نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم ما هو التناسب، ونتعرف على علاقات التناسب وعدم التناسب، ونحدد التناسب في مسائل من الحياة اليومية.
دعونا نبدأ باسترجاع موضوع مرتبط ارتباطًا وثيقًا بهذا الدرس، وهو النسبة. فلنتخيل أن لدينا وصفة لسلطة فواكه، تتطلب لتحضيرها لشخصين تفاحتين وأربع برتقالات. يمكننا إذن كتابة نسبة عدد التفاحات إلى عدد البرتقالات هكذا: اثنان إلى أربعة. والآن، دعونا نتخيل أننا أردنا تحضير سلطة الفواكه لأربعة أشخاص. يمكننا إذن مضاعفة الكميتين ببساطة. إذن، سنحتاج إلى أربع تفاحات وثماني برتقالات. وفي هذه الحالة، ستكون النسبة أربعة إلى ثمانية. يمكننا القول إن النسبة هي العلاقة بين الجزأين.
بشكل عام، يمكننا القول إن التناسب علاقة بين جزء وكل. إذن، إذا أردنا معرفة نسبة عدد التفاحات من إجمالي عدد ثمرات الفاكهة كلها، فستكون في الحالة الأولى اثنين على ستة. وفي الحالة الثانية، ستكون نسبة عدد التفاحات أربعة إلى ١٢. يمكننا القول في الحالتين إن عدد التفاحات وعدد البرتقالات متناسبان. ويمكننا القول إنه إذا كان لدينا كميتان ﺃ وﺏ، فإنهما تكونان متناسبتين إذا وجدنا أنهما عند الانتقال من حالة إلى أخرى تضربان في العدد نفسه أو تقسمان عليه. في حالة سلطة الفواكه، رأينا الكميتين لشخصين، ولتحضيرها لأربعة أشخاص، ضربنا الكميتين في اثنين.
يمكننا أيضًا التعبير عن علاقة التناسب باستخدام النسب. لذا، إذا كانت لدينا كميتان ﺃ وﺏ، قيمتهما ﺃ واحد وﺏ واحد في حالة، وﺃ اثنان وﺏ اثنان في حالة أخرى، يمكننا إذن القول إن ﺃ واحد إلى ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين إلى ﺏ اثنين. في حالتنا، نسبة عدد التفاحات إلى عدد البرتقالات اثنان إلى أربعة. وهي تساوي النسبة أربعة إلى ثمانية. يمكننا قول ذلك لأن النسبة أربعة إلى ثمانية يمكن تبسيطها إلى النسبة اثنين إلى أربعة، ولأن كلتا النسبتين يمكن تبسيطهما إلى النسبة واحد إلى اثنين.
يمكننا أيضًا كتابة علاقة التناسب على الصورة ﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين. ويمكننا أيضًا التعبير عن التناسب بيانيًّا. إذا مثلنا العلاقة بين ﺃ وﺏ بيانيًّا، فسيكون هناك خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. وأخيرًا، عند التعبير عن التناسب، علينا أيضًا أن نتذكر كلمة «المعدل». المعدل هو نوع خاص من التناسب، يقارن بين كميتين لهما طبيعة مختلفة ولهما وحدات مختلفة، على سبيل المثال، سعر عنصر ما وكميته. إذن، في حالة دفعنا ٤٠ دولارًا أمريكيًّا مقابل ثمانية كتب، يمكن كتابة المعدل على صورة ٤٠ على ثمانية أو خمسة على واحد، وهو ما يعادل بالضرورة خمسة دولارات أمريكية لكل كتاب.
وعلينا أن نكون أيضًا على دراية بالمصطلح «معدل الوحدة»، وهو معدل مقامه واحد. حسنًا، دعونا الآن نلق نظرة على بعض الأمثلة عن علاقات التناسب وعدم التناسب.
