تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما

أحمد مدحت

يوضح الفيديو المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما.

٠٧:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم.

في الفيديو ده هنعرف المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم، واللي هي عبارة عن المتطابقات اللي بتحتوي على متغيرين، ومن ضمنها متطابقة جيب تمام الفرق بين زاويتين.

ففي الأول هنفرض إن إحنا عندنا دايرة وحدة زي اللي هتظهر لنا. وفيه عندنا أربع نقط بيقعوا عليها، همّ النقط أ وَ ب وَ ج وَ د. وكمان عندنا زاويتين همّ 𝛼 وَ 𝛽، بيقعوا في الفترة من صفر لاتنين 𝜋، المغلقة عند صفر والمفتوحة عند اتنين 𝜋، والزاوية 𝛼 أكبر من الزاوية 𝛽 زي ما هو واضح من خلال الشكل اللي عندنا.

ومن خلال الشكل اللي عندنا هنلاقي إن قياس القوس أ ب هو 𝛽، وقياس القوس أ د هو 𝛼، وقياس القوس أ ج هو 𝛼 ناقص 𝛽.

وبما إن النقط أ وَ ب وَ ج وَ د بيقعوا على دايرة الوحدة، فهيبقى س واحد تربيع زائد ص واحد تربيع يساوي واحد، وَ س اتنين تربيع زائد ص اتنين تربيع يساوي واحد، وَ س تلاتة تربيع زائد ص تلاتة تربيع يساوي واحد.

كمان هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا إن قياس القوس ج د، هيساوي قياس القوس أ د ناقص قياس القوس أ ج. يعني هيساوي 𝛼 ناقص 𝛼 ناقص 𝛽؛ يعني هيساوي 𝛽. وبالنسبة لقياس القوس أ ب فهنلاقيه بيساوي 𝛽. وبما إن قياس القوس ج د بيساوي قياس القوس أ ب بيساوي 𝛽؛ معنى كده إن الوتر أ ج هيطابق الوتر ب د زي ما هيظهر لنا في الشكل.

معنى كده إن طول الوتر أ ج يساوي طول الوتر ب د. ولمّا هنستخدم الصيغة الرياضية للمسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي، هيبقى عندنا الجذر التربيعي لـ س اتنين ناقص واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص صفر الكل تربيع، يساوي الجذر التربيعي لـ س تلاتة ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص تلاتة ناقص ص واحد الكل تربيع.

وعلشان نتخلص من الجذر التربيعي اللي عندنا، فإحنا هنربع الطرفين بتوع المعادلة. فهيبقى عندنا س اتنين ناقص واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص صفر الكل تربيع، يساوي س تلاتة ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص تلاتة ناقص ص واحد الكل تربيع.

بعد كده هنربّع كل ذات حدين عندنا. وبكده هيبقى عندنا س اتنين تربيع، ناقص اتنين س اتنين، زائد واحد، زائد ص اتنين تربيع، يساوي س تلاتة تربيع، ناقص اتنين س تلاتة س واحد، زائد س واحد تربيع، زائد ص تلاتة تربيع، ناقص اتنين ص تلاتة ص واحد، زائد ص واحد تربيع.

وبما إن س واحد تربيع زائد ص واحد تربيع يساوي واحد، وَ س اتنين تربيع زائد ص اتنين تربيع يساوي واحد، وَ س تلاتة تربيع زائد ص تلاتة تربيع يساوي واحد؛ فهنجمّع س اتنين تربيع وَ ص اتنين تربيع مع بعض في قوس واحد، وهنجمّع س واحد تربيع وَ ص واحد تربيع مع بعض في قوس واحد، وَ س تلاتة تربيع وَ ص تلاتة تربيع مع بعض في قوس واحد.

وبعد ما هنجمّع الحدود اللي إحنا وضحناها، تبقى المعادلة اللي عندنا على الشكل: القوس س اتنين تربيع زائد ص اتنين تربيع، ناقص اتنين س اتنين، زائد واحد، يساوي القوس س واحد تربيع زائد ص واحد تربيع، زائد القوس س تلاتة تربيع زائد ص تلاتة تربيع، ناقص اتنين س تلاتة س واحد، ناقص اتنين ص تلاتة ص واحد.

