فيديو الدرس: الانعكاس في المستوى الإحداثي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد صور النقاط والمستقيمات والأشكال بعد انعكاسها حول المحور ﺱ أو ﺹ في المستوى الإحداثي. عندما نعكس شكلًا حول مستقيم، فإننا نقلبه. وهناك عدة طرق لفعل ذلك. يمكننا عكس الشكل حول المحور ﺱ. أي هذا الخط. ويمكننا عكسه حول المحور ﺹ. أي هذا الخط. أو قد نعكسه حول خط رأسي مختلف. وهذه الخطوط تكون على الصورة ﺱ يساوي ﺃ؛ حيث ﺃ ثابت.

الخط الرأسي ﺱ يساوي سالب واحد، مثلًا، هو هذا الخط. فهو يقطع المحور ﺱ عند سالب واحد. ويمكننا استخدام خط أفقي آخر وهو ﺹ يساوي ﺏ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي ثابت. على سبيل المثال، الخط ﺹ يساوي اثنين يقطع المحور ﺹ عند اثنين كما هو موضح. وأخيرًا، قد يكون الانعكاس حول خط مائل؛ مثل ﺹ يساوي ﺱ. تذكر أن جميع إحداثيات ﺱ وﺹ على هذا الخط متساوية، أو أن ﺹ يساوي سالب ﺱ كما هو موضح.

يعرف الخط الذي نعكس الشكل حوله باسم «خط الانعكاس». وانعكاس الشكل هو صورته. ونستخدم علامة الشرطة لنرمز بها إلى صورة الجسم. على سبيل المثال، انعكاس النقطة ﺃ سيكون ﺃ شرطة. وصورة، أي انعكاس، الشكل ﺃﺏﺟ ستكون ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة. وأخيرًا، من المهم أن ندرك أن الجسم وصورته لهما نفس القياس، وأنهما سيكونان على المسافة نفسها من خط الانعكاس على جانبين معاكسين. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

أي زوج من المثلثات يمثل انعكاسًا حول المحور ﺱ؟

المحور ﺱ هو هذا الخط الأفقي. ويمكننا أن نسميه الخط الذي معادلته ﺹ يساوي صفرًا. والآن نحن نبحث عن المثلثين اللذين يمثلان انعكاسًا حول هذا الخط. عندما نعكس شكلًا؛ فهذا يعني أننا نقلبه. سيكون المثلثان متماثلين في القياس، وسيكونان على مسافة متساوية من المحور ﺱ لكن على جانبين معاكسين. حسنًا، دعونا نلق نظرة على بعض هذه الأزواج.

سنبدأ بإلقاء نظرة على الشكلين (أ) و(ب). بالنسبة إلى الشكلين (أ) و(ب)، يبعد هذا الرأس الأول بمقدار وحدتين عن خط الانعكاس. في كلا الشكلين، يبعد هذا الرأس الثاني بمقدار خمس وحدات عن خط الانعكاس، على جانبين معاكسين. والرأسان الثالثان يبعد كلاهما ثلاث وحدات عن خط الانعكاس، على جانبين معاكسين. نلاحظ هنا أن كل نقطة تبعد المسافة نفسها عن المحور ﺱ على جانبين معاكسين. والشكل مقلوب، لكنه رغم ذلك لم يتغير. هذا بالفعل انعكاس حول المحور ﺱ. وهذا يدل جيدًا على أن زوج المثلثات الذي يمثل الانعكاس المطلوب هو (أ) و(ب). لكن دعونا نتحقق ونر ما حدث في الزوجين الآخرين.

لنلق نظرة على الشكلين (أ) و(ج). مرة أخرى، عند مقارنة رءوس الأشكال المتناظرة، نلاحظ أنها على مسافة متساوية من المحور ﺹ على جانبين معاكسين. والشكل معكوس حول المحور ﺹ لكن دون تغيير. في هذه الحالة، يمثل الشكلان (أ) و(ج) انعكاسًا حول المحور ﺹ.

