نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة خط مستقيم في الصيغة القياسية، وصيغة الميل ونقطة؛ بمعلومية نقطتين، أو ميل ونقطة، أو تمثيل بياني. إذن، أهداف الدرس هي: التعرف على صيغة الميل ونقطة للخط المستقيم، والتمكن من كتابة ذلك بمعلومية ميل ونقطة على الخط المستقيم. سنحدد المعادلات التي تمثل خطوطًا مستقيمة، ونتعرف على التمثيل البياني لمستقيم بمعلومية صيغة الميل ونقطة، ثم نحدد الأجزاء المقطوعة من محاور إحداثيات التمثيل البياني للخط المستقيم.
لكن قبل أن نبدأ ونلقي نظرة على كيفية إجراء ذلك بالأمثلة، سنلقي نظرة على صيغ معادلة الخط المستقيم. سنتناول هنا ثلاث طرق يمكننا من خلالها كتابة معادلة خط مستقيم. لكننا سنركز على طريقتين فقط في هذا الدرس.
الصيغة العامة الأولى لمعادلة خط مستقيم هي صيغة الميل والمقطع، وهي: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو الميل، ويعرف أيضًا باسم الانحدار، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وقد يكتب أيضًا في بعض الأحيان ﺟ.
حسنًا، لننظر إلى الصيغة الثانية. تعرف الصيغة الثانية بالصيغة القياسية. وهي: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ. وأخيرًا، لدينا صيغة الميل ونقطة، وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هو أيضًا الميل أو الانحدار، وﺱ واحد، ﺹ واحد هي نقطة على الخط المستقيم. تجدر الإشارة هنا إلى أنك قد تلاحظ أحيانًا أن النقطة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، مكتوبة على الصورة: ﺃﺱ، ﺏﺹ. فلا يهم الحرف الذي تكتب به. المهم فقط هو ما يستخدم لتمثيل إحداثيات تلك النقطة على الخط المستقيم.
ها قد تحدثنا عن ثلاث صيغ لمعادلة الخط المستقيم. ولكن في هذا الدرس، سنركز فقط على الصيغتين الثانية والثالثة؛ وهما: الصيغة القياسية، وصيغة الميل ونقطة. ما يمكننا فعله الآن هو تناول بعض الأسئلة. يتضمن السؤال الأول الذي سنتناوله صيغة الميل ونقطة.
أوجد في صيغة الميل ونقطة، معادلة المنحنى الذي ميله أربعة ويمر بالنقطة اثنين، سالب ثلاثة.
حسنًا، أول شيء سنفعله هو تذكير أنفسنا بصيغة الميل ونقطة. وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. حيث ﻡ هو الميل؛ وﺱ واحد، ﺹ واحد هما إحداثيا نقطة على الخط المستقيم. إذن، أولًا، عرفنا من المسألة أن ﻡ، أي الميل، يساوي أربعة. وﺱ واحد، ﺹ واحد؛ أي النقطة التي تقع على الخط المستقيم، هي: اثنان، سالب ثلاثة. وعليه، عندما نعوض بهذه القيم، سيصبح لدينا ﺹ ناقص سالب ثلاثة يساوي أربعة في ﺱ ناقص اثنين.
مفتاح الحل هنا هو إيجاد الإجابة في صيغة الميل ونقطة. لقد اقتربنا من الحل. نريد فقط تبسيط الطرف الأيمن. لدينا في الطرف الأيمن ﺹ ناقص سالب ثلاثة. إذا طرحت عددًا سالبًا، فهذا يعني جمع قيمة موجبة. لذا، نحصل على ﺹ زائد ثلاثة. إذن، يمكننا القول إن معادلة المنحنى الذي يعبر عن خط مستقيم، والذي ميله أربعة، ويمر بالنقطة: اثنين، سالب ثلاثة؛ على صيغة الميل ونقطة، هي: ﺹ زائد ثلاثة يساوي أربعة في ﺱ ناقص اثنين.
حسنًا، لقد تناولنا مثالًا جعلنا نعوض بالقيم في صيغة الميل ونقطة. سنتناول الآن سؤالًا يتضمن تمثيلًا بيانيًا. في هذا السؤال، سنتناول كيف يمكننا كتابة معادلة المستقيم الممثل بيانيًا باستخدام صيغة الميل ونقطة.
اكتب المعادلة التي يعبر عنها التمثيل البياني الموضح. اكتب الإجابة على الصورة: ﺹ ناقص ﺃ يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺏ.
