نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن القدرة، وتحديدًا القدرة الميكانيكية التي تنشأ عن القوة المؤثرة على الجسم لتمنحه سرعة ثابتة. وسنتعرف خلال هذا الفيديو على بعض الوحدات المختلفة التي يمكن التعبير بها عن القدرة.
لنبدأ بتذكير أنفسنا بالعلاقة بين القدرة والشغل. الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة ﻕ يساوي حاصل ضرب هذه القوة في الإزاحة التي يتحرك بها الجسم. فإذا كانت الكتلة ﻙ في حالة سكون على سطح مستو، يمكننا بذل شغل على هذه الكتلة برفعها لأعلى خلال الإزاحة ﻑ. والقوة التي نؤثر بها للقيام بذلك تساوي قوة الوزن ﻙ في ﺩ، وهي عجلة الجاذبية، المؤثرة على الكتلة.
تتمثل العلاقة بين الشغل والقدرة في أن القدرة هي مقدار الشغل المبذول خلال فترة زمنية معينة. بعبارة أخرى، إذا قسمنا الشغل المبذول على هذا الصندوق على الزمن المستغرق في رفع الصندوق خلال هذه الإزاحة، فإن هذا يساوي القدرة المؤثرة على الصندوق. إذن القدرة تساوي الشغل على الزمن. وإذا ركزنا على هذا الجزء من المعادلة، فسنلاحظ أن لدينا في الطرف الأيمن إزاحة مقسومة على زمن. وهذا يساوي سرعة الجسم، وهي الإزاحة التي يتحرك بها الجسم مقسومة على الزمن المستغرق للإزاحة. يعني هذا أنه يمكننا كتابة القدرة على أنها القوة مضروبة في السرعة.
نلاحظ أنه في هذه المعادلة، نفترض أن القوة ﻕ والسرعة ﻉ ثابتان. بعبارة أخرى، فيما يتعلق برفع هذا الصندوق على سبيل المثال، فإن القوة التي نؤثر بها تطابق تمامًا مقدار قوة الوزن المؤثرة على الصندوق، وهو ما يعني أنه نظرًا لأن الكتلة مرفوعة لأعلى، فإنها لا تتحرك بعجلة ولكنها تحافظ على سرعة ثابتة. تفترض هذه العلاقة إذن أن الأجسام في حالة اتزان ولا تتحرك بعجلة.
لنأخذ مثالًا آخر على ذلك، ولنفترض أن لدينا كتلة على منحدر. هذه الكتلة مربوطة بحبل يمر على بكرة، ثم نشد الحبل من الطرف الآخر. لنفترض أننا نؤثر بالقوة ﻕ، وهذه القوة تساوي مجموع القوى التي تجعل هذه الكتلة تتحرك لأسفل المنحدر. بمعنى أنها تساوي قوة الجاذبية في هذا الاتجاه إلى جانب قوة الاحتكاك التي تقاوم حركة الكتلة. ونظرًا لتوازن القوى المؤثرة على الكتلة، تتحرك الكتلة لأعلى المنحدر بالسرعة ﻉ. يمكننا القول إذن إن القدرة المؤثرة على هذه الكتلة تساوي ﻕ في ﻉ.
على الرغم من أننا سنكتفي عمومًا بالحالات التي يكون فيها ﻕ وﻉ ثابتين، فمن المؤكد فيزيائيًا أن أحدهما أو كليهما قد يتغير. نعود إلى المثال المتعلق بهذه الكتلة التي تكون في حالة سكون على سطح مستو، ونتخيل أنه بدلًا من التأثير عليها بقوة رأسية، سنبدأ في دفعها أفقيًا. إذا مثلنا السرعة الأفقية للكتلة مقابل القوة المؤثرة بيانيًا، فسنجد أنه إذا كانت القوة المؤثرة تساوي صفرًا مثلًا، فإن السرعة تساوي صفرًا أيضًا. وإذا افترضنا أن هناك قوة احتكاك لا تساوي صفرًا بين الكتلة والسطح الذي تتحرك عليه، فهذا يعني أنه حتى مع زيادة القوة المؤثرة ﻕ وصولًا إلى قيمة معينة، فإن الكتلة لن تتحرك. لكن في النهاية سيتحرك الصندوق مع وجود قوة دفع كافية.