والآن، ماذا عن الشكلين (ب) و(ج)؟ حسنًا، توجد طريقتان لوصف هذا. سنضيف خطًّا مائلًا معادلته ﺹ يساوي سالب ﺱ. وسنقارن بين رءوس الشكلين (ب) و(ج). هذه المرة، الرءوس تقع على مسافة متساوية من المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ، ولكن على جانبين معاكسين. غير أن الشكلين (ب) و(ج)، بصرف النظر عن انعكاسهما، يظلان متساويين في الشكل والقياس. إذن، يمكننا القول إن الشكلين (ب) و(ج) يمثلان انعكاسًا حول المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ.

إذا نظرنا جيدًا، فيمكننا القول إن الشكل قد جرى تدويره بمقدار ١٨٠ درجة حول نقطة الأصل. هذه هي النقطة صفر، صفر. لكن في هذه الحالة، المثلثان اللذان نبحث عنهما هما (أ) و(ب).

في المثال التالي، سنتناول كيفية عكس أحد الأشكال حول المحور ﺹ.

أوجد صورة ﺃﺏﺟﺩ بعد الانعكاس حول المحور ﺹ.

سنبدأ بتحديد موقع خط الانعكاس. مطلوب منا أن نعكس الشكل حول المحور ﺹ. وهو هذا الخط الرأسي هنا. يمكننا القول إن هذا الخط له المعادلة ﺱ يساوي صفرًا. إن صور ﺃﺏﺟﺩ هي رءوس المستطيل بعد انعكاسه. وسنستخدم رمز الشرطة؛ ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة. حسنًا، عندما نعكس ﺃﺏﺟﺩ حول الخط ﺱ يساوي صفرًا أو المحور ﺹ، نعلم أنه سيصبح مقلوبًا. لكن ينبغي أن يظل بنفس القياس والمسافة من خط الانعكاس ولكن على جانبين معاكسين.

الطريقة المعقولة لإجراء عملية الانعكاس هي القيام بذلك مع كل رأس على حدة. لنبدأ بالرأس ﺟ. سنقيس المسافة بين الرأس ﺟ والمحور ﺹ. وهذه بالطبع هي المسافة العمودية. ومقدارها وحدة، وحدتان. هذا يعني أن الرأس ﺟ شرطة لا بد أن يكون على بعد وحدتين من المحور ﺹ في الجانب المعاكس. وله الإحداثيات الكارتيزية سالب اثنين، واحد.

سنكرر هذه العملية مع الرأس ﺩ. مرة أخرى، يبعد هذا الرأس مسافة وحدتين عن المحور ﺹ. وبذلك، سيكون الرأس ﺩ شرطة أيضًا على بعد وحدتين من المحور ﺹ في الجانب المعاكس. وله الإحداثيات الكارتيزية سالب اثنين، ستة. سننتقل الآن إلى الرأس ﺃ. هذه المرة لدينا واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس، ست، سبع، ثماني وحدات من خط الانعكاس. إذن، الرأس ﺃ شرطة يقع على بعد ثماني وحدات من خط الانعكاس في الجانب المعاكس. إذن، فهو يقع عند النقطة سالب ثمانية، ستة.

والآن، لاحظ أنه بما أن قياس الشكل ما يزال دون تغيير، فقد كان من الممكن ببساطة قياس المسافة بين ﺃ وﺩ ثم تكرار ذلك على الجانب الآخر. هيا نر كيف سيبدو ذلك في حالة الضلع ﺟﺏ. طول هذا الضلع يساوي واحدة، اثنتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ست وحدات. وبالتالي، يجب أن تكون المسافة بين الرأسين ﺏ شرطة وﺟ شرطة ست وحدات أيضًا.

وبهذا، يصبح لدينا صورة ﺃﺏﺟﺩ. إحداثيات ﺃ شرطة هي سالب ثمانية، ستة. تذكر أننا نتحرك أفقيًّا مثلما نسير في ممر، ورأسيًّا مثلما نصعد الدرج. ‏ﺏ شرطة يساوي سالب ثمانية، واحد. ‏ﺟ شرطة يساوي سالب اثنين، واحد. وﺩ شرطة يساوي سالب اثنين، ستة.

