نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل معادلات الدوال المثلثية التي تتضمن القاطع وقاطع التمام وظل التمام على فترات مختلفة. لمعادلات مقلوب الدوال المثلثية عدة تطبيقات حياتية في مجالات مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وصناعة الروبوتات والملاحة. في الفيزياء، يمكن استخدامها في حركة المقذوفات وعند تحليل التيارات وإيجاد مسار كتلة تتحرك حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.
هيا نبدأ بتذكر الدوال المثلثية التي سنتناول مقلوبها في هذا الفيديو. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية المرسوم، نعرف أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظل الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. هذا يقودنا أيضًا إلى المتطابقة المثلثية ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. نلاحظ أن هذه النسب معرفة للزوايا الحادة التي يقع قياسها بين صفر درجة و٩٠ درجة.
لتعريف هذه الدوال لجميع قيم 𝜃، علينا تناول دائرة الوحدة. افترض أن نقطة تتحرك على طول دائرة الوحدة في اتجاه دوران عقارب الساعة. لأي نقطة إحداثياها ﺱ وﺹ على دائرة الوحدة وزاويتها 𝜃، نعلم أن ﺱ يساوي جتا 𝜃 وﺹ يساوي جا 𝜃. ونعلم أن هذه الدوال المثلثية دورية حيث جا ٣٦٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جا 𝜃. وبالمثل، جتا ٣٦٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃. توضح دورية دالة الظل أن ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي ظا 𝜃.
كما نعلم من تماثل منحنيات دالتي الجيب وجيب التمام أن جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃 وجتا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. يمكننا ملاحظة ذلك على مخطط الإشارات للدوال المثلثية كما هو موضح. يساعدنا مخطط الإشارات للدوال المثلثية هذا في تذكر إشارات الدوال المثلثية لكل ربع. في الربع الأول، تكون قيم جميع الدوال موجبة. في الربع الثاني، تكون قيم دالة الجيب موجبة، بينما تكون قيم دالتي جيب التمام والظل سالبتين. في الربع الثالث، تكون قيم دالة الظل فقط موجبة. وأخيرًا، في الربع الرابع، تكون قيم دالة جيب التمام موجبة، بينما تكون قيم دالتي الجيب والظل سالبتين.
لنتناول الآن علاقة ذلك بمقلوب الدوال المثلثية. قتا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جا الزاوية 𝜃. إنه مقلوب دالة الجيب. قا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جتا الزاوية 𝜃. وأخيرًا، ظتا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على ظا الزاوية 𝜃. هذه الدالة الأخيرة، بالإضافة إلى حقيقة أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، تقودنا إلى حقيقة أن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. سنستخدم الآن دوال المقلوب هذه مع مخطط الإشارات للدوال المثلثية لحل معادلات الدوال المثلثية في فترات معطاة.
أوجد مجموعة القيم التي تحقق جذر ثلاثة ظتا 𝜃 يساوي واحدًا إذا كانت 𝜃 أكبر من صفر وأقل من ٣٦٠ درجة.
يمكننا حل هذه المسألة باستخدام معرفتنا بمقلوب الدوال المثلثية. نتذكر أن ظتا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة المعطاة بقسمة كلا الطرفين على جذر ثلاثة أولًا. إذن، ظتا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. بما أن ظا 𝜃 هو مقلوب ذلك، فإن ظا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة. يمكننا إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي باستخدام معرفتنا بالزوايا الخاصة. نحن نعلم أن ظا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة. هذا يعني أن أحد حلول المعادلة ظا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة هو 𝜃 تساوي ٦٠ درجة. المطلوب منا هو إيجاد جميع الحلول بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. يمكننا فعل ذلك برسم مخطط الإشارات للدوال المثلثية.
بما أن قيمة ظا الزاوية 𝜃 موجبة، فسيكون هناك حلان في الربعين الأول والثالث. وجدنا بالفعل أن الحل في الربع الأول يساوي ٦٠ درجة. باستخدام دورية دالة الظل، نعلم أن ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي ظا 𝜃. بذلك يمكن حساب الحل الثاني بإضافة ٦٠ درجة إلى ١٨٠ درجة. هذا يساوي ٢٤٠ درجة. أي حلول أخرى تنتج عن جمع أو طرح مضاعفات ١٨٠ درجة ستكون خارج الفترة المطلوبة. إذن مجموعة الحل هي ٦٠ درجة و٢٤٠ درجة.
في المثال التالي، سنتناول مسألة حيث الفترة معطاة بالراديان.
أوجد قيمة 𝜃 التي تحقق قتا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا، حيث 𝜃 تنتمي إلى الفترة المفتوحة من صفر إلى 𝜋 على اثنين.
نبدأ بتذكر أن قتا الزاوية 𝜃 هو مقلوب جا 𝜃. ولحل المعادلة المعطاة، نبدأ بإضافة جذر اثنين إلى كلا الطرفين. هذا يعني أن قتا 𝜃 يساوي جذر اثنين. إذن، جا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين. باستخدام معرفتنا بالزوايا الخاصة، نعرف أن جا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين أو جذر اثنين على اثنين.
من المهم أن نلاحظ هنا أن هذه الفترة معطاة بالراديان. نعلم أن القياس 𝜋 راديان يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن الحلول بين صفر درجة و٩٠ درجة هي التي تهمنا فقط. يمكننا إذن استنتاج أن قيمة 𝜃، التي تحقق قتا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا وتقع بين صفر درجة و٩٠ درجة، هي ٤٥ درجة.
في المثال التالي، سنحل معادلة مثلثية عن طريق تغيير الفترة التي توجد فيها الحلول.