بعد كده هتيجي خطوة التعويض، فهنعوّض في المعادلة اللي عندنا عن كل قوس بالقيمة اللي بتساويه، واللي هي واحد. فبعد ما هنعوّض هيبقى عندنا واحد ناقص اتنين س اتنين زائد واحد، يساوي واحد زائد واحد، ناقص اتنين س تلاتة س واحد، ناقص اتنين ص تلاتة ص واحد.

بعد كده هنجمع، فهتبقى المعادلة عبارة عن اتنين ناقص اتنين س اتنين، يساوي اتنين ناقص اتنين س تلاتة س واحد، ناقص اتنين ص تلاتة ص واحد. بعد كده هنطرح من طرفَي المعادلة اتنين، فهتبقى المعادلة عبارة عن سالب اتنين س اتنين، يساوي سالب اتنين س تلاتة س واحد، ناقص اتنين ص تلاتة ص واحد.

بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على سالب اتنين. بالتالي هتبقى المعادلة عبارة عن س اتنين تساوي س تلاتة س واحد، زائد ص تلاتة ص واحد.

بعد كده هنرجع للشكل أ اللي عندنا. فهنلاحظ من دايرة الوحدة والتعريفين بتوع دالَّتَي جيب التمام والجيب، إن س واحد هتساوي جتا 𝛽، وَ س اتنين هتساوي جتا 𝛼 ناقص 𝛽، وس تلاتة هتساوي جتا 𝛼، وَ ص واحد هتساوي جا 𝛽، وص تلاتة هتساوي جا 𝛼.

ولمّا هنعوّض في المعادلة س اتنين تساوي س تلاتة س واحد زائد ص تلاتة ص واحد، هيبقى عندنا جتا 𝛼 ناقص 𝛽، يساوي جتا 𝛼 جتا 𝛽، زائد جا 𝛼 جا 𝛽. وهي دي متطابقة جيب تمام الفرق بين زاويتين.

كمان نقدر نوجد متطابقة جيب تمام مجموع زاويتين. فبالنسبة لـ جتا 𝛼 ناقص 𝛽، نقدر نكتبها على الشكل: جتا 𝛼 زائد سالب 𝛽. واللي هتساوي جتا 𝛼 جتا 𝛽، زائد جا 𝛼 جا 𝛽. بالنسبة لـ جتا 𝛽 فهي بتساوي جتا سالب 𝛽. أما جا 𝛽 فبتساوي سالب جا سالب 𝛽.

فلمّا هنعوّض في المعادلة اللي عندنا عن جتا 𝛽 بجتا سالب 𝛽، وعن جا 𝛽 بسالب جا سالب 𝛽، هيبقى عندنا … هيبقى عندنا جتا 𝛼 زائد سالب 𝛽، يساوي جتا 𝛼 جتا سالب 𝛽، ناقص جا 𝛼 جا سالب 𝛽.

ولو فرضنا إن سالب 𝛽 يساوي 𝜃، فهيبقى جتا 𝛼 زائد 𝜃، يساوي جتا 𝛼 جتا 𝜃، ناقص جا 𝛼 جا 𝜃. وهي دي متطابقة جيب تمام مجموع زاويتين.

وبكده بعد ما أوجدنا متطابقة جيب تمام الفرق بين زاويتين، ومتطابقة جيب تمام مجموع زاويتين، نقدر من خلالهم نوجد المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم.

فبالنسبة لمتطابقات المجموع، هنلاقي جا أ زائد ب، تساوي جا أ جتا ب، زائد جتا أ جا ب. وهنلاقي جتا أ زائد ب، تساوي جتا أ جتا ب، ناقص جا أ جا ب. وبالنسبة لـ ظا أ زائد ب، فتساوي ظا أ زائد ظا ب، على واحد ناقص ظا أ ظا ب.

أما متطابقات الفرق، فـ جا أ ناقص ب، تساوي جا أ جتا ب، ناقص جتا أ جا ب. وجتا أ ناقص ب، تساوي جتا أ جتا ب، زائد جا أ جا ب. أما ظا أ ناقص ب، تساوي ظا أ ناقص ظا ب واحد، على زائد ظا أ ظا ب.

وهي دي المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم. بكده يبقى إحنا من خلال الفيديو ده عرفنا المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم.