فيديو الدرس: معادلتا العمودي والمماس الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ميل المنحنى ومعادلة مماس المنحنى عند نقطة معطاة باستخدام المشتقات.

٢٠:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنرى كيف نستخدم الاشتقاق لإيجاد معادلة مماس المنحنى عند نقطة معطاة. وسنناقش أيضًا المقصود بالخط العمودي على منحنى عند نقطة معطاة، ونرى بعض الأمثلة حول كيفية إيجاد معادلات كل من مماسات المنحنيات والخطوط العمودية عليها.

في البداية، نتذكر أن مماس المنحنى عند نقطة معينة هو خط مستقيم يمس المنحنى عند هذه النقطة، لكنه لا يقطعه. ونتذكر أيضًا أن انحدار أو ميل المنحنى عند نقطة معطاة يعرف بأنه ميل مماس المنحنى عند تلك النقطة. وبناء على ذلك، إذا كان بإمكاننا أن نستخدم الاشتقاق لإيجاد دالة ميل المنحنى، ﺩﺹ على ﺩﺱ، فيمكننا إيجاد قيمة ميل المنحنى، ومن ثم ميل مماس المنحنى عند نقطة معطاة، عن طريق التعويض بقيمة ﺱ عند تلك النقطة في دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ.

نتذكر كذلك أن المعادلة العامة للخط المستقيم الذي ميله ﻡ ويمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. يمكننا، إذن، أن نستخدم الميل الذي حسبنا قيمته، وإحداثيي النقطة التي نريد إيجاد المماس عندها لكي نوجد معادلة المماس.

لنر كيف يمكننا فعل ذلك في المثال الآتي.

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺹ يساوي أربعة ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد أربعة عند النقطة سالب واحد، سالب اثنين.

لدينا في هذه المسألة معادلة منحنى. ومطلوب منا إيجاد معادلة المماس لهذا المنحنى عند نقطة معينة. سنستخدم هنا صيغة المعادلة العامة للخط المستقيم، وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. ونعلم بالفعل قيمتي الإحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد. إنها النقطة سالب واحد، سالب اثنين. لكن ماذا عن ﻡ؛ ميل هذا الخط المستقيم؟ نتذكر أن ميل المنحنى يساوي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة. إذن، لإيجاد ميل هذا المماس، علينا أولًا إيجاد دالة ميل المنحنى ﺩﺹ على ﺩﺱ.

يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق، لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة مضروبًا في ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ. تذكر أن اشتقاق الثابت يساوي صفرًا. إذن، اشتقاق موجب أربعة يساوي صفرًا في هذه المشتقة، وبالتالي نبسط ذلك ليصبح ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ. هذه، إذن، الدالة العامة لميل هذا المنحنى. لكننا نريد أن نعرف الميل عند نقطة معينة. علينا، بالتالي، إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عندما ﺱ يساوي سالب واحد؛ لأن ذلك هو الإحداثي ﺱ عند هذه النقطة. هذا يعطينا ١٢ مضروبًا في سالب واحد تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يبسط ليصبح ١٦.

نعلم الآن أن ميل هذا المماس هو ١٦، وإحداثيي النقطة التي يمر بها هما سالب واحد، سالب اثنين. وبذلك تكون لدينا كل المعلومات التي نحتاج إليها لاستخدام صيغة المعادلة العامة للخط المستقيم. فبالتعويض عن قيم ﻡ وﺱ واحد وﺹ واحد، نحصل على ﺹ ناقص سالب اثنين يساوي ١٦ في ﺱ ناقص سالب واحد. وهذا يعطينا ﺹ زائد اثنين يساوي ١٦ﺱ زائد ١٦. وبطرح اثنين من كلا الطرفين لتجميع الثوابت، نحصل على ﺹ يساوي ١٦ﺱ زائد ١٤. هذه، إذن، معادلة المماس للمنحنى المعطى عند النقطة سالب واحد، سالب اثنين. فهو يمر بالنقطة سالب واحد، سالب اثنين، وله نفس ميل المنحنى عند هذه النقطة.

