فيديو الدرس: حل المعادلات التربيعية بيانيًا

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام التمثيل البياني للدوال. أولًا، لعلنا نذكر أن المعادلات التربيعية يمكن أن تكون على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا. وهذه هي الصورة القياسية للمعادلات التربيعية. وقد نرى أيضًا معادلات تربيعية على الصورة ﺹ يساوي ﺃ في ﺱ ناقص ﻫ تربيع زائد ﻙ، حيث ﺃ ثابت، وﻫ وﻙ هي رأس المنحنى أو نقطة تحول الدالة. ونسمي هذه الصورة صورة الرأس. ولكننا لا نتناول المعادلات التربيعية وحسب. بل نتناول أيضًا كيفية حلها.

وحل المعادلة يعني إيجاد قيم ﺱ التي تجعل ﺹ يساوي صفرًا. يعد التحليل إحدى الطرق المستخدمة لحل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال، إذا أردنا حل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة بالتحليل، فإننا نجعل ﺹ يساوي صفرًا. ثم نأخذ الحدين ﺱ زائد واحد وﺱ زائد ثلاثة. ونساوي كلا العاملين بالصفر. وبذلك، نحصل على قيم ﺱ التي تجعل ﺹ يساوي صفرًا في هذه المعادلة. ونطلق على هذه القيم الجذور أو الحلول. لكن في هذا الفيديو، نريد الحل باستخدام التمثيل البياني. وذلك من خلال تحديد النقاط المهمة على التمثيل البياني. ولكي نتمكن من هذا، سنتناول خصائص التمثيلات البيانية للدوال التربيعية.

إليك بعض الخصائص المهمة للتمثيل البياني لدالة تربيعية. يكون للتمثيلات البيانية للدوال التربيعية شكل قطع مكافئ مميز. وعادة ما نتصوره على شكل حرف ‪U‬‏ مفتوح لأعلى أو لأسفل. ويكون مفتوحًا لأعلى عندما يكون ﺃ أكبر من صفر، أي عندما يكون ﺃ موجبًا. تذكر أن قيمة ﺃ هي معامل الحد ﺱ تربيع عند كتابة المعادلة التربيعية على الصورة القياسية. وبالطريقة نفسها، يكون المنحنى مفتوحًا لأسفل عندما يكون ﺃ أقل من صفر، أي عندما يكون ﺃ سالبًا. يمكننا أيضًا أن نقول إنه عندما يكون ﺃ موجبًا، ستكون للمنحنى قيمة صغرى، وعندما يكون ﺃ سالبًا، ستكون للمنحنى قيمة عظمى.

لعلنا نذكر أن ﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن المنحنى ليس تربيعيًا بل خطيًا. نعرف أيضًا أن التمثيلات البيانية للدوال التربيعية تتماثل حول الرأس. أي إنه يمكننا طي المنحنى من منتصفه عند الرأس. ومن ثم، سينطبق كلا الجانبين أحدهما فوق الآخر. وفي التمثيلات البيانية للدالة التربيعية، سيقع الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند النقطة صفر، وﺟ. أما الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ، أو الجزء المقطوع من المحور ﺱ، فستقع عند ﺹ يساوي صفرًا على التمثيلات البيانية. تذكر أن هذه القيم تسمى جذورًا أو حلولًا. قد يكون للتمثيل البياني حل واحد أو حلان أو ليست له حلول، وذلك إذا لم يقطع المنحنى المحور ﺱ على الإطلاق.

لحل دالة تربيعية باستخدام التمثيل البياني، سنحاول تحديد المواضع التي يقطع فيها المنحنى المحور ﺱ. هيا نجرب ذلك الآن.

يوضح المخطط التالي التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ. ما مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ يساوي صفرًا؟

نعرف أن ﺹ يساوي ﺩﺱ. ونحن نبحث عن النقطة التي فيها قيمة ﺩﺱ تساوي صفرًا. وسيكون هذا عند ﺹ يساوي صفرًا في هذه المعادلة التربيعية. وسيساوي ﺹ صفرًا عند الجزء المقطوع من المحور ﺱ. ‏‏ﺹ يساوي صفرًا على المحور ﺱ. وتقطع هذه الدالة المحور ﺱ عند سالب اثنين. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺱ هو سالب اثنين، وصفر. ولكن مجموعة الحل ستكون قيمة ﺱ التي تجعل الدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا. وهذا يعني أنه بدلًا من استخدام الصورة الإحداثية، لن يعنينا إلا الإحداثي ﺱ. ستساوي هذه الدالة صفرًا عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وبالتالي، لن تتضمن مجموعة الحل إلا القيمة سالب اثنين.