في الواقع، يمكننا تعميم أمر ما من هذه المسألة. لنلق نظرة على الإحداثيات الأصلية. إنها ثمانية، ستة وثمانية، واحد واثنان، واحد واثنان، ستة، على الترتيب. لاحظ أن قيم الإحداثي ﺹ في كل حالة تظل كما هي دون تغيير. وأن قيم الإحداثي ﺱ متساوية تقريبًا، لكن نلاحظ أنها سالبة. في الحقيقة، يمكننا القول إن انعكاس النقطة ﺱ‏، ﺹ حول المحور ﺹ هو النقطة سالب ﺱ‏، ﺹ.

وبالمثل، عندما نعكس نقطة حول المحور ﺱ، تظل قيم الإحداثي ﺱ كما هي، ونحصل على القيم السالبة للإحداثي ﺹ. إذن، انعكاس ﺱ‏، ﺹ حول المحور ﺱ هو ﺱ، سالب ﺹ.

في المثال التالي، سنتناول كيف نعكس أحد الأشكال حول مستقيم رأسي على الصورة ﺱ يساوي ﺃ، للقيم الحقيقية للثابت ﺃ.

اعكس المعين ﺃﺏﺟﺩ حول المستقيم ﺱ يساوي اثنين.

هيا نبدأ بتحديد خط الانعكاس. نحن نعرف أن المستقيمات التي معادلتها على الصورة ﺱ يساوي ﺃ هي مستقيمات رأسية؛ فهي تمر بالنقطة ﺃ، صفر. بعبارة أخرى، تقطع المحور ﺱ عند ﺃ. والآن، المستقيم ﺱ يساوي اثنين يجب أن يكون مستقيمًا رأسيًّا أيضًا، لكنه يجب أن يقطع المحور ﺱ عند اثنين كما هو موضح. إذن، سنعكس المعين حول هذا المستقيم.

دعونا إذن نفعل ذلك مع كل رأس على حدة. سنبدأ بالرأس ﺃ. سنقيس المسافة العمودية لهذا الرأس من خط الانعكاس. وهي واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع وحدات. هذا يعني أن صورة ﺃ، تذكر أننا نطلق عليها ﺃ شرطة، يجب أن تبعد أيضًا أربع وحدات عن المستقيم ﺱ يساوي اثنين، ولكن في الجانب المعاكس. وبالتالي، فإن ﺃ شرطة موجودة هنا. وإحداثياتها هي سالب اثنين، ستة.

هيا نقس المسافة العمودية للرأس ﺏ من خط الانعكاس. هذه المرة لدينا واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس، ست وحدات. هذا يعني أن صورة الرأس ﺏ ستكون على بعد ست وحدات من خط الانعكاس في الجانب المعاكس. أي هنا. سنكرر هذه العملية مع الرأسين المتبقيين. تبعد ﺟ مسافة واحدة، اثنتين، ثلاث، أربع وحدات عن خط الانعكاس. وبالتالي، فإن صورتها، ﺟ شرطة، ستكون أيضًا على مسافة أربع وحدات.

وأخيرًا، هناك الرأس ﺩ على بعد وحدتين من المستقيم ﺱ يساوي اثنين؛ ما يعني أن الرأس ﺩ شرطة سيكون هنا. وهو يبعد وحدتين عن الخط في الجانب المعاكس. وبذلك، نكون قد عكسنا المعين ﺃﺏﺟﺩ حول المستقيم ﺱ يساوي اثنين. فقد حددنا رءوسه وهي ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة وﺩ شرطة.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا إيجاد موضع نقطة بعد عكسها حول خط قطري.

ما صورة النقطة تسعة، ثمانية عند انعكاسها حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ؟

هذا النوع من الأسئلة يصعب تصوره. لذا، دعونا نرسم النقطة، والمستقيم ﺹ يساوي ﺱ على المستوى الكارتيزي. ها هي النقطة تسعة، ثمانية. وقيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هي تسعة، وقيمة الإحداثي ﺹ هي ثمانية. المستقيم ﺹ يساوي ﺱ هو خط قطري. قيم الإحداثيين ﺱ وﺹ لكل نقطة على هذا الخط متساوية. فعلى سبيل المثال، سيمر بالنقاط واحد، واحد وثلاثة، ثلاثة وخمسة، خمسة وسالب اثنين، سالب اثنين؛ وهكذا. في الحقيقة، سيبدو بهذا الشكل.

