فيديو: حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية، مع أمثلة توضيحية.

٠٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن حلّ المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية.

في الفيديو ده هنعرف إزاي نستخدم المتطابقات المثلثية في حلّ المعادلات المثلثية. هنشوف مثال نوضّح بيه إزاي نحلّ المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية.

في المثال اللي عندنا عايزين نوجد حلول المعادلة: اتنين جتا تربيع س، ناقص جا س، ناقص واحد تساوي صفر. على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋.

هنكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. هنلاحظ في المعادلة اللي عندنا موجود دالتين مثلثيتين. الدالة الأولى هي دالة الـ جتا، والدالة التانية هي دالة الـ جا. فعلشان نحلّ المعادلة اللي عندنا، هنحتاج نعيد كتابة المعادلة مرة تانية؛ بحيث إنها تحتوي على دالة مثلثية واحدة بس.

فبالنسبة للمعادلة اللي عندنا هنلاقي جتا تربيع س. واللي من خلال متطابقات فيثاغورس هنلاقي: جتا تربيع س بتساوي واحد ناقص جا تربيع س. فلمّا هنشيل جتا تربيع س من المعادلة الأصلية، ونعوّض مكانها بواحد ناقص جا تربيع س. هتبقى المعادلة هي: اتنين في؛ واحد ناقص جا تربيع س، ناقص جا س، ناقص واحد يساوي صفر.

وبكده هيبقى عندنا في المعادلة دالة مثلثية واحدة بس هي دالة الجيب. فلمّا هنضرب اتنين في القوس واحد ناقص جا تربيع س. هتبقى المعادلة هي: اتنين ناقص، اتنين جا تربيع س، ناقص جا س، ناقص واحد تساوي صفر. لمّا هنبسّطها هتبقى عبارة عن: سالب اتنين جا تربيع س، ناقص جا س، زائد واحد يساوي صفر.

بعد كده هنحلّل. فلمّا هنحلّل هنلاقي: سالب واحد في، اتنين جا س ناقص واحد، في جا س زائد واحد يساوي صفر. ومن خاصية الضرب الصفري هيبقى يا إمّا اتنين جا س ناقص واحد يساوي صفر، أو جا س زائد واحد يساوي صفر. يعني يا إمّا جا س تساوي نُصّ، أو جا س تساوي سالب واحد. وإحنا عايزين حلول المعادلة على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋.

فهنلاقي جا س تساوي نُصّ عند س تساوي 𝜋 عَ الستة، أو خمسة 𝜋 عَ الستة. وَ جا س تساوي سالب واحد عند س تساوي تلاتة 𝜋 عَ الاتنين. بكده هتبقى حلول المعادلة اتنين جتا تربيع س، ناقص جا س، ناقص واحد تساوي صفر. على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋. هي: 𝜋 عَ الستة، وَخمسة 𝜋 عَ الستة، وتلاتة 𝜋 على اتنين.

في المثال ده هنلاقي إن إحنا كتبنا المعادلة اللي عندنا مرة كمان؛ بحيث تحتوي على دالة مثلثية واحدة بس. واستخدمنا المتطابقات المثلثية مباشرةً. لكن ساعات علشان يبقى عندنا معادلة فيها دالة مثلثية واحدة بس، بنحتاج إن إحنا نربّع الطرفين بتوع المعادلة. لكن الطريقة دي ممكن ينتج عنها حلول مرفوضة. هنشوف مثال نوضّح بيه أكتر.

في المثال اللي عندنا عايزين نوجد حلول المعادلة: قتا س، ناقص ظتا س تساوي واحد. على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋.

هنكتب المعادلة اللي عندنا مرة كمان. والمعادلة هي قتا س، ناقص ظتا س تساوي واحد. بعد كده هنخلّي قتا س لوحدها في طرف من الطرفين بتوع المعادلة. فهنضيف لطرفَي المعادلة ظتا س، فهتبقى المعادلة عبارة عن: قتا س تساوي واحد زائد ظتا س.