إذا أردنا حساب إجمالي القدرة المؤثرة على الكتلة خلال هذا الزمن، فسنجد أن الأمر ليس سهلًا كضرب قوة واحدة في سرعة واحدة. وذلك لأن هاتين الكميتين تتغيران. لكن بيانيًا إذا حسبنا المساحة الموجودة أسفل هذا المنحنى، فسنجد أنها تساوي إجمالي القدرة المؤثرة. كل هذا يعني أنه حتى إذا كانت ﻕ وﻉ غير ثابتين، فما زال من الممكن إيجاد القدرة.
قبل أن نتناول بعض الأمثلة التدريبية، يجب توضيح أمر بشأن وحدات القيم في هذه
المعادلة. أولًا، بالنظر إلى القوة، نعلم أن وحدة قياس القوة وفقًا للنظام الدولي للوحدات هي
النيوتن. ووحدة قياس القدرة وفقًا للنظام الدولي للوحدات هي الوات. وبالنسبة إلى السرعة، نستخدم الوحدتين الأساسيتين المتر والثانية. فالمتر لكل ثانية هو الوحدة الأساسية لقياس السرعة. كل هذا يعني أننا إذا ضربنا نيوتن واحدًا من القوة في سرعة تساوي مترًا واحدًا لكل
ثانية، فسنحصل على وات واحد من القدرة.
لكن هذه الوحدات ليست الوحدات الوحيدة التي يمكننا التعبير بها عن القوة والسرعة
والقدرة. على سبيل المثال، ثمة وحدة قوة أخرى تسمى ثقل كيلوجرامًا، ويرمز لها اختصارًا هكذا
(ث.كجم). ثمة وحدة أخرى للقدرة هي الحصان، وتحديدًا الحصان المتري. ويمكننا إيجاد السرعة أو السرعة المتجهة المعلومة لدينا بوحدة الكيلومتر لكل ساعة.
هناك أمر يجب مراعاته بشأن هذه الوحدات، وهو أننا إذا ضربنا ثقل كيلوجرامًا واحدًا في كيلومتر واحد لكل ساعة، فلن نحصل على حصان متري واحد. تختلف القيم قليلًا حيث تكون أقل سهولة من وحدات النظام الدولي الأساسية. ولهذا السبب، سنتجه لاستخدام وحدات النظام الدولي، ولكن من المفيد معرفة كيفية التحويل بين الوحدات، كالتحويل بين النيوتن والثقل كيلوجرام أو الوات والحصان المتري.
لدينا هنا تحويلات متعلقة بالقوة والقدرة والسرعة. الثقل كيلوجرام الواحد يساوي ٩٫٨ نيوتن. والحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات. لاحظ أن هناك أيضًا وحدة تسمى الحصان الميكانيكي، وهو يساوي عددًا مختلفًا من الوات، لذا علينا الانتباه. والمتر الواحد لكل ثانية يساوي ٣٫٦ كيلومترات لكل ساعة. في ضوء هذا كله، دعونا نلق نظرة على مثال تدريبي.
إذا علم أن السرعة القصوى لسيارة ٢٧٠ كيلومترًا لكل ساعة، وقوة محركها ٩٦ ثقل كيلوجرامًا، فأوجد قدرة محركها.
حسنًا، لنفترض أن هذه هي السيارة التي تتحرك بسرعة قصوى تساوي ٢٧٠ كيلومترًا لكل ساعة. علمنا أن السيارة تتحرك بهذه السرعة عندما تكون قوة محركها ٩٦ ثقل كيلوجرامًا. هذه القوة، التي سنسميها ﻕ، تدفع السيارة للأمام، وهو ما قد نعتقد أنه سيجعل السيارة تتحرك بعجلة. لكن السيارة في الواقع تحافظ على هذه السرعة الثابتة نظرًا لوجود قوى معاكسة لحركة السيارة. ولا داعي للحديث عنها بالتفصيل، ولكنها بصفة عامة ستمثل قوى الاحتكاك.
المطلوب منا هو إيجاد قدرة محرك هذه السيارة. ويمكننا بدء ذلك بتذكر أن القدرة تساوي القوة مضروبة في السرعة. يعني هذا أنه يمكننا حساب قدرة محرك السيارة بضرب القوة المعطاة في السرعة المعطاة. لكن التحدي الذي يواجهنا في ذلك هو أن الوحدتين لا تستندان إلى الأساس نفسه. ونريد في النهاية التعبير عن قدرة المحرك بالحصان. لكن إذا ضربنا هاتين القيمتين كما هما، فسنحصل على ناتج بالكيلوجرام في كيلومتر لكل ساعة. لتوضيح ما تدل عليه الوحدتان المستخدمتان، يمكننا تحويلهما إلى وحدتين أكثر انتشارًا وفقًا للنظام الدولي للوحدات.