إليك مثال آخر.

لدينا هذا التمثيل البياني. يمكن قراءة جذور معادلة تربيعية من التمثيل البياني. فما هذه الجذور؟

علينا أن نفكر على الفور ما هي جذور المنحنى الممثل بيانيًا. جذور المعادلة التربيعية هي قيم ﺱ التي تجعل ﺹ يساوي صفرًا. ويعني هذا أن علينا النظر إلى المواضع التي يقطع فيها هذا المنحنى المحور ﺱ. والمحور ﺱ هو الخط ﺹ يساوي صفرًا. وهنا، نرى الموضعين اللذين يقطعهما المنحنى.

بين صفر وسالب واحد، توجد خمس مسافات. وتقع النقطة في منتصف المسافة الثالثة. أي إنها تقع في المنتصف بين صفر وسالب واحد. الموضع الأول إذن هو ﺱ يساوي سالب نصف. أي إنه عند ﺱ يساوي سالب نصف، سيساوي ﺹ صفرًا. أما الجذر الثاني، فيقع في منتصف المسافة بين سالب واحد وسالب اثنين، أي سالب واحد ونصف. ولكن للمحافظة على الصورة نفسها، يمكننا كتابته على هذا النحو: سالب ثلاثة على اثنين. وبذلك، يمكننا القول إن جذري هذا التمثيل البياني هما سالب نصف وسالب ثلاثة على اثنين.

إليك مثال ثالث.

يوضح التمثيل البياني الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة. ما مجموعة حل ﺩﺱ يساوي صفرًا؟

إذا كنا نبحث عن مجموعة حل ﺩﺱ يساوي صفرًا، فإننا نبحث عن قيم ﺱ التي تجعل ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. على هذا التمثيل البياني، سيكون هذا هو الموضع حيث ﺹ يساوي صفرًا. نعلم أن ﺹ يساوي صفرًا على المحور ﺱ. ولكي يكون لهذه الدالة حل يجعل ﺩﺱ يساوي صفرًا، يجب أن يقطع منحنى الدالة المحور ﺱ. وهذه الدالة لا تقطع المحور ﺱ. إذن، ليس لها حلول أو جذور. وبالتالي، مجموعة الحل هنا مجموعة خالية، أي لا يوجد حل.

في المثال التالي، سنرسم تمثيلًا بيانيًا لحل معادلة.

عن طريق رسم تمثيل بياني للدالة ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ، أوجد مجموعة حل ﺩﺱ يساوي صفرًا.

المعادلة هي ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ. قبل البدء في رسم التمثيل البياني، من المفيد أن تكون لدينا بعض الإحداثيات حتى نتمكن من رسم المنحنى. ويمكننا الاستعانة بالجداول للقيام بذلك. إذا حسبنا قيم الدالة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وسالب واحد، وصفر، وواحد، واثنين، فستتكون لدينا فكرة عن شكل هذا التمثيل البياني. في المربع الأول سيكون لدينا اثنان في سالب اثنين تربيع ناقص ثلاثة في سالب اثنين، وهو ما يساوي ١٤. وبعد ذلك، لدينا اثنان في سالب واحد تربيع ناقص ثلاثة في سالب واحد، وهو ما يساوي خمسة. عند التعويض بصفر، سيكون الناتج صفرًا. وعند التعويض بواحد، سنحصل على سالب واحد. أما عند التعويض باثنين، فسنحصل على اثنين.

القيم بالأعلى، أي قيم ﺱ، تمثل مجال الدالة، وهو ما يمكننا التعويض به عن ﺱ. أما القيم بالأسفل، فإنها تمثل المدى، وهذا ما يلزمنا لمعرفة قيم ﺹ. في هذه القيم، لدينا نطاق أدنى نقطة فيه هي سالب واحد وأعلى نقطة هي ١٤. وهذا من النقاط التي اخترناها فقط. وهذا يعني أنه ليس مدى الدالة الكاملة. لكنه يعطينا فكرة عن تدريج المحورين ﺱ وﺹ الذي سنستخدمه. يمكننا رسم نقطة عند سالب اثنين، و١٤؛ وعند سالب واحد وخمسة؛ وعند صفر، وصفر؛ وعند واحد، وسالب واحد؛ وعند اثنين، اثنين.