بعد كده هنربّع الطرفين بتوع المعادلة. فلمّا هنربّع الطرفين هيبقى قتا س الكل تربيع يساوي واحد زائد ظتا س الكل تربيع. بعد كده هنضرب، فهيبقى قتا تربيع س تساوي واحد زائد، اتنين ظتا س، زائد ظتا تربيع س. وبكده بقى عندنا في المعادلة قتا تربيع س. وبالتالي نقدر نستخدم المتطابقات المثلثية. وده لأن من متطابقات فيثاغورس: قتا تربيع س تساوي واحد زائد ظتا تربيع س.

فلمّا هنعوّض مكان قتا تربيع س بواحد زائد ظتا تربيع س في المعادلة. هيبقى عندنا واحد زائد ظتا تربيع س يساوي واحد زائد، اتنين ظتا س، زائد ظتا تربيع س.

نقدر نطرح من طرفَي المعادلة المقدار واحد زائد ظتا تربيع س. فلمّا هنطرح هيبقى عندنا: صفر بيساوي اتنين ظتا س. فهنقسم طرفَي المعادلة على اتنين، فهنلاقي ظتا س تساوي صفر. ولمّا هنحلّ المعادلة اللي عندنا على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋. فهنلاقي ظتا س تساوي صفر عند س تساوي 𝜋 على اتنين، أو تلاتة 𝜋 على اتنين.

بعد كده هنتأكّد من الحلّين اللي عندنا. فهنعوّض بكل حلّ منهم في المعادلة الأصلية، ونشوف هل الطرفين بتوع المعادلة متساويين ولّا لأ. هنبدأ بلمّا س تساوي 𝜋 على اتنين. المعادلة الأصلية هي: قتا س، ناقص ظتا س تساوي واحد. فهنعوّض مكان س في المعادلة الأصلية بـ 𝜋 على اتنين. فهيبقى الطرف الأيمن عبارة عن قتا 𝜋 على اتنين، ناقص ظتا 𝜋 عَ الاتنين. أمّا الطرف الأيسر فهو واحد.

فلمّا هنبسّط هنلاقي الطرف الأيمن عبارة عن واحد ناقص صفر، أمّا الطرف الأيسر فهو واحد. يعني الطرف الأيمن هيساوي واحد، والطرف الأيسر بيساوي واحد. يعني الطرفين متساويين، يعني هيبقى س تساوي 𝜋 عَ الاتنين أحد حلول المعادلة.

بعد كده هنتأكّد مِ الحل لمّا س تساوي تلاتة 𝜋 على اتنين. فهنعوّض مكان س في المعادلة الأصلية بتلاتة 𝜋 على اتنين. فهيبقى الطرف الأيمن عبارة عن قتا تلاتة 𝜋 على اتنين، ناقص ظتا تلاتة 𝜋 على اتنين، والطرف الأيسر هو واحد.

فلمّا هنبسّط هنلاقي الطرف الأيمن عبارة عن سالب واحد ناقص صفر، أمّا الطرف الأيسر فهو بيساوي واحد. معنى كده إن الطرف الأيمن لا يساوي الطرف الأيسر. معنى كده إن س تساوي تلاتة 𝜋 عَ الاتنين مش من حلول المعادلة. بكده هيبقى حلّ المعادلة قتا س، ناقص ظتا س تساوي واحد. على الفترة من صفر لاتنين 𝜋؛ المغلقة عند صفر، والمفتوحة عند اتنين 𝜋. هو: 𝜋 على اتنين.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزاي نحلّ المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية. وعرفنا إن إحنا بنعيد كتابة المعادلة اللي عندنا مرة كمان؛ بحيث إنها تحتوي على دالة مثلثية واحدة بس. وعرفنا كمان إن ساعات علشان يبقى عندنا معادلة فيها دالة مثلثية واحدة، بنحتاج إن إحنا نربّع الطرفين بتوع المعادلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.