في هذا السؤال، مطلوب منا كتابة الإجابة بالصيغة المعروفة بصيغة الميل ونقطة؛ حيث ﻡ هو الميل، وﺃ، ﺏ، نقطة على الخط المستقيم. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه على الرغم من أن هذه الصيغة تبدو مختلفة قليلًا، لأنه ربما تكون قد لاحظت أن لدينا أيضًا الصيغة: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، فإنهما ليستا مختلفتين إلا في أن النقطة على المستقيم يمثلها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، بدلًا من: ﺃ، ﺏ.
حسنًا، عرفنا الآن الصيغة. ما علينا فعله هو إيجاد ميل المستقيم. بما أن لدينا خطًا مستقيمًا، نعلم أن الميل سيكون متساويًا على طول المستقيم. إذن لا يهم أي نقطتين نختارهما على الخط المستقيم. لكن توجد معلومة سريعة يجب تذكرها وهي التأكد من اختيار نقطة سهلة القراءة؛ بحيث تقع على خطوط شبكة الإحداثيات.
وهكذا اخترنا النقطتين. لدينا نقطة معطاة من البداية، وهي: سالب اثنين، ستة، ثم اخترنا نقطة أخرى وهي: اثنان، ثمانية. حسنًا، لإيجاد الميل، نريد إيجاد التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وهو أيضًا ما يشار إليه أحيانًا بمصطلح غير منهجي وهو فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. لكن إذا أردنا استخدام صيغة منهجية، فلدينا: ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، أي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ.
ما فعلناه، لمساعدتنا على استخدام ذلك، هو تحديد النقطتين. لدينا إذن: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. وعندما نعوض بهذه القيم، يصبح لدينا ﻡ يساوي ثمانية ناقص ستة على اثنين ناقص سالب اثنين. ومن ثم، نجد أن الميل ﻡ يساوي اثنين على أربعة. وإذا قسمنا كلًا من البسط والمقام على اثنين؛ لأنه يمكننا التبسيط، فسنحصل على ﻡ يساوي نصفًا. إذن، الميل يساوي نصفًا.
بعد ذلك، لدينا نقطة. ولدينا نقطة أخرى في البداية. وهي عند: سالب اثنين، ستة. إذن يمكننا القول إن النقطة: ﺃ، ﺏ، تساوي سالب اثنين، ستة. أصبح لدينا الآن كل القيم التي نحتاج إليها للتعويض بها في صيغة الميل ونقطة. ومن ثم، يصبح لدينا ﺹ ناقص ستة يساوي نصفًا في ﺱ ناقص سالب اثنين. إذن، يمكننا القول إن المعادلة التي يعبر عنها التمثيل البياني الموضح هي: ﺹ ناقص ستة يساوي نصفًا في ﺱ زائد اثنين.
حسنًا، ما فعلناه الآن هو أننا تناولنا سؤالين فيهما صيغة الميل ونقطة مكتوبة على صورتين مختلفتين. وسنلقي الآن نظرة على أحد أهداف الدرس الأخرى. وهو النظر في بعض المعادلات وتحديد أي منها يمثل خطًا مستقيمًا.
أي المعادلات التالية تمثل خطًا مستقيمًا؟ (أ) ﺹ يساوي جذر ﺱ زائد ستة أم (ب) ﺹ زائد واحد على ﺱ يساوي سالب ثمانية أم (ج) ﺱ زائد جذر ﺹ يساوي سالب خمسة أم (د) سالب سبعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي سالب تسعة.
لكي نتمكن من تحديد أي هذه المعادلات هي المعادلة الصحيحة التي تمثل خطًا مستقيمًا، علينا النظر إلى صيغتين من الصيغ العامة لمعادلة الخط المستقيم. الصيغتان اللتان لدينا هنا هما: الصيغة القياسية؛ ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، أو صيغة الميل ونقطة؛ وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد.
ثمة أمر يمكننا ملاحظته في الصيغتين، وهو أن لدينا هنا ﺱ أس واحد، ثم ﺹ أس واحد. وهذا في الصيغة القياسية. ثم لدينا في صيغة الميل ونقطة ﺹ أس واحد، أو ﺱ أس واحد. إذن، من خلال هذه المعلومة وصيغتي معادلة الخط المستقيم لدينا، دعونا نلق نظرة على المعادلات الأربع التي لدينا لنعرف ما إذا كانت تمثل خطًا مستقيمًا بالفعل.