والآن، دعونا نتناول مثالًا آخر.

أوجد النقطة الواقعة على المنحنى ﺹ يساوي سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ٤٠ التي يكون عندها مماس المنحنى موازيًا للمحور ﺱ.

فلنفكر فيما يعنيه أن يكون خط ما موازيًا للمحور ﺱ. المحور ﺱ هو خط أفقي. وبالتالي، إذا كان ثمة خط آخر مواز للمحور ﺱ، فيجب أن يكون هذا الخط أفقيًا أيضًا. وما الذي نعرفه عن ميل الخطوط الأفقية؟ حسنًا، إنه يساوي صفرًا. وبالتالي نعرف أن ميل المماس الذي نريد إيجاده لا بد وأن يساوي صفرًا. تذكر أيضًا أن ميل المماس يساوي ميل المنحنى عند هذه النقطة. وبالتالي، فإننا نعلم أيضًا أن ميل المنحنى عند هذه النقطة لا بد وأن يساوي صفرًا كذلك.

وميل المنحنى هو دالة ميله، ﺩﺹ على ﺩﺱ. ما سنفعله، إذن، هو إيجاد دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ عن طريق اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ ثم مساواتها بالصفر. سنتمكن بعد ذلك من حل المعادلة الناتجة لإيجاد الإحداثي ﺱ للنقطة الواقعة على المنحنى حيث الميل يساوي صفرًا. الخطوة الأولى إذن هي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، ويمكننا فعل ذلك عن طريق استخدام قاعدة القوى للاشتقاق. فنحصل على سالب ٤٠ مضروبًا في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي سالب ٨٠ﺱ. وتذكر أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا. ومن ثم، فإن دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سالب ٨٠ﺱ.

بعد ذلك، نساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ بصفر ونحل المعادلة الناتجة. لدينا سالب ٨٠ﺱ يساوي صفرًا. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على سالب ٨٠، نجد أن ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك، نعرف أن الإحداثي ﺱ للنقطة الواقعة على هذا المنحنى التي يكون عندها المماس موازيًا للمحور ﺱ هو صفر. علينا أيضًا إيجاد الإحداثي ﺹ، وهو ما يمكننا فعله من خلال التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في معادلة المنحنى. عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي سالب ٤٠ مضروبًا في صفر تربيع زائد ٤٠، وهو ما يساوي ٤٠. وبالتالي، فإن النقطة الواقعة على هذا المنحنى التي يكون عندها مماس المنحنى موازيًا للمحور ﺱ هي النقطة التي إحداثياها صفر، ٤٠.

كان بإمكاننا معرفة ذلك أيضًا من خلال النظر إلى شكل التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ٤٠. إنه قطع مكافئ سالب؛ لأن معامل ﺱ تربيع يساوي سالب ٤٠، والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي موجب ٤٠. يمكن أن نلاحظ من الرسم التوضيحي أن هذه الدالة لها نقطة حرجة عند النقطة التي إحداثياها صفر، ٤٠. في الحقيقة، إنها نقطة عظمى محلية. عند النقاط الحرجة للدالة، فإن ميل المنحنى والمماس يساوي صفرًا. وبذلك، نجد أنه عند النقطة صفر، ٤٠ — النقطة الحرجة في هذا المنحنى — يكون المماس عند هذه النقطة موازيًا للمحور ﺱ.

لنتناول الآن مثالًا آخر.

الخط المستقيم ﺱ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا يمس المنحنى ﺹ يساوي ﺃﺱ تكعيب زائد ﺏﺱ تربيع عند النقطة واحد، سالب اثنين. أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

المعلومة الرئيسية في هذا السؤال هي أن الخط المستقيم والمنحنى يتماسان عند هذه النقطة التي إحداثياها واحد، سالب اثنين. لكن الخط لا يتقاطع مع المنحنى، ما يعني أن الخط المستقيم ﺱ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا هو مماس للمنحنى عند هذه النقطة. نعلم أن ميل المنحنى يساوي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة. ومعادلة الخط المستقيم في المسألة هي ﺱ ناقص ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. وعند إعادة ترتيبها، نجد أنها مكافئة للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ ناقص ثلاثة. وبالمقارنة بالمعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، وهي الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع، نجد أن ميل المماس هنا يساوي واحدًا. هل يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن ميل المنحنى؟ حسنًا، يمكننا فعل ذلك عن طريق الاشتقاق. بتطبيق قاعدة القوى، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺃﺱ تربيع زائد اثنين ﺏﺱ.

