نسخة الفيديو النصية
إذا كان تشتت مجموعة قيم يساوي صفرًا، فأي مما يأتي صحيح؟ أ: الفرق بين القيم الفردية كبير. ب: الفرق بين القيم الفردية صغير. ج: جميع القيم متساوية. د: الوسط الحسابي لهذه القيم صفر. هـ: جميع القيم سالبة.
يمكن قياس تشتت مجموعة البيانات باستخدام الانحراف المعياري الذي نشير إليه بالرمز 𝜎. بالنسبة إلى مجموعة البيانات التي تحتوي على ﻥ من القيم، وهي ﺱ واحد وﺱ اثنان، وﺱ ثلاثة، وهكذا، وصولًا إلى ﺱﻥ، حيث قيمة الوسط الحسابي تساوي ﺱ بار، يتم حساب الانحراف المعياري باستخدام الصيغة الموضحة. 𝜎ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ بار تربيع زائد ﺱ اثنين ناقص ﺱ بار تربيع، وهكذا وصولًا إلى ﺱﻥ ناقص ﺱ بار تربيع مقسومًا على ﻥ. من الناحية العملية نطرح قيمة الوسط الحسابي من كل قيمة من قيم ﺱ، ثم نوجد مربع الناتج، ونوجد المجموع، ثم نقسمه على ﻥ، وهو عدد القيم الموجودة في مجموعة البيانات، وأخيرًا نأخذ الجذر التربيعي للناتج.
إذا كان تشتت مجموعة بيانات يساوي صفرًا، فإن الانحراف المعياري يساوي صفرًا. إذن لدينا صفر يساوي الصيغة التي كتبناها سابقًا. بتربيع طرفي هذه المعادلة ثم الضرب في ﻥ، يصبح لدينا صفر يساوي ﺱ واحد ناقص ﺱ بار الكل تربيع زائد ﺱ اثنين ناقص ﺱ بار الكل تربيع، وهكذا وصولًا إلى زائد ﺱﻥ ناقص ﺱ بار الكل تربيع. أصبح لدينا الآن مجموع مقادير ﻥ هذه يساوي صفرًا. لكننا نعلم أننا إذا أوجدنا مربع أي عدد حقيقي، بغض النظر عما إذا كان موجبًا أو سالبًا أو يساوي صفرًا، فإننا سنحصل على قيمة أكبر من أو تساوي صفرًا. ومن ثم لكي يساوي مجموع هذه القيم غير السالبة صفرًا، يجب أن تكون كل مجموعة من الأقواس تساوي صفرًا.
إذن بمساواة كل مجموعة من الأقواس بصفر، يصبح لدينا ﺱ واحد ناقص ﺱ بار يساوي صفرًا، وﺱ اثنان ناقص ﺱ بار يساوي صفرًا، وهكذا وصولًا إلى ﺱﻥ ناقص ﺱ بار يساوي صفرًا. بإضافة ﺱ بار إلى طرفي كل معادلة، يصبح لدينا ﺱ واحد يساوي ﺱ بار، وﺱ اثنان يساوي ﺱ بار، وصولًا إلى ﺱﻥ يساوي ﺱ بار. ومن ثم فإن جميع القيم في مجموعة البيانات تساوي الوسط الحسابي ويساوي بعضها بعضًا. وهذا هو ما يوضحه الخيار ج، جميع القيم متساوية. تشتت القيم يساوي صفرًا؛ لأنه لا يوجد انتشار بعيدًا عن الوسط الحسابي. وجميع القيم تساوي الوسط الحسابي كل على حدة.
دعونا نتناول سريعًا كل خيار من الخيارات الأخرى. الخياران أ، ب يصفان الفرق بين القيم الفردية، سواء كان الفرق كبيرًا أو صغيرًا. لكن كما عرفنا إذا كانت جميع القيم متساوية، فلا يوجد فرق بين القيم الفردية. يوضح الخيار د أن الوسط الحسابي لهذه القيم صفر. حسنًا، ليس بالضرورة أن يكون الوسط الحسابي صفرًا. ما دامت جميع القيم متساوية، فستكون جميعها مساوية للوسط الحسابي ﺱ بار، لكن قيمة هذا الوسط الحسابي لا تهمنا. وأخيرًا يوضح الخيار هـ أن جميع القيم سالبة. مرة أخرى ليس بالضرورة أن تكون القيم سالبة. قد تكون جميع القيم سالبة، لكن يمكن أن تكون جميعها موجبة، أو تساوي صفرًا بالفعل. وما دامت جميع القيم متساوية، فإن التشتت سيساوي صفرًا.
إذن، عرفنا أنه إذا كان تشتت مجموعة قيم يساوي صفرًا، فإن جميع القيم متساوية.