سنعكس هذه النقطة حول هذا المستقيم. إذن، سننظر إلى المسافة العمودية من النقطة إلى المستقيم. يمكننا أن نرى أن هذا يساوي نصف قطر مربع واحد. ستكون صورة النقطة هي المسافة نفسها بالضبط من المستقيم في الجانب المعاكس. إذن، ما إحداثياتها؟ حسنًا، إنها ثمانية، تسعة. فقيمة الإحداثي ﺱ هي ثمانية، وقيمة الإحداثي ﺹ هي تسعة. وبذلك، نكون قد أوجدنا صورة النقطة تسعة، ثمانية عند انعكاسها حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. إنها ثمانية، تسعة.

لكن يمكننا، في الواقع، تعميم ذلك. سنأخذ النقطة ﺱ‏، ﺹ. عندما نعكسها حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، تصبح ﺹ‏، ﺱ. بعبارة أخرى، يتم تبديل مكاني الإحداثيين ﺱ وﺹ. بوجه عام، نقول إن انعكاس ﺱ‏، ﺹ حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ هو النقطة ﺹ‏، ﺱ. وانعكاس ﺱ‏، ﺹ حول الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ يعطينا النقطة سالب ﺱ، سالب ﺹ.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكننا عكس شكل كامل حول الخط القطري ﺹ يساوي ﺱ.

اعكس المثلث ﺃﺏﺟ حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ.

تذكر أن المستقيم ﺹ يساوي ﺱ هو خط قطري مستقيم يمر بنقطة الأصل. وهي النقطة صفر، صفر. قيم الإحداثيين ﺱ وﺹ لكل نقطة على هذا المستقيم متساوية. إنه هذا الخط. لاحظ أنه يمر بالنقاط اثنين، اثنين و ١٠، ١٠ وسالب ستة، سالب ستة؛ وهكذا. حسنًا، إننا نريد أن نعكس المثلث ﺃﺏﺟ حول هذا المستقيم. نحن نعلم أنه عندما نعكس شكلًا؛ فإن هذا يعني أننا نقلبه، بحيث يكون كل رأس للشكل الأصلي وصورته، أي انعكاسه، على البعد نفسه من خط الانعكاس ولكن في الجانب المعاكس.

إذن، يمكننا حساب المسافة العمودية من كل رأس إلى المستقيم. أو بدلًا من ذلك، يمكننا أن نستشهد بهذه الحقيقة. وهي أن انعكاس النقطة ﺱ‏، ﺹ حول الخط ﺹ يساوي ﺱ يعطينا النقطة ﺹ‏، ﺱ. إحداثيات النقطة ﺃ هي سالب أربعة، ١٢، وإحداثيات النقطة ﺏ هي سالب أربعة، ستة، وإحداثيات النقطة ﺟ هي اثنان، ستة. لاحظ تبديل مكاني الإحداثيين ﺱ وﺹ. إذن، إحداثيات صورة ﺃ هي ١٢، سالب أربعة، وإحداثيات صورة ﺏ هي ستة، سالب أربعة، وإحداثيات صورة ﺟ، أي ﺟ شرطة، هي ستة، اثنان. إذن، ﺃ شرطة تقع هنا، وﺏ شرطة هنا، وﺟ شرطة هنا.

وبذلك، نكون قد عكسنا المثلث ﺃﺏﺟ حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وهذه هي الصورة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة كما هو موضح.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن الانعكاس حول خط الانعكاس يقلب الشكل الأصلي. والصورة، وهي انعكاس الأصل ونشير لها برمز الشرطة، سيكون لها نفس شكل وقياس العنصر الأصلي. وعرفنا أن كل رأس يكون على البعد نفسه من خط الانعكاس، ولكن في الجانب المعاكس.

وعرفنا أيضًا أنه يمكننا استخدام صورة عامة لنقاط معينة بعد عكسها حول مستقيمات مختلفة. فانعكاس النقطة ﺱ‏، ﺹ حول المحور ﺱ هو النقطة ﺱ، سالب ﺹ. وبانعكاسها حول المحور ﺹ، نحصل على النقطة سالب ﺱ‏، ﺹ. أما عند انعكاسها حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، نحصل على ﺹ‏، ﺱ. وعند انعكاسها حول المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ، نحصل على سالب ﺹ، سالب ﺱ.