بعد ذلك، نوجد قيمة دالة الميل عند النقطة واحد، سالب اثنين. فنعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا في دالة الميل، ما يعطينا ثلاثة ﺃ زائد اثنين ﺏ. بعد ذلك، يمكن أن نساوي ميل المنحنى عند هذه النقطة بميل مماس المنحنى عند النقطة ذاتها. وهذا يعطينا معادلة تتضمن ﺃ وﺏ، وهي ثلاثة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي واحدًا. لا يمكننا حل هذه المعادلة، لأن لدينا معادلة واحدة فقط ومجهولين. لذا علينا إيجاد معادلة ثانية.

تقع النقطة واحد، سالب اثنين على كل من المنحنى والمماس. إذن، إذا عوضنا بالقيمتين واحد وسالب اثنين في معادلة المنحنى، فسنحصل على معادلة ثانية تربط بين ﺃ وﺏ. نحصل على ﺃ مضروبًا في واحد تكعيب زائد ﺏ مضروبًا في واحد تربيع يساوي سالب اثنين، وبالتبسيط نحصل على ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب اثنين. لدينا الآن معادلتان خطيتان بدلالة ﺃ وﺏ علينا أن نحلهما آنيًا. يمكننا ضرب المعادلة رقم اثنين في اثنين؛ لأن ذلك سيجعل معامل ﺏ مساويًا لمعامل ﺏ في المعادلة رقم واحد.

بعد ذلك، سنطرح المعادلة الثانية من الأولى لنتخلص من حدي ﺏ، لنحصل بذلك على ﺃ يساوي خمسة. وبالتعويض بقيمة ﺃ في المعادلة الأصلية رقم اثنين، وهي ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب اثنين، نحصل على خمسة زائد ﺏ يساوي سالب اثنين. وبطرح خمسة، نجد أن ﺏ يساوي سالب سبعة. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمتي ﺃ وﺏ. ‏‏ﺃ يساوي خمسة وﺏ يساوي سالب سبعة.

تذكر أن المعلومة الأساسية التي استخدمناها في هذه المسألة هي أن ميل المنحنى يساوي ميل المماس لهذا المنحنى عند تلك النقطة.

لنلق نظرة على نوع آخر من الأمثلة.

أوجد معادلة مماس المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٦ﺱ الذي يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب لمحور ﺱ.

تطلب منا المسألة إيجاد معادلة المماس لمنحنى معين، وهو ما نعرف أنه يمكننا فعله باستخدام الاشتقاق والمعادلة العامة للخط المستقيم. لكن ما معنى أن يصنع هذا المماس زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺱ؟ لنمثل ذلك بيانيًا. حسنًا، سيبدو بهذا الشكل. المماس هنا موضح باللون الوردي. ونلاحظ أنه عندما يتقاطع مع المحور ﺱ، يكون قياس الزاوية بين الجزء الموجب من المحور ﺱ والمماس ١٣٥ درجة.

ولكي نطبق المعادلة العامة للخط المستقيم، ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، علينا إما أن نعرف ميل الخط، ﻡ، أو إحداثيي النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد الواقعة على الخط. كيف نستفيد إذن من معرفة أن المماس يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺱ في تحديد أي من هاتين المعلومتين؟ إن قياس الزاوية على الجانب الآخر من هذا الخط يساوي ٤٥ درجة، وذلك لأننا نعرف أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. ويمكننا أن نرسم مثلثًا قائم الزاوية أسفل هذا الخط، ونتذكر أن ميل الخط المستقيم يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وهو ما يساوي الارتفاع العمودي لهذا المثلث مقسومًا على المسافة الأفقية. لكن في هذا المثلث قائم الزاوية، هذان الضلعان هما الضلعان المقابل والمجاور للزاوية التي قياسها ٤٥ درجة. لذا سنقسم طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

