثم وحدتين ثم ثلاث وحدات إلى اليمين. في كلتا الحالتين، نصل إلى العدد ثمانية. ولذا، لا يهم حقًّا الترتيب الذي نجمع به الأعداد. في هذا المثال، اخترنا مجموعة من الأعداد بصورة عشوائية. لكن عند التعامل مع الكسور والأعداد العشرية مثلًا، سنجد أن هذه الخاصية مفيدة جدًّا. لنر كيف سيبدو ذلك.

بسط خمسة على ١٣ زائد ثلاثة أرباع زائد ربع باستخدام خواص الجمع.

وفقًا لترتيب إجراء العمليات الرياضية، سنتعامل عادة مع العملية الحسابية داخل القوسين أولًا. ويتضمن ذلك إيجاد مقام مشترك ثم جمع البسطين. أو بدلًا من ذلك، نتذكر أن خاصية الدمج للجمع تنص على أن تغيير طريقة تجميع ثلاثة أعداد أو أكثر لا يؤثر على مجموع هذه الأعداد. وبالطبع، إذا كانت هناك، على سبيل المثال، أسس أو عمليات ضرب في هذه المسألة، فعلينا أن ننتبه أكثر من ذلك. لكن بما أن العملية الحسابية الوحيدة هنا هي الجمع، يمكننا إجراؤها بأي ترتيب.

دعونا نتخلص من القوسين أولًا. نلاحظ الآن أنه يمكننا جمع ثلاثة أرباع وربع بسهولة؛ لأن لكل منهما المقام نفسه. لذا، كل ما علينا فعله هو جمع البسطين. ثلاثة أرباع زائد ربع يساوي أربعة أرباع. وبالطبع، إذا كان لدينا أربعة أرباع، فإن ما لدينا هو واحد صحيح. إذن، ثلاثة أرباع زائد ربع يساوي واحدًا. والآن يمكننا جمع خمسة على ١٣ وواحد. يمكننا ببساطة كتابة ذلك في صورة عدد كسري. هذا يساوي واحدًا وخمسة على ١٣. أو بدلًا من ذلك، دعونا نفكر كم جزءًا من إجمالي ١٣ جزءًا في الواحد الصحيح. الواحد الصحيح يساوي ١٣ من إجمالي ١٣ جزءًا. ومن ثم، فإن خمسة على ١٣ زائد واحد يساوي خمسة على ١٣ زائد ١٣ على ١٣.

والآن بعد أن أصبح مقاما الكسرين متساويين، علينا ببساطة جمع البسطين. وبهذا نجد أن خمسة على ١٣ زائد ١٣ على ١٣ يساوي ١٨ على ١٣. ها قد بسطنا خمسة على ١٣ زائد ثلاثة أرباع زائد ربع باستخدام خاصية الدمج. وقد حصلنا بذلك على ١٨ على ١٣.

في المثال الآتي، سنتعرف على كيفية تحديد خاصية الدمج مع الأعداد النسبية.

أي معادلة توضح خاصية الدمج للجمع؟ أ: نصف زائد سالب نصف يساوي صفرًا. ب: نصف زائد ثلثين يساوي ثلثين زائد نصف. ج: نصف زائد ثلثين يساوي سبعة أسداس. د: نصف زائد ثلثين زائد ثلاثة أرباع يساوي نصفًا زائد ثلثين زائد ثلاثة أرباع. هـ: ثلثان زائد صفر يساوي ثلثين.

لعلنا نتذكر أن خاصية الدمج للجمع تنص على أن مجموع ثلاثة أعداد أو أكثر يظل كما هو بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد. لذا، سنتناول كل معادلة من المعادلات المعطاة ونحدد أي منها يحقق خاصية الدمج. بداية، سنستبعد الخيار أ على الفور. في الحقيقة، الخيار أ يوضح مثالًا على المعكوس الجمعي. المعكوس الجمعي للعدد نصف هو سالب نصف؛ لأننا نحصل على صفر عند جمع كلا العددين. ماذا عن الخيار ب؟ حسنًا، لا تنطبق على هذا الخيار خاصية الدمج؛ حيث إنها تنص على أنه يمكننا إجراء عملية الجمع بأي ترتيب، لكنها تنص أيضًا على أنه يجب أن تتضمن عملية الجمع ثلاثة أعداد أو أكثر، وذلك بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد. إذن، الخيار ب لا يوضح خاصية الدمج. الخيار ج ما هو إلا معادلة. وتوضح هذه المعادلة أن نصفًا زائد ثلثين يساوي سبعة أسداس، ومن ثم فإن الخيار ج لا يوضح خاصية الدمج.