إذا نظرنا إلى المعادلة (أ)، نجد أن لدينا جذر ﺱ. وإذا كتبنا هذا على صورة أسية، فسيكون ﺱ أس نصف. إذن، لا يمكن أن تكون هذه هي الإجابة الصحيحة؛ لأن هذا لن يمثل خطًا مستقيمًا.
في المعادلة (ب)، لدينا واحد على ﺱ. وإذا أعدنا كتابة هذا على الصورة الأسية، فسيكون: ﺱ أس سالب واحد. ولذلك، مرة أخرى، لا يمكن أن تكون هذه هي الإجابة الصحيحة. حيث لا يمكن أن تمثل خطًا مستقيمًا؛ لأنه ليس لدينا ﺱ أس واحد، ﺹ أس واحد.
إذا نظرنا بعد ذلك إلى المعادلة (ج)، فسنجد أن لدينا جذرًا، وهو جذر ﺹ هذه المرة. ومن ثم، سيكون ﺹ أس نصف. لذا، لا يمكن أن تكون هذه هي المعادلة الصحيحة أيضًا.
لكن إذا نظرنا إلى المعادلة (د)، فسنجد أن لدينا ﺱ أس واحد وﺹ أس واحد. وعليه، يمكن أن تكون هذه هي المعادلة الصحيحة. ومن ثم يمكن أن تكون هذه هي معادلة الخط المستقيم. يمكننا أيضًا ملاحظة أنها مكتوبة على الصيغة القياسية لمعادلة الخط المستقيم، وهي: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ. إذن، يمكننا القول إن المعادلة التي تمثل الخط المستقيم هي: سالب سبعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ يساوي سالب تسعة. وهي مكتوبة على الصيغة القياسية: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ يساوي سالب سبعة، وﺏ يساوي سالب اثنين، وﺟ يساوي سالب تسعة. حسنًا، بذلك نكون قد حللنا هذه المسألة.
في السؤال التالي، سنلقي نظرة على مجموعة من التمثيلات البيانية. وسنحدد التمثيل البياني الذي يعبر عن المعادلة المعطاة.
أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ ناقص خمسة يساوي ثلثين في ﺱ ناقص ثلاثة؟
لدينا خمسة تمثيلات بيانية: (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ). ولدينا معادلة على صيغة الميل ونقطة. وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هو الميل، والنقطة التي تقع على الخط المستقيم هي: ﺱ واحد، ﺹ واحد. إذن، أول ما يمكننا إيجاده من المعادلة هو ﻡ، أي الميل؛ لأن ﻡ يساوي ثلثين.
نذكر أنفسنا بأن الميل يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، لذا هذا يعني أن كل وحدتين لأعلى تقابلهما ثلاث وحدات أفقيًا على التمثيل البياني. وذلك لأنه كما قلنا؛ العدد بالأعلى هو التغير في ﺹ، والعدد بالأسفل هو التغير في ﺱ.
حسنًا، نعلم أن الميل يساوي ثلثين. ما يمكننا فعله الآن هو استخدام المعادلة لإيجاد نقطة على المستقيم. نلاحظ أن لدينا نقطة على المستقيم لا بد أن تكون إحداثياتها: ثلاثة، خمسة. إذن، نعرف أن: ﺱ واحد، ﺹ واحد، يساوي ثلاثة، خمسة. حسنًا، أصبح لدينا الآن المعلومتان اللازمتان لتحديد التمثيل البياني الصحيح.
نبدأ أولًا بنقطة على المستقيم. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني (أ)، فسنجد أن النقطة: ثلاثة، خمسة، تقع على المستقيم. إذن، قد يكون هذا هو التمثيل البياني الصحيح. وإذا نظرنا إلى التمثيل البياني (ب)، فسنجد أن النقطة لا تقع على المستقيم؛ لأن النقطة: ثلاثة، خمسة، كما نلاحظ هنا، ليست على المستقيم. إذن، لا يمكن أن يكون هذا هو التمثيل البياني الصحيح.
بالنظر إلى التمثيل البياني (ج)، سنجد أن النقطة: ثلاثة، خمسة، تقع بالفعل على المستقيم. إذن، قد يكون هذا هو التمثيل البياني الصحيح. وإذا نظرنا إلى التمثيل البياني (د)، فسنجد أن النقطة لا تقع على المستقيم؛ لأنها تقع عند طرف أحد المحورين. إذن، هذا ليس التمثيل البياني الصحيح أيضًا.
