نسخة الفيديو النصية
إذا كان جذرا المعادلة ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ ناقص أربعة ﻙ ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا؛ متساويين، فما قيم ﻙ الممكنة؟ أوجد جذري المعادلة لكل قيمة من قيم ﻙ.
سنبدأ بإعادة كتابة معادلتنا بحيث تكون على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. بداية، نكتب المعادلة لدينا، وهي ﺱ تربيع ناقص ﻙﺱ ناقص أربعة ﺱ ناقص أربعة ﻙ زائد أربعة يساوي صفرًا. يمكن إعادة كتابة الحدين الثاني والثالث على الصورة «موجب سالب ﻙ ناقص أربعة مضروبًا في ﺱ». ويمكننا إعادة كتابة الحدين الأخيرين على صورة أربعة ناقص أربعة ﻙ. وهذا يعطينا المعادلة: ﺱ تربيع زائد سالب ﻙ ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة ناقص أربعة ﻙ. هذه المعادلة الآن مكتوبة على الصورة العامة للمعادلة التربيعية: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ يساوي واحدًا، وهو معامل ﺱ تربيع؛ وﺏ يساوي سالب ﻙ ناقص أربعة، وهو معامل ﺱ؛ وﺟ يساوي أربعة ناقص أربعة ﻙ، وهو الثابت.
نعلم أنه إذا كان جذرا المعادلة التربيعية متساويين، فإن قيمة المميز، وهو ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، تساوي صفرًا. بالتعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ، نحصل على سالب ﻙ ناقص أربعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في أربعة ناقص أربعة ﻙ يساوي صفرًا. ويمكننا فك القوسين الأولين بضرب سالب ﻙ ناقص أربعة في سالب ﻙ ناقص أربعة. وبما أن ضرب حدين سالبين يعطينا ناتجًا موجبًا، فإن هذا يساوي ﻙ تربيع زائد أربعة ﻙ زائد أربعة ﻙ زائد ١٦.
وبتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ﻙ تربيع زائد ثمانية ﻙ زائد ١٦. سالب أربعة مضروبًا في واحد يساوي سالب أربعة. ثم يمكننا توزيع سالب أربعة على ما بداخل القوسين؛ أربعة ناقص أربعة ﻙ. وهذا يعطينا سالب ١٦ زائد ١٦ﻙ. وبذلك، تصبح المعادلة: ﻙ تربيع زائد ثمانية ﻙ زائد ١٦ ناقص ١٦ زائد ١٦ﻙ يساوي صفرًا. يلغي العددان ١٦ أحدهما الآخر؛ لأن ١٦ ناقص ١٦ يساوي صفرًا، ويتبقى لدينا ﻙ تربيع زائد ٢٤ﻙ يساوي صفرًا.
يمكننا أخذ ﻙ عاملًا مشتركًا. إذن، يصبح لدينا ﻙ مضروبًا في ﻙ زائد ٢٤ يساوي صفرًا. ولكي يساوي المقدار الموجود في الطرف الأيمن صفرًا، فإما ﻙ يساوي صفرًا، أو ﻙ زائد ٢٤ يساوي صفرًا. وبطرح ٢٤ من كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﻙ يساوي سالب ٢٤. إذن، القيمتان الممكنتان لـ ﻙ هما صفر وسالب ٢٤.
يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة الأصلية لإيجاد الجذرين. عند ﻙ يساوي صفرًا، يكون لدينا المعادلة التربيعية: ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. وبتحليل الطرف الأيمن، نحصل على ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين. إذن، الجذران هما ﺱ يساوي اثنين. وعليه، عند ﻙ يساوي صفرًا، فإن الجذرين هما ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي اثنين.
يمكننا الآن تكرار هذه العملية عند ﻙ يساوي سالب ٢٤. هذه المرة، تكون المعادلة التربيعية هي: ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ١٠٠ يساوي صفرًا. ومرة أخرى، يمكننا تحليل هذه المعادلة إلى زوجين متساويين من الأقواس، ﺱ زائد ١٠ مضروبًا في ﺱ زائد ١٠. إذن، الجذران المتساويان لهذه المعادلة التربيعية هما ﺱ يساوي سالب ١٠. وبهذا، يكون ثاني حلين ممكنين للمعادلة عند ﻙ يساوي سالب ٢٤ هما ﺱ يساوي سالب ١٠ وﺱ يساوي سالب ١٠. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي ﻙ الممكنتين والجذرين المناظرين لكل قيمة منهما.