يصعد مصعد أو يرتفع بمعدل ٧٥٠ قدمًا لكل دقيقة. هل يتناسب الارتفاع الذي يصعده المصعد مع عدد الدقائق التي يستغرقها في الوصول إلى هذا الارتفاع؟
دعونا نبدأ حل هذا السؤال بملاحظة أن لدينا معدلًا يبلغ ٧٥٠ قدمًا لكل دقيقة. يمكننا كتابة ذلك على صورة الكسر ٧٥٠ على واحد. حسنًا، لنلق نظرة على الارتفاع الذي يصل إليه المصعد عند قيم مختلفة لعدد الدقائق. في دقيقة واحدة، نعلم أن المصعد سيصعد ٧٥٠ قدمًا. في دقيقتين، سيكون لدينا ضعف الـ ٧٥٠ قدمًا، أي ١٥٠٠ قدم. في ثلاث دقائق، سيكون لدينا ثلاثة أمثال الـ ٧٥٠ قدمًا، أي ٢٢٥٠ قدمًا.
في هذا السؤال، المطلوب هو تحديد ما إذا كان الارتفاع يتناسب مع عدد الدقائق، لذا دعونا نراجع معنى التناسب. يمكننا القول إن الكميتين ﺃ وﺏ متناسبتان، إذا وجدنا أنهما عند الانتقال من حالة إلى أخرى تضربان في العدد نفسه أو تقسمان عليه. في الحالة الأولى، لدينا ٧٥٠ على واحد. أي ٧٥٠ قدمًا في دقيقة واحدة. وفي حالة الدقيقتين، لدينا الكسر ١٥٠٠ على اثنين. أي ١٥٠٠ قدم في دقيقتين. وفي حالة الدقائق الثلاث، لدينا ٢٢٥٠ قدمًا في ثلاث دقائق.
نلاحظ أنه يمكننا الانتقال من الكسر الأول إلى الكسر الثاني بضرب البسط والمقام في اثنين. ويمكننا الانتقال من دقيقة واحدة إلى ثلاث دقائق بضرب بسط ومقام الكسر الأول، ٧٥٠ على واحد، في ثلاثة. وعليه، يمكننا القول إن هذه الكسور متساوية. وبالتالي، لا بد أن لدينا علاقة تناسب. إذن، إجابة هذا السؤال هي نعم، الارتفاع متناسب مع عدد الدقائق.
يبيع مطعم أب تاون فطيرة البيتزا المتوسطة الحجم بسعر سبعة دولارات أمريكية، وتبلغ تكلفة التوصيل ثلاثة دولارات أمريكية لكل طلب. هل تكلفة الطلب تتناسب مع عدد فطائر البيتزا المطلوبة؟
في هذه المسألة، سنستعرض حالات مختلفة لتكلفة فطائر البيتزا والتوصيل. وسنتحقق من صحة الإجابة باستخدام تمثيل بياني. إذن، فلنبدأ بالنظر إلى تكلفة طلب أعداد مختلفة من فطائر البيتزا. حسنًا، بالنسبة إلى فطيرة بيتزا وسط واحدة، لدينا أن السعر هو سبعة دولارات وتكلفة التوصيل ثلاثة دولارات. إذن، إجمالي تكلفة الطلب ١٠ دولارات. بالنسبة إلى فطيرتين من البيتزا، سيصبح لدينا اثنان في سبعة دولارات. وبإضافة تكلفة التوصيل التي تساوي ثلاثة دولارات، سيصبح لدينا ١٧ دولارًا إجمالًا. وبالنسبة إلى ثلاث فطائر من البيتزا، سيصبح لدينا ثلاثة في سبعة دولارات، ما يساوي ٢١ دولارًا. وبإضافة تكلفة التوصيل التي تساوي ثلاثة دولارات، سيصبح لدينا ٢٤ دولارًا إجمالًا.
في هذه المسألة، المطلوب هو تحديد ما إذا كانت تكلفة الطلب تتناسب مع عدد فطائر البيتزا المطلوبة. نتذكر أنه إذا كان لدينا كميتان ﺃ وﺏ، فإنهما تكونان متناسبتين إذا وجدنا أنهما عند الانتقال من حالة إلى أخرى تضربان في العدد نفسه. يمكننا أيضًا التعبير عن ذلك بالصورة ﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين، حيث ﺃ واحد وﺏ واحد هما قيمتا الكميتين ﺃ وﺏ في حالة ما، وﺃ اثنان وﺏ اثنان هما قيمتا الكميتين ﺃ وﺏ في حالة أخرى.