بالنظر إلى هذا، نلاحظ أنه قد يكون من المفيد وجود نقطة إضافية على المحور ﺱ؛ ومن ثم يمكننا إيجاد الحل عند ثلاثة. عندما نعوض بثلاثة في المعادلة، فإننا نحصل على القيمة المخرجة تسعة. وسيعطينا هذا نقطة أخرى لنتمكن من رسم هذا التمثيل البياني. لن يكون شكل المنحنى دقيقًا، لكن يمكنك محاولة رسم منحنى أملس بين النقاط. وعندما نفعل ذلك، وبما أننا نبحث عن مجموعة حل الدالة ﺩﺱ يساوي صفرًا، فإننا نبحث عن الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ. أي نبحث عن المواضع التي تقطع عندها هذه الدالة المحور ﺱ. النقطة الأولى واضحة جدًا. وهي النقطة صفر، وصفر. والتقاطع الثاني يحدث في منتصف المسافة بين واحد واثنين. أصبح لدينا حل عند ﺱ يساوي صفرًا، وحل عند ﺱ يساوي واحدًا ونصف، وهو ما يجعل مجموعة الحل صفرًا وثلاثة على اثنين أو صفرًا وواحدًا ونصف.

تذكر أن هذه ليست إحداثيات لنقطة واحدة. بل قيمتان مختلفتان لـ ﺱ، وعند التعويض بكل منهما في الدالة، فستكون القيمة المخرجة صفرًا.

والآن، نتناول مثالًا سنستعين فيه بحلول المعادلة، أي الجذور، لمساعدتنا في رسم تمثيل بياني. قد تكون هذه الطريقة أسرع من استخدام جدول القيم كل مرة. ولكن، ما زال علينا تحديد بعض الإحداثيات الأخرى لتساعدنا على رسم تمثيل بياني.

‏‏(١) حل ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٥ يساوي صفرًا بالتحليل. ‏‏(٢) ارسم التمثيل البياني لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٥.

في الجزء الأول من هذه المسألة، علينا تحليل ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٥. وبما أن معامل ﺱ تربيع هو واحد، فسنعرف إذن أن كل عامل من العاملين سيحتوي على حد واحد في ﺱ. علينا بعد ذلك إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي موجب ٢٥، بينما مجموعهما يساوي سالب ١٠. لدينا واحد و٢٥؛ وسالب واحد، وسالب ٢٥؛ وموجب خمسة، وموجب خمسة؛ وسالب خمسة، وسالب خمسة.

عند جمع سالب خمسة زائد سالب خمسة، نحصل على سالب ١٠. وبهذا نكون وجدنا زوج الأعداد المطلوب. وندرك أن هذا سيكون ﺱ ناقص خمسة في ﺱ ناقص خمسة. أو يمكننا أن نقول ﺱ ناقص خمسة تربيع. ولكن مرة أخرى، علينا إيجاد قيمة ﺱ هنا. وهذا يعني أن علينا عزل ﺱ في طرف بمفرده؛ ولذا نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين؛ ومن ثم نحصل على ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. وبذلك، يمكننا القول إن حل هذه المعادلة أو جذرها هو ﺱ يساوي خمسة. تحتوي المعادلة على جذر واحد فقط. وهذا يعني أنها ستقطع المحور ﺱ مرة واحدة فقط. هذا كل ما نحتاج إليه في الجزء الأول من المسألة.

ولكن لرسم هذا التمثيل البياني، سنحتاج إلى مزيد من المعلومات. نعلم أن لدينا الجذر خمسة، وصفر. ونظرًا لوجود جذر واحد فقط؛ لأنه جذر متكرر، فإن النقطة خمسة، صفر ستمثل أيضًا رأس المعادلة. المعادلة كانت معطاة لنا في الأصل على الصورة القياسية ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. وعندما تكون الدالة معطاة على الصورة القياسية، فإن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يقع عند النقطة صفر، وﺟ. وبالنسبة لنا، هذه القيمة الثابتة، أي قيمة ﺟ، هي ٢٥. ومن ثم، يمكننا القول إن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يقع عند النقطة صفر، و٢٥.