أوجد مجموعة الحل للزاوية 𝜃 التي تحقق جذر ثلاثة مضروبًا في قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص اثنين يساوي صفرًا، حيث 𝜃 تقع ضمن الفترة المغلقة من صفر درجة إلى ١٨٠ درجة.
في هذا السؤال، نبدأ بالنظر إلى مقلوب الدوال المثلثية. نعلم أن قتا أي زاوية 𝛼 يساوي واحدًا على جا الزاوية 𝛼. قبل استخدام هذه المتطابقة، سنجعل 𝛼 يساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. هذا يتيح لنا حل المعادلة الأبسط جذر ثلاثة قتا 𝛼 ناقص اثنين يساوي صفرًا. بإضافة اثنين إلى كلا طرفي هذه المعادلة ثم القسمة على جذر ثلاثة، نحصل على قتا 𝛼 يساوي اثنين على جذر ثلاثة. باستخدام متطابقة المقلوب، لدينا جا 𝛼 يساوي واحدًا على اثنين على جذر ثلاثة، وهو ما يساوي جذر ثلاثة على اثنين.
بناء على معرفتنا بالزوايا الخاصة، نعرف أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن حل المعادلة جا 𝛼 يساوي جذر ثلاثة على اثنين هو 𝛼 يساوي ٦٠ درجة. نحن نبحث عن حلول لـ 𝜃 تقع بين صفر و١٨٠ درجة متضمنة كلتيهما. لكتابة هذه الفترة بدلالة 𝛼، سنطرح ٩٠ درجة من المتباينة حيث 𝛼 أكبر من أو يساوي سالب ٩٠ درجة وأقل من أو يساوي ٩٠ درجة. باستخدام مخطط الإشارات للدوال المثلثية، يمكننا أن نلاحظ أننا نبحث فقط عن حلين في الربعين الأول أو الرابع. بما أن قيمة جيب الزاوية 𝛼 موجبة، فسيكون هناك حل واحد فقط في الربع الأول. هذا هو الحل الذي توصلنا إليه بالفعل: 𝛼 يساوي ٦٠ درجة.
بما أن 𝛼 يساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃، فإن 𝜃 لا بد أن تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝛼. بالتعويض بقيمة 𝛼، نحصل على 𝜃 تساوي ٩٠ درجة ناقص ٦٠ درجة، وهو ما يعطينا ٣٠ درجة. إذن، مجموعة الحل التي تحقق المعادلة جذر ثلاثة مضروبًا في قتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص اثنين يساوي صفرًا هي ٣٠ درجة.
في المثال الأخير، سنتناول معادلة لدوال مثلثية أكثر تعقيدًا.
أوجد مجموعة القيم التي تحقق اثنان جا 𝜃 قتا 𝜃 زائد قا 𝜃 ظتا 𝜃 يساوي صفرًا، إذا كانت 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من أو تساوي ٣٦٠ درجة.
سنبدأ حل هذا السؤال بتذكر تعريف دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام. قا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على قتا الزاوية 𝜃. قتا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. قا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. نتذكر أيضًا أنه بما أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، فإن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. بالتعويض بهذه المتطابقات في المعادلة، يصبح لدينا اثنان جا 𝜃 مضروبًا في واحد على جا 𝜃 زائد واحد على جتا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي صفرًا. يمكن تبسيط الحد الأول في الطرف الأيمن إلى اثنين، ويمكن تبسيط الحد الثاني إلى واحد على جا 𝜃.
بطرح اثنين من كلا الطرفين، نحصل على واحد على جا 𝜃 يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن قتا 𝜃 يساوي سالب اثنين، وهذا يوضح لنا بدوره أن جا الزاوية 𝜃 يساوي سالب نصف. يمكننا حل هذه المعادلة أولًا برسم مخطط الإشارات للدوال المثلثية. بما أن قيمة جا الزاوية 𝜃 سالبة، فسيوجد حلان في الربعين الثالث والرابع.
بناء على معرفتنا بالزوايا الخاصة، نعرف أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. يمكننا بعد ذلك الاستفادة من معرفتنا بتماثل دالة الجيب لحساب الحلين في الربعين الثالث والرابع. في الربع الثالث، لدينا 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة زائد ٣٠ درجة. هذا يساوي ٢١٠ درجات. في الربع الرابع، لدينا 𝜃 تساوي ٣٦٠ درجة ناقص ٣٠ درجة. هذا يساوي ٣٣٠ درجة. إذن، مجموعة القيم التي تحقق اثنان جا 𝜃 قتا 𝜃 زائد قا 𝜃 ظتا 𝜃 يساوي صفرًا، حيث 𝜃 تقع بين صفر و٣٦٠ درجة، متضمنة كلتيهما، هي ٢١٠ و٣٣٠ درجة.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. لكي نحل معادلات مقلوب الدوال المثلثية، نستخدم تعريف دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام. قاطع تمام الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. قاطع الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على جتا الزاوية 𝜃. وظتا الزاوية 𝜃 يساوي واحدًا على ظا الزاوية 𝜃. هذا يساوي أيضًا جتا الزاوية 𝜃 على جا الزاوية 𝜃.
بعد الحل بإيجاد القيمة الأساسية، باستخدام معرفتنا بالزوايا الخاصة أو الدوال المثلثية العكسية، يمكننا إيجاد جميع الحلول في فترة معطاة باستخدام مخطط الإشارات للدوال المثلثية ودورية الدوال المثلثية. وباستخدام حقيقة أن الدوال المثلثية دورية، يمكننا تطوير ذلك أكثر لإيجاد حل عام لمعادلات الدوال المثلثية. لكن ذلك خارج نطاق هذا الفيديو.