ماذا عن الخيار د؟ لدينا بالفعل ثلاثة أعداد في كل طرف من طرفي المعادلة، وطريقة تجميع هذه الأعداد مختلفة في كلا الطرفين. ومع ذلك، لم تتغير هذه الأعداد في كلا الطرفين. إذن، الخيار د يوضح بالفعل خاصية الدمج للجمع. إذا جمعنا نصفًا زائد ثلثين أولًا ثم أضفنا ثلاثة أرباع، فإن هذا يكافئ إضافة نصف إلى ناتج جمع ثلثين زائد ثلاثة أرباع. إذن الإجابة هي الخيار د. يوضح الخيار د خاصية الدمج للجمع. ويمكننا أن نرى بوضوح أن الخيار ه لا ينطبق عليه ذلك. إنه يوضح لنا فقط أنه عندما نضيف صفرًا إلى عدد ما، يبقى العدد كما هو دون تغيير.

دعونا نركز الآن على المعادلة الموضحة في الخيار ه. ثلثان زائد صفر يساوي ثلثين. لقد ذكرنا أن هذا يوضح أنه عندما نضيف صفرًا إلى عدد ما، فإن هذا العدد الأصلي يظل كما هو. ويعرف ذلك باسم خاص. مثلما يوضح الخيار أ مثالًا على المعكوس الجمعي، فإن الخيار ه يعد مثالًا على خاصية المحايد الجمعي. وتنص هذه الخاصية على أن المحايد الجمعي هو الصفر؛ حيث إن إضافة صفر إلى أي عدد لا تغير هذا العدد.

ما خاصية الجمع الموضحة بواسطة نصف زائد صفر يساوي نصفًا؟

حسنًا، إننا نعلم أنه عند إضافة الصفر إلى عدد ما، يظل هذا العدد كما هو دون تغيير. ويعرف ذلك بخاصية المحايد الجمعي. إذن، خاصية الجمع التي توضحها المعادلة نصف زائد صفر يساوي نصفًا هي خاصية المحايد الجمعي.

لنلق نظرة على مثال آخر يوضح كيفية استخدام خواص جمع الأعداد النسبية لإكمال عملية حسابية.

أوجد قيمة ربع زائد ثلاثة أرباع زائد سالب ربع.

لنبدأ بتذكر ما نعنيه بخاصية الدمج للجمع. تنص خاصية الدمج للجمع على أن مجموع ثلاثة أعداد أو أكثر يظل كما هو بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد. وبناء على ذلك، فإننا لسنا بحاجة إلى استخدام الأقواس. يمكننا كتابة ذلك على الصورة ربع زائد ثلاثة أرباع زائد سالب ربع. وبعد ذلك، بما أنه يمكننا إجراء الجمع بأي ترتيب، فسنعيد تجميع ربع وسالب ربع معًا. فيم سيفيدنا ذلك؟ حسنًا، لدينا هنا مثال على المعكوس الجمعي. نتذكر أن المعكوس الجمعي لأي عدد ﺃ هو العدد الذي عند إضافته إلى العدد الأصلي ﺃ يعطينا صفرًا. وفي الواقع، فهو ليس سوى سالب هذا العدد الأصلي.

في القوسين الموضحين هنا، لدينا ربع وسالب ربع. ومن ثم، لا بد أن يكون مجموعهما صفرًا. سالب ربع هو المعكوس الجمعي لربع. إذن، المجموع الذي نحسبه الآن هو ثلاثة أرباع زائد صفر، وهو ما يساوي ببساطة ثلاثة أرباع. إذن، ربع زائد ثلاثة أرباع زائد سالب ربع يساوي ثلاثة أرباع.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن المعكوس الجمعي لعدد ما هو العدد الذي عند إضافته إلى العدد الأصلي يعطينا صفرًا. وفي الواقع، ما نفعله هو أننا نضيف القيمة السالبة لهذا العدد؛ ومن ثم فإن المعكوس الجمعي للعدد ﺃ هو سالب ﺃ. لقد عرفنا أيضًا أن خاصية الدمج تنص على أن تغيير طريقة تجميع ثلاثة أعداد أو أكثر لا يؤثر على مجموع هذه الأعداد. وسيظل مجموع هذه الأعداد كما هو بغض النظر عن الترتيب الذي نجري به العملية الحسابية. عرفنا أيضًا أن المحايد الجمعي هو الصفر. وذلك لأنه عند إضافة الصفر إلى عدد ما، يظل هذا العدد كما هو دون تغيير.