ما يجدر ذكره هنا أن ثمة خطأ شائعًا يمكن الوقوع فيه. وهو تحديد الإحداثيين ﺱ وﺹ بطريقة خطأ. يمكننا أن نلاحظ هنا أن النقطة هي: خمسة، ثلاثة. إذا انتقلنا بعد ذلك إلى التمثيل البياني الأخير (هـ)، فسنجد أنه قد يكون التمثيل البياني الصحيح، لأن النقطة تقع بالفعل على المستقيم؛ حيث تقع النقطة: ثلاثة، خمسة، على المستقيم.
حسنًا، استبعدنا حتى الآن تمثيلين بيانيين، هما: (ب) و(د). وعلينا الآن أن نلقي نظرة على المعلومة الأخرى التي لدينا، وهي ميل المستقيم في التمثيل البياني، لنعرف إن كان هذا سيساعدنا في تحديد أي التمثيلات المتبقية هو التمثيل البياني الصحيح. توجد معلومة نعرفها عن شكل التمثيل البياني، وهي أنه إذا كان الميل موجبًا، فإن الخط المستقيم يتجه لأعلى جهة اليمين. وإذا كان الميل سالبًا، فإن الخط المستقيم يتجه لأسفل جهة اليمين.
إذا فكرنا في الميل لدينا، فسنجد أنه يساوي ثلثين، وهو قيمة موجبة. ومن ثم، فإننا نبحث عن الميل الذي يتجه لأعلى جهة اليمين. يعني هذا أنه يمكننا استبعاد تمثيل بياني آخر. يمكننا استبعاد التمثيل البياني (هـ)؛ لأن الميل سالب. إذن، لا يمكن أن يكون هو التمثيل البياني الصحيح.
يتبقى لدينا تمثيلان بيانيان، هما: (أ) و(ج). ولتحديد أي التمثيلين البيانيين (أ) و(ج) هو التمثيل البياني الصحيح، يمكننا استخدام الميل بطريقتين. أولًا، يمكننا إيجاد ميل كل من الخطين المستقيمين على حدة. لكن يمكننا أيضًا الاستعانة بما يعنيه هذا الميل.
لاستخدام هذه الطريقة، حددنا نقطة على التمثيل البياني (أ). وهي النقطة: سالب ثلاثة، واحد. لا يهم النقطة التي تحددها، لكن يجب أن تسهل قراءتها على المقياس. نعلم من الميل، وهو ثلثان، أن لكل وحدتين لأعلى، أي التغير في ﺹ، يجب أن يتجه الخط المستقيم ثلاث وحدات أفقيًا. وعليه، نلاحظ في التمثيل البياني (أ) أننا إذا بدأنا بنقطة على الخط المستقيم واتجهنا وحدتين لأعلى وثلاث وحدات أفقيًا، فسنستقر أيضًا عند نقطة على الخط المستقيم. إذن، يمكننا القول إن الميل يساوي ثلثين.
لكن عندما ننظر إلى التمثيل البياني (ج)، الذي يمثل نقطة على المستقيم، نجد أننا إذا اتجهنا وحدتين لأعلى وثلاث وحدات أفقيًا، فإن النقطة التي حددناها ستقع بعيدًا عن المستقيم. إذن، يمكننا القول إن الميل لا يساوي ثلثين. ولكن إذا أردنا إيجاد ميل المستقيم، فسنلاحظ أننا إذا اتجهنا ثلاث وحدات لأعلى ووحدتين أفقيًا، وبذلك نكون قد حددنا نقطتين أخريين، فستقع هذه النقطة على المستقيم مرة أخرى. إذن، ميل المستقيم يساوي ثلاثة على اثنين. وعليه، يمكننا القول إن التمثيل البياني الصحيح هو (أ)؛ لأنه التمثيل البياني الذي يمثل المعادلة: ﺹ ناقص خمسة يساوي ثلثين مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة.
حسنًا، تناولنا مجموعة من المسائل المختلفة. سنتناول الآن مسألة أخيرة. ما سنفعله في هذه المسألة هو إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية الأجزاء المقطوعة من المحورين ﺱ وﺹ.