الثقل كيلوجرام الواحد يساوي ٩٫٨ نيوتن من القوة. وبالمثل فإن الكيلومتر الواحد لكل ساعة يساوي واحدًا على ٣٫٦ أمتار لكل ثانية. يعني هذا أننا إذا ضربنا القيمة ٩٦ في ٩٫٨ فسنحصل على قوة كلية بوحدة النيوتن. ومن ثم إذا قسمنا ٢٧٠ على ٣٫٦ فسنحصل على سرعة بوحدة المتر لكل ثانية. كل هذا مفيد لأنه يعني أننا إذا حسبنا هذه القدرة الآن فسنحصل على الإجابة بالوحدة الأساسية للقدرة في النظام الدولي للوحدات، وهي الوات.
وكما ذكرنا فإننا نريد إيجاد الإجابة النهائية بوحدة الحصان المتري. الحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات، وهو ما يعني أننا إذا قسمنا الطرف الأيسر من المعادلة على ٧٣٥ وات لكل حصان فإننا نضرب فعليًا في واحد، كما هو الحال في التحويلات الأخرى؛ ولهذا السبب يمكننا تطبيق هذه العملية على طرف واحد فقط من المعادلة، من ثم تحذف وحدة النيوتن متر لكل ثانية مع وحدة الوات في المقام، وتنتقل وحدة الحصان إلى البسط، ونحصل في النهاية على مقدار القدرة بوحدة القياس المعنية.
عند إدخال هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٩٦ حصان. وهذه هي قدرة محرك السيارة.
نتناول الآن مثالًا نوجد فيه السرعة بدلًا من القدرة.
جرار زراعي قدرة محركه ١٨٧ حصان، يسحب ضد قوة مقدارها ٣٧٤ ثقل كيلوجرامًا. أوجد مقدار أقصى سرعة له.
حسنًا، لنفترض أن هذا هو الجرار. عرفنا أن قدرة محركه تساوي ١٨٧ حصان. وهو يبذل هذه القدرة ليؤثر بقوة سحب عكس اتجاه القوة التي مقدارها ٣٧٤ ثقل كيلوجرامًا. هذه طريقة لتوضيح أن القوة المضادة لحركة الجرار إلى الأمام مقدارها ٣٧٤ ثقل كيلوجرامًا. لكي يتحرك الجرار للأمام على النحو المطلوب، يجب أن يمتلك قوة تماثل هذه القوة في الاتجاه المعاكس. ويعمل محرك الجرار على توفير القدرة للقيام بذلك. يتحرك الجرار بسرعة ثابتة عندما يكون مقدار القوة المحركة للأمام ﻕ هو ٣٧٤ ثقل كيلوجرامًا.
وعند استخدام قدرة المحرك التي تساوي ١٨٧ حصان بالكامل، يتحرك الجرار بأقصى سرعة له. تربط هذه المعادلة بين هذه الكميات الثلاث، وهي القدرة والقوة والسرعة. وبما أننا نريد إيجاد السرعة بدلًا من القدرة، يمكننا قسمة الطرفين على القوة ﻕ، ومن ثم حذفها من الطرف الأيسر. يتبقى لدينا إذن القدرة على ﻕ يساوي ﻉ. يمكننا نظريًا إيجاد السرعة القصوى للجرار بالتعويض عن القدرة والقوة في هذه المعادلة.
لكن المشكلة أننا سنحصل في النهاية على وحدة الحصان لكل ثقل كيلوجرام، وهي وحدة غير مألوفة للسرعة. وللتعبير عن السرعة القصوى بوحدات مألوفة أكثر، يمكننا تحويل وحدتي الحصان والثقل كيلوجرام إلى الوحدتين المكافئتين لهما في النظام الدولي للوحدات. الحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات. والثقل كيلوجرام الواحد يساوي ٩٫٨ نيوتن. إذن إذا ضربنا بسط الكسر في ٧٣٥ وات لكل حصان، فبالنظر إلى الوحدات يحذف الحصان ويتبقى لدينا الوات. وبالمثل إذا ضربنا المقام في ٩٫٨ نيوتن لكل ثقل كيلوجرام، فسيحذف الثقل كيلوجرام وتتبقى لدينا وحدة النيوتن.
لاحظ في الحالتين أنه بالضرب في عاملي التحويل، فإننا نضرب فعليًا في واحد. وهو ما يجعل هذه العملية صحيحة جبريًا. يتضح في النهاية أن الوحدة هي الوات لكل نيوتن. وكما يمكننا الاستنتاج من المعادلة: القدرة مقسومة على القوة تساوي السرعة، فإن وحدة الوات لكل نيوتن تساوي مترًا لكل ثانية.