يمكننا الاستعانة بهذه القيم للمتابعة ورسم المحور ﺱ والمحور ﺹ. وبما أن معامل ﺱ تربيع، وهو قيمة ﺃ، يساوي موجب واحد، يمكننا القول إن القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى، وسيكون الرأس عند نقطة قيمة صغرى. وبما أن النقطة خمسة، وصفر هي القيمة الصغرى، يمكننا القول إن الصفر هو أقل قيمة للإحداثي ﺹ. بعد ذلك، سنضيف التدريج إلى التمثيل البياني باستخدام هذه المعلومات. لدينا القيمة الصغرى عند خمسة، وصفر، والجزء المقطوع من المحور ﺹ عند صفر، و٢٥. ونعلم أن القطع المكافئ يتماثل عند الرأس، و٢٥ يبعد خمس وحدات عن الإحداثي ﺱ للرأس. وهذا يعني أن الانتقال خمس وحدات على يمين الرأس سيساوي ٢٥ أيضًا. وسيصبح لدينا إحداثيًا عند ١٠، و٢٥ وكذلك عند صفر، و٢٥. وبعدها، سنحاول رسم منحنى أملس لتوصيل النقاط التي تكمل التمثيل البياني.

في جميع الأمثلة السابقة، كنا نحل لإيجاد قيم ﺱ عند ﺹ يساوي صفرًا. سنرى الآن مثالًا يمكننا فيه استخدام تقاطع منحنى تربيعي مع خط آخر.

يوضح التمثيل البياني الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص ستة. ما مجموعة حل ﺩﺱ يساوي صفرًا؟ ما مجموعة حل ﺩﺱ تساوي سالب ستة؟

مجموعة حل ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المواضع التي عندها اثنان ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. وعلى هذا التمثيل البياني، يعني هذا المواضع التي تقطع المحور ﺱ. ‏‏ﺹ يساوي صفرًا على المحور ﺱ. وفي هذه الحالة، سيكون لدينا حل عند سالب واحد وحل عند موجب ثلاثة. إذن بالنسبة إلى ﺩﺱ يساوي صفرًا، فإن مجموعة الحل هي سالب واحد، وثلاثة. تذكر أن هذه ليست نقطة إحداثية. بل هذه هي قيم ﺱ التي تجعل ﺩﺱ يساوي صفرًا. وقد كتبناها باستخدام ترميز المجموعة.

المحور ﺱ، كما قلنا، هو الموضع الذي عنده ﺹ يساوي صفرًا. الخط ﺩﺱ يساوي صفرًا هو المحور ﺱ. لكن ماذا سنفعل إذا كنا نستخدم تمثيلًا بيانيًا لكي نتصور الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ستة؟ سيكون هذا هو الموضع أو المواضع حيث تقطع الدالة التربيعية الخط ﺹ يساوي سالب ستة. ونلاحظ في هذا التمثيل البياني أن هذا يحدث مرتين. فهو يحدث عند ﺱ يساوي صفرًا وعند ﺱ يساوي اثنين. وباستخدام ترميز المجموعة، نقول إن قيمتي ﺱ اللتين تجعلان ﺩﺱ يساوي سالب ستة هما صفر واثنان.

لنراجع النقاط الأساسية التي ينبغي الانتباه إليها عند حل المعادلات التربيعية بيانيًا. يمكن حل المعادلات التربيعية بيانيًا بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة. وتعطي هذه العملية حلًا تقريبيًا. ولذا، عند التعامل مع جذور غير صحيحة، قد يكون من الأفضل الحل لإيجاد الجذور جبريًا. ونذكر أيضًا أن المعادلات التربيعية يمكن أن يكون لها جذر واحد، أو جذران، أو ليس لها أي جذور. وبتطبيق هذا على التمثيل البياني، فإنه يعني أن المعادلة التربيعية قد تقطع المحور ﺱ مرة واحدة أو مرتين أو لا تقطعه على الإطلاق.

وأخيرًا، لحل معادلة تربيعية بيانيًا، فإننا نوجد الموضع، على المنحنى، الذي تقطع فيه المعادلة المحور ﺱ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن هذه الطريقة قد تفيدنا عند استخدام آلة حاسبة رسومية لحل هذا النوع من المسائل. فيمكنك إدخال المعادلات التربيعية على الآلة الحاسبة الرسومية. وستعرض لك تمثيلًا بيانيًا لتستخدمه. وحتى عند استخدام الآلة الحاسبة، سيظل الإجراء الخاص بتحديد الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ كما هو، حيث نبحث عن المواضع التي تقطع عندها المعادلة المحور ﺱ.