نسخة الفيديو النصية
أوجد الفترات التي يكون فيها منحى الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ محدبًا لأسفل، والفترات التي يكون فيها محدبًا لأعلى.
يعطينا السؤال دالة ﺩﺱ، وهي دالة تكعيبية كثيرة الحدود. ومطلوب منا إيجاد الفترات التي يكون فيها منحنى هذه الدالة محدبًا لأسفل والفترات التي يكون فيها محدبًا لأعلى. لنبدأ بتذكر ما يعنيه أن تكون الدالة محدبة لأسفل أو محدبة لأعلى على فترة ما.
بالنسبة إلى دالة ﺩ قابلة للاشتقاق مرتين، نقول إن ﺩ محدبة لأسفل على فترة ما ﻑ إذا كانت مشتقتها الثانية موجبة في تلك الفترة بكاملها. وإذا كانت قيمة المشتقة الثانية سالبة في الفترة ﻑ هذه، يمكننا إذن القول إن الدالة ﺩ محدبة لأعلى في تلك الفترة.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩﺱ، وهي كثيرة الحدود، مما يعني أن المشتقتين الأولى والثانية لها ستكونان كثيرتي الحدود. وبما أن كثيرات الحدود تكون معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ، فإن ﺩ وﺩ شرطة وﺩ شرطتين ﺱ ستكون جميعها معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. إذن لإيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة لأسفل والفترات التي تكون فيها محدبة لأعلى، كل ما علينا فعله هو إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطتين ﺱ.
لإيجاد ﺩ شرطتين ﺱ، علينا اشتقاق ﺩﺱ مرتين. بما أن ﺩﺱ دالة كثيرة الحدود، فسنشتقها حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نريد أن نضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص سبعة.
لإيجاد ﺩ شرطتين ﺱ، علينا اشتقاق ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، هذه دالة كثيرة الحدود أيضًا، لذا سنشتقها حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذه المرة، لدينا ﺩ شرطتان ﺱ يساوي ستة ﺱ ناقص ستة.
تذكر أنه لإيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة لأسفل والفترات التي تكون فيها محدبة لأعلى، علينا التحقق من موضع تغير الدالة ﺩ شرطتين ﺱ من موجب إلى سالب. في هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩ شرطتين ﺱ دالة خطية. لذا يمكننا ببساطة رسم هذا. الدالة ﺩ شرطتان ﺱ هي دالة خطية، مقدار ميلها يساوي ستة، والجزء المقطوع من المحور ﺹ مقداره يساوي سالب ستة. يمكننا إذن رسم التمثيل البياني التالي للمستقيم ﺹ يساوي ﺩ شرطتين ﺱ.
دعونا الآن نستخدم هذا الشكل لتحديد الموضع الذي تكون فيه الدالة ﺩﺱ محدبة لأسفل. ستكون الدالة محدبة لأسفل عندما تكون ﺩ شرطتين ﺱ أكبر من صفر. من هذا الرسم التوضيحي، نلاحظ أن الخط ﺹ يساوي ﺩ شرطتين ﺱ يكون أعلى المحور ﺱ حينما يكون ﺱ أكبر من الجزء المقطوع من المحور ﺱ. ونجد الأمر مماثلًا إذا حاولنا تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ محدبة لأعلى. نريد أن تكون قيمة ﺩ شرطتين ﺱ سالبة. ويمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩ شرطتين ﺱ تقع أسفل المحور ﺱ عندما يكون ﺱ أقل من الجزء المقطوع من المحور ﺱ.
إذن، علينا إيجاد قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺱ. والجزء المقطوع من المحور ﺱ للخط سيتحقق عند ستة ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. ويمكننا حل هذا لإيجاد قيمة ﺱ. نضيف ستة إلى كلا طرفي المعادلة ثم نقسم الطرفين على ستة. فنحصل على ﺱ يساوي واحدًا. إذن يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل. قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺱ تساوي واحدًا.
إذن، ما الذي أثبتناه؟ أثبتنا أنه إذا كان ﺱ أكبر من واحد، فإن قيمة المشتقة الثانية لـ ﺱ تكون موجبة. وإذا كان ﺱ أصغر من واحد، فإن قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩ ستكون سالبة. لكن تذكر أن كون قيمة المشتقة الثانية سالبة يماثل قولنا إن الدالة محدبة لأعلى. وكون قيمة المشتقة الثانية موجبة هو نفسه أن تكون الدالة محدبة لأسفل. إذن، في الواقع، أثبتنا أنه إذا كان ﺱ أصغر من واحد، فإن الدالة تكون محدبة لأعلى. وإذا كان ﺱ أكبر من واحد، تكون الدالة محدبة لأسفل.
ويمكننا أن نترك إجابتنا على هذا النحو. ولكننا سنكتبها باستخدام رموز الفترة. الدالة ﺩﺱ معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. لذا، القول إن ﺱ أصغر من واحد يعني أن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى واحد. ويمكننا أن نقول شيئًا مماثلًا في حالة أن ﺱ أكبر من واحد. إذ إن هذا يماثل القول إن ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى ∞.
وبذلك، نكون قد أثبتنا أن منحنى الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ يكون محدبًا لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى واحد. ويكون محدبًا لأسفل في الفترة المفتوحة من واحد إلى ∞.