نكاد الآن نصبح على استعداد لإيجاد السرعة القصوى ﻉ. ولكن قبل أن نفعل ذلك، علينا إجراء تغيير أخير. يمكننا كتابة ﻉ بالمتر لكل ثانية، لكن بالنظر إلى الوحدتين اللتين بدأنا بهما، وهما الحصان والثقل كيلوجرام، فمن الأكثر شيوعًا أن نكتب السرعة بالكيلومتر لكل ساعة. تذكر أن مترًا واحدًا لكل ثانية يساوي ٣٫٦ كيلومترات لكل ساعة؛ وإذا ضربنا الكسر في ٣٫٦ كيلومتر لكل ساعة لكل متر لكل ثانية، فإننا نضرب فعليًا في واحد، وتحذف وحدة المتر لكل ثانية من البسط والمقام.
وأخيرًا، يصبح لدينا مقدار ﻉ بوحدة القياس المعنية. وبحساب السرعة، نجد أن الإجابة هي ١٣٥ كيلومترًا لكل ساعة. هذه إذن هي السرعة القصوى للجرار.
لنلق نظرة الآن على مثال أخير حيث تتحرك مركبة على سطح مائل.
مركبة كتلتها ثلاثة أطنان مترية تتحرك بسرعة ٥١ كيلومترًا لكل ساعة على جزء أفقي من طريق. عندما وصلت المركبة إلى قاع تل يميل على الأفقي بزاوية جيبها ٠٫٥، استمرت في الحركة بنفس السرعة في اتجاه أعلى الطريق. إذا كانت المقاومة لجزأي الطريق ثابتة، فاحسب الزيادة في قدرة المركبة لأقرب حصان. علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
حسنًا، في هذا المثال لدينا هذه المركبة التي تبدأ الحركة على جزء أفقي من طريق. سرعة المركبة في هذه المرحلة تساوي ٥١ كيلومترًا لكل ساعة. وعلمنا أن هذه المركبة تصل في النهاية إلى قاع تل ثم تبدأ في التحرك لأعلى التل بالسرعة نفسها. إذا أسمينا الزاوية التي يصنعها هذا المنحدر مع الأفقي 𝜃، فسنجد أن جا 𝜃 يساوي ٠٫٥ أو نصفًا كما علمنا من المثال.
علمنا أيضًا أن مقاومة الجزء الأفقي من الطريق لحركة المركبة إلى الأمام تساوي مقاومة الجزء المائل من الطريق. بعبارة أخرى، قوى الاحتكاك المضادة لحركة المركبة متساوية في الحالتين. الأمر المختلف هو أنه بمجرد تحرك المركبة أعلى التل، عليها بذل شغل عكس اتجاه قوة الجاذبية. وللحفاظ على سرعتها الأصلية، يجب أن تزيد المركبة من القدرة التي يولدها المحرك. وهذه هي الزيادة التي نريد حسابها هنا.
قبل أن نفرغ بعض المساحة على الشاشة، دعونا نتذكر أن كتلة المركبة، التي سنسميها ﻙ، تساوي ثلاثة أطنان مترية. وسنشير إلى ذلك اختصارًا بثلاثة طن. لكي نبدأ في الحل، يمكننا أن نتذكر أنه عندما تؤثر قوة على جسم لتجعله يتحرك بالسرعة ﻉ، فإن حاصل ضرب هذه القوة وﻉ يساوي القدرة المؤثرة عليه. لكن في هذا المثال، نريد حساب الزيادة في القدرة، وسنسميها △القدرة، والتي يجب أن يوفرها محرك المركبة. هذه الزيادة في القدرة ينتج عنها الزيادة في القوة △ﻕ اللازمة لكي تحافظ المركبة على السرعة نفسها ﻉ أثناء التحرك على هذا المستوى المائل.
لفهم القوى المذكورة هنا بشكل أوضح، هيا ننظر إلى هذا الرسم المقرب ونرسم مخطط جسم حر. تذكر أن هذا يتضمن رسم جميع القوى المؤثرة على المركبة. نحن نعرف أن المركبة تخضع لقوة الجاذبية. ومقدارها يساوي كتلة المركبة مضروبة في عجلة الجاذبية. كما تؤثر عليها قوة عمودية وقوة تقاوم حركة المركبة على سطح الطريق. وأخيرًا، هناك القوة المؤثرة على المركبة الناتجة عن القدرة التي يبذلها المحرك. وهذا ما يجعل المركبة تتحرك لأعلى المنحدر.