وبما أن الخط المستقيم ينحدر لأسفل، فإن التغير الرأسي يساوي في الواقع سالب طول الضلع المقابل. وبذلك فإن الميل يساوي سالب طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وطول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور هو نسبة الظل. وهو ما يساوي في الواقع سالب ظا ٤٥ درجة. وظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا. إذن، بالنظر إلى هذا المثلث قائم الزاوية، نجد أن ميل هذا الخط المستقيم يساوي سالب واحد. ها قد أوجدنا ميل المماس. لكننا لا نعرف بعد إحداثيي النقطة الواقعة على المنحنى المرسوم عندها هذا المماس. لإيجاد ذلك، علينا إيجاد النقطة الواقعة على المنحنى التي تكون عندها قيمة الميل سالب واحد.

نبدأ باشتقاق معادلة المنحنى بالنسبة إلى ﺱ وتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق، وهو ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ زائد ٢٦. بعد ذلك، نساوي هذا المقدار بسالب واحد لنوجد الإحداثي ﺱ للنقطة الواقعة على المنحنى حيث الميل يساوي سالب واحد. هذا يبسط إلى ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ زائد ٢٧ يساوي صفرًا. بعد ذلك، نقسم الطرفين على ثلاثة لنحصل على ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا. وهنا يجب أن نلاحظ أن ذلك مربع كامل. ويمكن أن نكتبه على صورة: ﺱ زائد ثلاثة الكل تربيع. وبحل هذه المعادلة، نجد أن ﺱ زائد ثلاثة لا بد وأن يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن ﺱ يساوي سالب ثلاثة.

بعد ذلك علينا إيجاد قيمة ﺹ عندما ﺱ يساوي سالب ثلاثة، ونفعل ذلك عن طريق التعويض بسالب ثلاثة في معادلة المنحنى. وهو ما يعطينا سالب ٢٤. نعلم الآن أن ميل هذا المماس يساوي سالب واحد عند النقطة سالب ثلاثة، سالب ٢٤. وكل ما علينا فعله الآن هو التعويض في المعادلة العامة للخط المستقيم. ‏‏ﺹ ناقص سالب ٢٤ يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ ناقص سالب ثلاثة. ويبسط ذلك إلى ﺹ زائد ﺱ زائد ٢٧ يساوي صفرًا.

كانت الخطوات الأساسية في هذه المسألة، إذن، هي استخدام حساب المثلثات لإيجاد ميل خط مستقيم يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. وعرفنا أن ميله يساوي سالب ظا ٤٥ درجة، وهو ما يساوي سالب واحد. استخدمنا، بعد ذلك، دالة ميل المنحنى لنحدد قيمة ﺱ التي كان الميل عندها يساوي سالب واحد. ووجدنا قيمة ﺹ المقابلة عن طريق التعويض في معادلة المنحنى، وأخيرًا استخدمنا المعادلة العامة للخط المستقيم ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد لإيجاد معادلة هذا المماس.

وأخيرًا، في هذا الفيديو، سنناقش المقصود بالخط العمودي على منحنى. وسنفعل ذلك من خلال أحد الأمثلة.

‏اكتب معادلات جميع الخطوط العمودية على المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ عند نقاط تقاطعه مع الخط المستقيم ﺹ ناقص أربعة ﺱ يساوي صفرًا.

ما المقصود بكلمة «العمودية» في هذا السياق؟ حسنًا، نتذكر أولًا أن مماس المنحنى له نفس ميل المنحنى عند هذه النقطة. أما الخط العمودي، فيمر بالنقطة نفسها، لكنه عمودي على المماس عند هذه النقطة. يمكننا إذن استخدام خواص الخطوط المستقيمة المتعامدة لنستنتج العلاقة بين ميل المماس وميل الخط العمودي على المنحنى عند نقطة معطاة. حاصل ضرب ميلي الخطين سيساوي سالب واحد، وكل منهما سيساوي سالب مقلوب الآخر.

