فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل معادلة تربيعية باستخدام رأس منحنى الدالة ومعاملها الرئيسي الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

صواب أم خطأ: إذا كانت النقطة سالب اثنين، سالب خمسة هي رأس منحنى الدالة التربيعية ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ عدد سالب، فإن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة الخالية؟

في هذا السؤال، لدينا بعض المعلومات عن الدالة التربيعية ﺩﺱ. نعلم أن قيمة ﺃ، أي المعامل الرئيسي للدالة، عدد سالب. ونعلم أيضًا أن النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، سالب خمسة هي رأس منحنى هذه الدالة التربيعية. علينا استخدام هاتين المعلومتين لتحديد إذا ما كانت مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة الخالية.

لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمجموعة حل معادلة. مجموعة الحل هي المجموعة التي تحتوي على كل الحلول الممكنة للمعادلة. ومن ثم، بالنسبة إلى المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا، فهي المجموعة التي تحتوي على كل قيم ﺱ، حيث ﺩ عند ﺱ يساوي صفرًا. علينا تحديد إذا ما كانت مجموعة حل هذه المعادلة هي المجموعة الخالية، وهو ما يعني أنه ليس لها حلول.

هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا محاولة إيجاد الحلول جبريًّا. لكن هذا صعب للغاية. بدلًا من ذلك، بما أننا نعلم إشارة المعامل الرئيسي للمنحنى وإحداثيات رأسه من المعطيات، فسنفعل ذلك بيانيًّا. دعونا نبدأ برسم تمثيل بياني للدالة. ولكي نفعل ذلك، يمكننا تذكر أن جميع المنحنيات التربيعية تكون على شكل قطع مكافئ. وعلى وجه التحديد، هناك اتجاهان للقطع المكافئ تحددهما إشارة المعامل الرئيسي.

إذا كان المعامل الرئيسي عددًا سالبًا، فإننا نقول إن القطع المكافئ مفتوح لأسفل. أما إذا كان المعامل الرئيسي عددًا موجبًا، فإننا نقول إن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. وفي هذا السؤال، نعلم أن إشارة المعامل الرئيسي ﺃ سالبة. إذن، سيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل. يمكننا أيضًا تذكر أن نقطة التحول لهذه القطوع المكافئة تسمى رأس القطع المكافئ. إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل، فإن الإحداثي ﺹ للرأس يوضح لنا أكبر قيمة مخرجة للدالة. وإذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى، فإن الإحداثي ﺹ للرأس يوضح لنا أقل قيمة مخرجة للدالة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع القطوع المكافئة لها خط تماثل رأسي يمر برءوسها.

يمكننا الآن رسم التمثيل البياني للقطع المكافئ. سنبدأ برسم محوري الإحداثيات وتحديد إحداثيات الرأس، سالب اثنين، سالب خمسة. علينا بعد ذلك رسم قطع مكافئ تكون هذه النقطة رأسًا له ويكون مفتوحًا لأسفل. ويمكن أن نحصل على الشكل الموضح. لكن تجدر الإشارة هنا إلى أننا لا نعرف مدى ضيق أو اتساع هذا القطع المكافئ. فقد يكون لدينا مثلًا قطع مكافئ أوسع، حيث تمثل النقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، سالب خمسة رأسًا له ويكون مفتوحًا لأسفل أيضًا. وقد يكون لدينا قطع مكافئ أضيق، كما هو موضح. فنحن لا نعرف شكل هذا المنحنى بالضبط.

لكن، يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام تشترك فيه جميع القطوع المكافئة. فإحداثيات رأس كل منها هي سالب اثنين، سالب خمسة. وبما أن القطع المكافئ مفتوح لأسفل، فإننا نعرف أن الإحداثي ﺹ للرأس يوضح لنا أكبر قيمة مخرجة للدالة. وأكبر قيمة مخرجة هي سالب خمسة، وهذا يحدث عند ﺱ يساوي سالب اثنين. لكن إذا كانت أكبر قيمة مخرجة للدالة تساوي سالب خمسة، فإن القيمة المخرجة للدالة لن تساوي صفرًا أبدًا. إذن، الدالة ليس لها حلول. وهو ما يعني أن المعادلة ليس لها حلول. ولذلك، فإن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية.

من الجدير بالذكر أن هذا يكافئ القول إن منحنى الدالة ليس له أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ؛ لأن الجزء المقطوع من المحور ﺱ يمثل قيمة ﺱ عندما تكون القيمة المخرجة للدالة تساوي صفرًا. إذن، كان بإمكاننا أيضًا تحديد إذا ما كانت العبارة صحيحة أم لا من خلال ملاحظة أن جميع القطوع لدينا لن تمر بالمحور ﺱ. وفي كلتا الحالتين، تمكنا من إثبات أنه إذا كانت النقطة سالب اثنين، سالب خمسة هي رأس منحنى دالة تربيعية بمعامل رئيسي سالب، فإن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لا بد أن تكون المجموعة الخالية بالفعل.