علمنا من المسألة أن ما يسمى ﺡ، وهي قوة المقاومة، لم تتغير منذ أن كانت المركبة تسير على سطح مستو وصولًا إلى هذا المنحدر. ما تغير هو أننا علينا التغلب على الجاذبية. على وجه التحديد، إذا قسمنا قوة الجاذبية إلى مركبتين متعامدتين، فستؤثر هذه المركبة بمقاومة. ولإيجاد مقدار هذه المركبة، نلاحظ أن المثلث الذي رسمناه قائم الزاوية؛ حيث إن قياس هذه الزاوية هنا، مثل زاوية المنحدر لدينا، يساوي 𝜃. وهذا يوضح لنا أن مركبة قوة الجاذبية التي علينا التغلب عليها تساوي ﻙﺩ في جا 𝜃.
ومن حيث المقدار، فهذا يساوي الزيادة في القوة التي يجب بذلها على المركبة لتتحرك إلى أعلى. إذن يمكننا التعويض عن △ﻕ في المعادلة بـ ﻙ في ﺩ في جا 𝜃. نلاحظ أن قيمة ﻙ معلومة لدينا، إلى جانب عجلة الجاذبية ﺩ وجا 𝜃 والسرعة ﻉ أيضًا. إذا عوضنا بهذه القيم كلها، فسنجد أن الوحدات المستخدمة لا تتلاءم. بمعنى أنها لا تنتمي كلها إلى نظام الوحدات نفسه. وحتى الوحدات التي تنتمي إلى النظام نفسه، غير معبر عنها بالطريقة نفسها. على سبيل المثال، عجلة الجاذبية معبر فيها عن المسافة بالمتر، في حين أن السرعة معبر فيها عن المسافة بالكيلومتر.
كي تصبح معادلة △القدرة منطقية، نريد أن تستند الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة إلى الأساس نفسه. وللقيام بذلك، يمكننا أن نتذكر أن الطن المتري الواحد يساوي ١٠٠٠ كيلوجرام، والكيلومتر الواحد لكل ساعة يساوي واحدًا على ٣٫٦ أمتار لكل ثانية. بما أن الطن المتري الواحد يساوي ١٠٠٠ كيلوجرام، فإن ثلاثة أطنان مترية تساوي ٣٠٠٠ كيلوجرام. وبالنظر إلى تحويل وحدات القياس، نجد أننا إذا قسمنا ٥١ على ٣٫٦ فإننا بذلك نكون قد غيرنا بالفعل وحدة هذه القيمة إلى متر لكل ثانية.
أصبحت الوحدات كلها هي وحدات النظام الدولي للوحدات، وهي الكيلوجرام للكتلة والمتر للمسافة والثانية للزمن. إذا حسبنا قيمة △القدرة، فسنحصل على الإجابة بوحدة الوات، وهي الوحدة الأساسية للقدرة وفقًا للنظام الدولي للوحدات. لكن يطلب منا السؤال حساب الزيادة في القدرة بوحدة الحصان. الحصان المتري الواحد يساوي ٧٣٥ وات. إذن إذا قسمنا الطرف الأيسر من المعادلة على ٧٣٥ وات لكل حصان، فسنجد أن جميع وحدات النظام الدولي الأساسية ستحذف، وستنتقل وحدة الحصان إلى البسط، وهو ما يمكننا التحقق منه إن أردنا. كل هذا يعني أننا سنحصل على الوحدة التي نريدها، وهي الحصان.
عند متابعة الحل وحساب قيمة هذا الكسر لأقرب حصان، نحصل على ٢٨٣. وهذه هي الزيادة في القدرة اللازمة لمحرك هذه المركبة لكي تحافظ على السرعة نفسها أثناء التحرك لأعلى المنحدر.
بعد أن انتهينا، دعونا نراجع بعض النقاط الأساسية في هذا الدرس. عرفنا أن القدرة الميكانيكية هي المعدل الذي تبذل به القوة شغلاً. وبكتابة ذلك في صورة معادلة، يمكننا القول إن القوة المؤثرة على جسم ليتحرك بالسرعة الثابتة ﻉ عند ضربها في هذه السرعة تساوي القدرة المبذولة. تفترض هذه المعادلة توازن القوى المؤثرة على أي جسم لدينا. بعبارة أخرى، عجلة هذا الجسم تساوي صفرًا. وأخيرًا، عرفنا أن الوحدات التي نعبر بها عن القدرة وﻕ وﻉ يمكن أن تختلف.