إذن، في حالة فطيرة البيتزا الواحدة، يمكننا القول إن تكلفة فطيرة البيتزا الواحدة ستكون ١٠ على واحد، أي ما يكافئ ١٠ دولارات لكل فطيرة بيتزا. في الحالة الثانية، تكلفة فطيرة البيتزا الواحدة ستكون ١٧ دولارًا على اثنين، أي ثمانية دولارات ونصفًا لكل فطيرة بيتزا. في الحالة الثالثة، لدينا ٢٤ دولارًا لتكلفة الطلب مقسومة على ثلاث فطائر بيتزا، أي ثمانية دولارات لكل فطيرة بيتزا. لكي يكون لدينا علاقة تناسب، علينا التحقق مما إذا كانت الكسور ١٠ على واحد، و١٧ على اثنين، و٢٤ على ثلاثة متساوية. والإجابة هي لا، ليست متساوية. إذن، يمكننا القول إن تكلفة الطلب وعدد فطائر البيتزا غير متناسبين.
دعونا نتحقق من صحة ذلك باستخدام تمثيل بياني. يمكننا تمثيل العلاقة بين عدد فطائر البيتزا وتكلفة الطلب بيانيًّا. باستخدام القيم التي حسبناها بالفعل؛ إجمالي تكلفة طلب فطيرة بيتزا واحدة هو ١٠ دولارات، وإجمالي تكلفة طلب فطيرتين من البيتزا هو ١٧ دولارًا، وإجمالي تكلفة طلب ثلاث فطائر من البيتزا هو ٢٤ دولارًا، يمكننا تحديد هذه القيم ورسم خط مستقيم يمر بها. لدينا هنا خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل. هذا يشير إلى وجود علاقة عدم التناسب الخطية.
في الحقيقة، إذا نظرنا إلى نقطة التقاطع مع المحور ﺹ، يمكننا ملاحظة أنها تقع عند الزوج الإحداثي صفر، ثلاثة، وهي تمثل الحالة الغريبة التي لا يطلب فيها أي من فطائر البيتزا وتدفع تكلفة التوصيل البالغة ثلاثة دولارات. إذا كان لدينا تمثيل بياني لكميتين متناسبتين، فسيكون لدينا خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. وبما أن هذا التمثيل البياني ليس لدينا هنا، فهذا يؤكد الإجابة الأصلية، وهي أن تكلفة الطلب لا تتناسب مع عدد فطائر البيتزا المطلوبة.
في المثال التالي، سنتعرف أكثر على التمثيل البياني لعلاقة تناسب ونفهم الجوانب المختلفة له.
تعمل ندى جليسة أطفال. علاقة التناسب بين عدد الساعات التي تعملها وإجمالي المبلغ الذي تكسبه موضحة بالتمثيل البياني. أي العبارات الآتية ليست صحيحة؟ الخيار (أ) توضح النقطة ﻑ أن ندى ستحصل على ٦٠ دولارًا أمريكيًّا إذا عملت لمدة أربع ساعات. الخيار (ب) معدل الوحدة لعلاقة التناسب هو ١٥ دولارًا أمريكيًّا لكل ساعة. الخيار (ج) جميع النقاط الواردة بالإحداثيات ﺱ، ﺹ على هذا التمثيل البياني توضح أن ندى ستحصل على ﺹ دولار أمريكي إذا عملت لمدة ﺱ ساعة. الخيار (د) إذا عملت ندى لمدة ١٠ ساعات، فستحصل على ١٥٠ دولارًا أمريكيًّا. الخيار (هـ) إذا عملت ندى لمدة أربع ساعات، فستحصل على ١٥ دولارًا أمريكيًّا.
إذن، لدينا هنا تمثيل بياني لعلاقة تناسب بين عدد الساعات التي تعملها ندى وإجمالي المبلغ الذي تكسبه. يمكننا أن نؤكد أنها علاقة تناسب لأنها ممثلة بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل. النقطة صفر، صفر ستمثل الحالة التي تعمل فيها ندى لمدة صفر من الساعات وتحصل على صفر من المال. لذا، دعونا نلق نظرة على العبارات ونحدد ما إذا كانت صحيحة أم خطأ.