ما معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند سالب ثلاثة ويقطع المحور ﺹ عند أربعة؟
أول ما سنفعله في هذا السؤال هو رسم الخط المستقيم. لدينا أولًا الجزء المقطوع من المحور ﺱ، وهو سالب ثلاثة، والذي يعني أن الخط المستقيم يقطع المحور ﺱ عند سالب ثلاثة. ولدينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند أربعة. إذن، الخط المستقيم يقطع المحور ﺹ عند أربعة. عند توصيل هاتين النقطتين ببعضهما البعض، يصبح لدينا خط مستقيم. وما نريده هو إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم. الصيغة التي سنوجد بها المعادلة أولًا هي صيغة الميل ونقطة، وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. والسبب في ذلك هو أنها أسهل طريقة لحل المسألة؛ لأن كل ما سنفعله هو تحديد نقاط معينة على المستقيم بسهولة وسنعرف الأجزاء المقطوعة.
ومن ثم، يمكننا بسهولة إيجاد الميل. وكما تلاحظ في صيغة الميل ونقطة، نحتاج إلى الميل، وهو ﻡ، ونقطة على المستقيم، وهي: ﺱ واحد، ﺹ واحد. جدير بالذكر أيضًا أنك قد تجد صيغة الميل ونقطة على الصورة: ﺹ ناقص ﺃ يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺏ، وهي الصيغة نفسها. فهي تمثل إحداثيي النقطة على أنهما: ﺃ، ﺏ، فحسب.
نعلم أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ هو سالب ثلاثة، والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو أربعة. إذن، لدينا نقطتان: سالب ثلاثة، صفر؛ وصفر، أربعة. أول ما علينا فعله هو إيجاد ميل الخط المستقيم. ويمكننا فعل ذلك باستخدام إحدى الصيغ. وهي: ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، أي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ.
لمساعدتنا في استخدام هذه الصيغة، حددنا النقطتين. لدينا إذن ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. إذا عوضنا بهذه القيم، فسنحصل على ﻡ يساوي أربعة ناقص صفر على صفر ناقص سالب ثلاثة؛ وهو ما يعطينا ﻡ يساوي أربعة على ثلاثة، أو الميل أربعة على ثلاثة. تجدر الإشارة إلى أنه لا يهم ترتيب النقاط التي لدينا؛ لأنها ستعطينا الميل نفسه.
حسنًا، لدينا الآن الميل، ونقطة على الخط المستقيم. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في صيغة الميل ونقطة. يمكننا تحديد أي نقطة على الخط المستقيم. لكنني سأحدد النقطة الأولى التي لدينا، وهي: سالب ثلاثة، صفر. وكما ذكرنا، يمكن تحديد أي نقطة على الخط المستقيم. عندما نعوض عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، سنحصل على ﺹ ناقص صفر يساوي أربعة على ثلاثة في ﺱ ناقص سالب ثلاثة. وإذا نظرنا إلى الطرف الأيسر، نجد أن ﺹ يساوي أربعة على ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة. إذن، هذه هي المعادلة على صيغة الميل ونقطة.
لكن يمكننا أيضًا كتابتها بالصيغة القياسية. للقيام بذلك، نضرب المعادلة كلها في ثلاثة لنحصل على ثلاثة ﺹ يساوي أربعة في ﺱ زائد ثلاثة. بتوزيع القوسين، نحصل على ثلاثة ﺹ يساوي أربعة ﺱ زائد ١٢. وأخيرًا، يمكننا طرح أربعة ﺱ، وهو ما يعطينا ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﺱ يساوي ١٢. بذلك نكون قد أوجدنا المعادلة في صيغة الميل ونقطة، وفي الصيغة القياسية.
استعرضنا عددًا من الأمثلة المختلفة التي تتناول جميع أهدافنا. والآن، لنلق نظرة على النقاط الأساسية للدرس. تتمثل النقطة الأساسية الأولى في أن الصيغة القياسية لمعادلة الخط المستقيم هي: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ. لدينا أيضًا صيغة أخرى لمعادلة الخط المستقيم، وهي: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هو الميل. ولدينا نقطة على الخط المستقيم وهي: ﺱ واحد، ﺹ واحد. وهي تسمى صيغة الميل ونقطة. جدير بالملاحظة أنك قد تجد ذلك أيضًا على الصيغة: ﺹ ناقص ﺃ يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺏ؛ حيث تكتب النقطة على الصورة: ﺃ، ﺏ، بدلًا من ﺱ واحد، ﺹ واحد.
تناولنا أيضًا كيف يظل ميل الخط المستقيم ثابتًا، كما عرفنا أنه إذا كان الميل موجبًا، فإن المستقيم يميل لأعلى جهة اليمين. وإذا كان الميل سالبًا، فإن المستقيم يميل لأسفل جهة اليمين. وراجعنا أيضًا كيفية حساب ميل المستقيم، وهو التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، أو ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.
