فيديو: إيجاد المعاملات المجهولة في دالة تربيعية بمعلومية ميل مماس منحناها عند نقطة

تقع النقطة ‪(3, 3)‬‏ على المنحنى ‪𝑦 = 7𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏‬‏. إذا كان ميل المماس عند هذه النقطة يساوي ‪−1‬‏، فما قيمة كل من الثابتين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏؟

٠٣:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

تقع النقطة ثلاثة وثلاثة على المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑎𝑥‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. إذا كان ميل المماس عند هذه النقطة يساوي سالب واحد، فما قيمة كل من الثابتين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏؟

لكي نبدأ في حل المسألة، ننظر أولًا إلى هذه الجملة. تقول الجملة إن ميل المماس عند هذه النقطة يساوي سالب واحد. وما نعرفه عن ذلك هو أنه إذا كان لدينا ميل يساوي سالب واحد لمماس عند نقطة معينة على منحنى، فإن للمنحنى الميل نفسه عند هذه النقطة.

لذا، فأول ما نفعله هو إيجاد دالة ميل المنحنى. وذلك من خلال الاشتقاق. ولنتذكر طريقة اشتقاق الدالة، يمكننا تذكير أنفسنا بالقاعدة العامة. إذا كان لدينا دالة في صورة ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏، فالمشتقة الأولى — أي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ — تساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ ناقص واحد. ومعنى ذلك أن المعامل مضروب في الأس ثم في ‪𝑥‬‏ مرفوعًا للقوة مع طرح واحد من الأس.

حسنًا، كان هذا على سبيل التذكرة. فهيا بنا نشتق دالتنا. عند اشتقاق الدالة، نحصل على ‪14𝑥‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ لأن سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع، إذا اشتققناها، تساوي سبعة في اثنين — أي المعامل مضروبًا في الأس — ثم ‪𝑥‬‏ أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يعطينا ‪𝑥‬‏.

حسنًا، رائع، نعرف الآن دالة الميل. نرجع الآن إلى رأس المسألة وننظر إلى المعطيات التي لدينا. إنها تقول إن ميل المماس عند هذه النقطة يساوي سالب واحد. لذا، كما ذكرنا من قبل، فإن ميل المنحنى هنا يساوي أيضًا سالب واحد. والخطوة التالية هي أن نعوض عن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بسالب واحد. يعطينا ذلك سالب واحد يساوي ‪14𝑥‬‏ زائد ‪𝑎‬‏.

والآن، يمكننا النظر إلى معلومة أخرى في المسألة، وهي أن النقطة التي نتعامل معها هي ثلاثة وثلاثة. إذن، يمكننا القول إنه عند هذه النقطة ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. وكما نعلم، فهذه هي النقطة التي نتعامل معها هنا. ويمكننا التعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة في دالة الميل. ومن ثم، لدينا سالب واحد يساوي ‪14‬‏ في ثلاثة، زائد ‪𝑎‬‏. فنطرح ‪42‬‏ من كلا الطرفين، لأن ‪14‬‏ في ثلاثة يعطينا ‪42‬‏. وأخيرًا، نصل إلى أن سالب ‪43‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏.

حسنًا، رائع، فقد أوجدنا قيمة الثابت ‪𝑎‬‏. والآن ننتقل إلى الجزء التالي من المسألة. ما علينا أن نفعله الآن هو إيجاد الثابت ‪𝑏‬‏. لكن كيف؟ ذكرنا منذ قليل أنه عند النقطة ثلاثة وثلاثة ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، وهو ما ساعدنا على إيجاد ‪𝑎‬‏ من خلال دالة الميل. ونعلم أيضًا أن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة عند هذه النقطة.

فما يمكننا فعله لإيجاد ‪𝑏‬‏ هو أن نعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑎‬‏ يساوي سالب ‪43‬‏، في دالتنا الأصلية، وهي ‪𝑦‬‏ يساوي سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وبذلك، نحصل على ثلاثة يساوي سبعة في ثلاثة تربيع زائد سالب ‪43‬‏ في ثلاثة زائد ‪𝑏‬‏. وذلك لأننا عوضنا بالقيم التي حصلنا عليها عن ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑎‬‏. يعطينا ذلك ثلاثة يساوي ‪63‬‏ ناقص ‪129‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. ومن ثم، يكون لدينا ثلاثة يساوي سالب ‪66‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. ونتوصل من ذلك إلى أن ‪69‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏.

وبالتالي، يمكننا القول إنه إذا كانت النقطة ثلاثة وثلاثة تقع على المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑏‬‏، وإذا كان ميل المماس عند هذه النقطة سالب واحد، فإن قيمتي الثابتين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما سالب ‪43‬‏ و‪69‬‏، على الترتيب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.