لنبدأ بالعبارة أ، توضح النقطة ﻑ أن ندى ستحصل على ٦٠ دولارًا أمريكيًّا إذا عملت لمدة أربع ساعات. إذا نظرنا إلى أربعة على المحور ﺱ، يمكننا ملاحظة أن النقطة ﻑ أيضًا لها الإحداثي ﺱ نفسه. وفي الحقيقة، الإحداثي ﺹ سيكون ٦٠، أي ٦٠ دولارًا. وبذلك، سنجد أن ندى تعمل لمدة أربع ساعات وتحصل على ٦٠ دولارًا. إذن، هذا يمثل النقطة ﻑ ويشير إلى أن العبارة أ صحيحة.
بالنظر إلى العبارة ب، نجد مصطلح معدل الوحدة. نتذكر أن معدل الوحدة هو تناسب بين كميتين مختلفتين، ومقامه واحد. في هذه الحالة، التناسب عبارة عن الدولارات، أو المبلغ المكتسب، على عدد الساعات. لإيجاد معدل الوحدة، علينا معرفة عدد الدولارات المكتسبة في الساعة الواحدة. بالاستعانة بهذا التمثيل البياني، إذا نظرنا إلى ساعة واحدة على المحور ﺱ، فسنجد النقطة واحد، ١٥، وهذا يكافئ حصول ندى على ١٥ دولارًا في ساعة واحدة. وبذلك، تكون العبارة ب صحيحة. فهي تحصل بالفعل على ١٥ دولارًا في الساعة.
لنلق نظرة الآن على العبارة ج، جميع النقاط الواردة بالإحداثيات ﺱ، ﺹ على هذا التمثيل البياني توضح أن ندى ستحصل على ﺹ دولار أمريكي إذا عملت لمدة ﺱ ساعة. حسنًا، فلننظر إلى الزوج الإحداثي صفر، صفر. إنه يمثل عمل ندى لمدة صفر من الساعات وحصولها على صفر من الدولارات. وعند النقطة واحد، ١٥، تعمل لمدة ساعة واحدة وتحصل على ١٥ دولارًا. وبالمثل، الزوج الإحداثي اثنان، ٣٠ يعني أنها تعمل لمدة ساعتين وتحصل على ٣٠ دولارًا. والزوج الإحداثي ثلاثة، ٤٥ يعني أنها تعمل لمدة ثلاث ساعات وتحصل على ٤٥ دولارًا. إذن، جميع الأزواج الإحداثية ﺱ، ﺹ توضح أنها تعمل لمدة ﺱ ساعة وتحصل على ﺹ دولار، وهو ما يكافئ العبارة ج. إذن، لا بد أنها صحيحة أيضًا.
ننظر إلى العبارة د: إذا عملت ندى لمدة ١٠ ساعات، فستحصل على ١٥٠ دولارًا. دعونا نر إذا كنا نستطيع استخدام التمثيل البياني. إذا نظرنا إلى المحور ﺱ حيث عدد الساعات يساوي ١٠، يمكننا ملاحظة أن الخط المستقيم لا يمر بهذه النقطة. ولكن يمكننا استخدام معطى آخر لإيجاد القيمة المناظرة. وهو أن ندى تحصل على ١٥ دولارًا في الساعة. يمكننا فعل ذلك بكتابة العبارة ١٥ على واحد يساوي عددًا ما على ١٠.
يمكننا كتابة ذلك لأننا نعلم أنه إذا كانت الكميتان ﺃ وﺏ متناسبتين، فإن ﺃ واحد على ﺏ واحد يساوي ﺃ اثنين على ﺏ اثنين، حيث ﺃ واحد وﺏ واحد هما قيمتا ﺃ وﺏ في حالة، وﺃ اثنان وﺏ اثنان هما قيمتا ﺃ وﺏ في حالة أخرى. حسنًا، بالرجوع إلى عمليتنا الحسابية، يمكننا ملاحظة أنه إذا ضربنا مقام الكسر ١٥ على واحد في ١٠، فسنحصل على ١٠. ويمكننا أيضًا ضرب البسط في ١٠ لنحصل على ١٥٠ على ١٠. بالتالي، سنجد أنه خلال ١٠ ساعات، تحصل ندى على ١٥٠ دولارًا. إذن، العبارة د صحيحة.