يجب أن نتأكد مما إذا كان المطلوب هو إيجاد معادلة المماس أم الخط العمودي، عند حل مسائل من هذا النوع. والآن بعد أن عرفنا ما المقصود بالخطوط العمودية، لنر كيف يمكننا حل هذه المسألة. مطلوب منا كتابة معادلات جميع الخطوط العمودية على منحنى معطى عند نقاط تقاطع هذا المنحنى مع خط مستقيم آخر. ستكون خطوتنا الأولى في الحل، إذن، هي إيجاد نقاط التقاطع هذه.

يمكننا إعادة ترتيب معادلة الخط المستقيم لنحصل على ﺹ يساوي أربعة ﺱ، ثم نساوي بين مقداري ﺹ، لنحصل على معادلة بدلالة ﺱ فقط. بعد ذلك، يمكننا طرح أربعة ﺱ من كلا الطرفين، ثم نحلل المعادلة التربيعية الناتجة لنحصل على ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. جذرا هذه المعادلة هما ﺱ يساوي صفرًا أو ﺱ يساوي اثنين. نعرف بذلك الإحداثيين ﺱ لنقطتي التقاطع. ولإيجاد الإحداثيين ﺹ المقابلين، نعوض بقيمتي ﺱ في معادلة المنحنى، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي صفرًا عندما ﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي ثمانية عندما ﺱ يساوي اثنين.

إذن نعرف الآن نقطتي التقاطع. وبالتالي، نعرف إحداثيي نقطة واحدة تقع على كل خط عمودي. لكن علينا أن نحدد انحدار أو ميل كل خط عمودي. أولًا، يمكن إيجاد ميل كل مماس عن طريق اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، وهو ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين. عندما ﺱ يساوي صفرًا، الميل سيساوي اثنين. وعندما ﺱ يساوي اثنين، الميل سيساوي ستة. لكن تذكر أن ذلك هو ميل المماس، وليس ميل الخط العمودي. لإيجاد ميل كل خط عمودي، علينا إيجاد سالب مقلوب ميل كل مماس. ومن ثم، فإن ميل الخط العمودي الأول يساوي سالب نصف وميل الخط العمودي الثاني يساوي سالب سدس.

وأخيرًا، يمكننا استخدام صيغة المعادلة العامة للخط المستقيم. بالنسبة للخط العمودي الأول الذي ميله سالب نصف ويمر بالنقطة صفر، صفر، نحصل على المعادلة: اثنين ﺹ زائد ﺱ يساوي صفرًا. وبالنسبة للخط العمودي الثاني الذي ميله سالب سدس ويمر بالنقطة اثنين، ثمانية، نحصل على المعادلة: ستة ﺹ زائد ﺱ ناقص ٥٠ يساوي صفرًا. ها قد أوجدنا معادلتي الخطين العموديين. علينا أن نتوخى الحذر في هذا النوع من المسائل. تذكر أن ميل الخط العمودي ليس هو نفسه ميل المماس. فهو يساوي سالب مقلوب ميل المماس؛ لأن الخطين متعامدان أحدهما على الآخر.

دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، ذكرنا أنفسنا بأن ميل المنحنى عند نقطة يساوي ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة. ومن ثم، باستخدام الاشتقاق والتعويض بقيمة ﺱ عند هذه النقطة، يمكننا إيجاد ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة معطاة. يمكننا، بعد ذلك، التعويض بالميل وإحداثيي هذه النقطة في المعادلة العامة للخط المستقيم، ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، لإيجاد معادلة المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

تعلمنا أيضًا أن الخط العمودي على المنحنى عند نقطة يكون عموديًا على مماس المنحنى عند تلك النقطة. وبالتالي، فإن حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد. ويمكننا استخدام كل هذه النتائج الرئيسية لإيجاد معادلات المماسات والخطوط العمودية للمنحنيات المختلفة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.