نسخة الفيديو النصية
ما السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، حيث ﺃ وﺏ حقيقيان، ويقعان في الربع الثاني من شكل أرجاند؟
دعونا نبدأ بتصور هذا العدد المركب على مستوى أرجاند. افترض أن كلًّا من ﺃ وﺏ عددان حقيقيان موجبان. تذكر أن ﺃ هو الجزء الحقيقي للعدد المركب، وﺏ هو الجزء التخيلي. إذن، النقطة ﻉ الممثلة على مستوى أرجاند ستكون إحداثياتها ﺃ، ﺏ.
سعة ﻉ، ولنسمها 𝜃، هي الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية كما هو موضح. الآن، يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية وإضافة بعض الأبعاد. الزاوية المحصورة هي 𝜃، ثم طول الضلع المقابل لها يساوي ﺏ من الوحدات، بينما طول الضلع المجاور لهذه الزاوية يساوي ﺃ من الوحدات. بما أن ظل الزاوية يساوي النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاور، فيمكننا القول إن ظا 𝜃 هنا يساوي ﺏ على ﺃ. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 بأخذ الدالة العكسية للظل أو الدالة العكسية لـ ظا لكلا الطرفين. ومن ثم، 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ.
إذن، كيف يمكننا توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل نقطة تقع في الربع الثاني؟ ستكون هذه هي النقطة التي يكون عندها ﺃ أصغر من صفر وﺏ أكبر من صفر. والآن، بما أن مقداري ﺃ وﺏ يظلان كما هما دون تغيير، فإن هذا العدد المركب الجديد يتحقق بانعكاس العدد المركب الأصلي حول المحور التخيلي. وبما أن الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة الجديدة مع الجزء السالب من محور الأعداد الحقيقية تساوي الزاوية التي يصنعها العدد المركب الأصلي مع الجزء الموجب من محور الأعداد الحقيقية، فيمكننا القول إن السعة تساوي 𝜋 ناقص الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على مقدار ﺃ.
لقد اخترنا مقدار ﺃ؛ لأننا نعلم أن قيمته سالبة. ونريد أن يتطابق هذا مع القيمة السابقة لـ 𝜃، لكن في الواقع يمكننا إعادة كتابة ذلك لاحقًا. نعرف أن قيمة ﺃ سالبة، وعليه ﺏ مقسومًا على ﺃ سيساوي قيمة سالبة. ونعرف أن ظا والدالة العكسية لـ ظا دالتان فرديتان. إذن، الدالة العكسية للظل أو الدالة العكسية لـ ظا سالب ﺱ تساوي سالب الدالة العكسية لـ ظا ﺱ.
إذن، عندما تكون قيمة ﺃ سالبة، أي عندما يقع العدد المركب في الربع الثاني، فإن سعة ﻉ تساوي 𝜋 ناقص سالب الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ أو 𝜋 زائد الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ. ومع أن رسم العدد المركب على مخطط أرجاند يعتبر منطقيًّا عمومًا، فإنه يمكننا استخدام قيمتي ﺏ وﺃ مباشرة من الصورة الجبرية.