دعونا نلق نظرة على العبارة الأخيرة هـ، إذا عملت ندى لمدة أربع ساعات، فستحصل على ١٥ دولارًا. إذا نظرنا إلى أربع ساعات على المحور ﺱ، نلاحظ أن لدينا النقطة أربعة، ٦٠ على الخط المستقيم. هذا يعني أنه خلال أربع ساعات، ستحصل ندى على ٦٠ دولارًا. يمكننا أيضًا أن نتذكر أنه عندما تحصل ندى على ١٥ دولارًا، فستكون قد عملت لمدة ساعة واحدة. باستخدام أي من الطريقتين، يمكننا القول إن هذه العبارة، وهي أنه إذا عملت ندى لمدة أربع ساعات، فستحصل على ١٥ دولارًا؛ بالتأكيد غير صحيحة. إذن، الخيار هـ هو العبارة غير الصحيحة.
في السؤال التالي، سنبحث التناسب أو عدم التناسب بين شكل هندسي ما ومساحته.
هل يتناسب طول ضلع الشكل المعطى مع مساحته؟
دعونا نلق نظرة على الشكل الوارد في هذا السؤال. يمكننا ملاحظة أن هناك أربع زوايا قائمة وضلعين متجاورين لهما الطول نفسه. إذن، لدينا هنا مربع. المطلوب هو تحديد ما إذا كان طول الضلع متناسبًا مع المساحة. دعونا إذن نسترجع طريقة إيجاد مساحة المربع. مساحة المربع تساوي طول الضلع في طول الضلع، أو طول الضلع تربيع. إذن، مساحة هذا المربع تساوي ﻝ تربيع.
فلنتذكر التناسب. إذا كان لدينا كميتان ﺃ وﺏ متناسبتان، نجد أنه عند الانتقال من حالة إلى أخرى، تضرب الكميتان في العدد نفسه. نحن نعلم أنه في إحدى الحالات، مساحة المربع تساوي ﻝ تربيع. دعونا نتخيل حالة أخرى نضاعف فيها طول الضلع. في هذه الحالة، مساحة المربع الثاني، أو المربع اثنين، ستساوي اثنين ﻝ في اثنين ﻝ، ما يساوي أربعة ﻝ تربيع. نلاحظ أن مساحة المربع الأول، الذي يمكننا تسميته بالمربع واحد، كانت تساوي ﻝ تربيع. إذن، مساحة المربع اثنين تساوي أربعة في مساحة المربع واحد.
دعونا الآن نتخيل حالة أخرى نضرب فيها طول المربع في ثلاثة. في هذه الحالة، مساحة المربع ثلاثة ستساوي ثلاثة ﻝ في ثلاثة ﻝ، ما يساوي تسعة ﻝ تربيع. ولأننا نعلم أن المربع الأول يساوي ﻝ تربيع، فهذا يعني أن مساحة المربع ثلاثة تساوي تسعة في مساحة المربع واحد. إذن، إذا تعاملنا مع هذه القيم باعتبارها كسرًا للطول على المساحة، ففي الحالة الأولى يكون لدينا الطول ﻝ على ﻝ تربيع. نضاعف بعد ذلك الطول، فيصبح الكسر اثنان ﻝ على المساحة أربعة ﻝ تربيع. وفي الحالة الأخيرة، لدينا الطول ثلاثة ﻝ على المساحة تسعة ﻝ تربيع.
ستكون هاتان الكميتان متناسبتين إذا استطعنا القول إنهما تضربان في العدد نفسه. ومع ذلك، فإن الانتقال من الكسر الأول إلى الكسر الثاني سيعني أن البسط يضرب في اثنين والمقام يضرب في أربعة. ويمكننا أيضًا ملاحظة أنه للانتقال من الكسر الأول إلى الكسر الثالث ضربنا البسط في ثلاثة وضربنا المقام في تسعة، ما يعني أن الكميتين لم تضربا في العدد نفسه. إذن، إجابة السؤال عما إذا كان طول ضلع الشكل المعطى يتناسب مع مساحته، هي لا.
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو، تكون الكميتان ﺃ وﺏ متناسبتين إذا وجدنا أنهما تضربان في العدد نفسه أو تقسمان عليه. التمثيل البياني لعلاقة تناسب هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. وأخيرًا، العلاقات غير التناسبية لا تتضمن كميتين مضروبتين في العدد نفسه. وقد تتضمن علاقة خطية تمثل بيانيًّا بخط مستقيم، لكن هذا الخط المستقيم لا يمر بنقطة الأصل.
