فيديو السؤال: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تتضمن دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺩﺱ تساوي جا اثنين ﺱ زائد جتا اثنين ﺱ في الفترة ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي 𝜋، فحدد الفترات التي تكون خلالها ﺩ تزايدية أو تناقصية.

يمكننا معرفة إذا ما كانت الدالة تزايدية أو تناقصية عن طريق اشتقاق الدالة. إذا كانت قيمة ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر، فإن الدالة ﺩﺱ تزايدية. بالمثل، إذا كانت قيمة ﺩ شرطة ﺱ أقل من صفر، فإن الدالة ﺩﺱ تناقصية. النقاط التي تكون عندها قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا هي نقاط التوقف أو التحول. لنتناول الآن الدالة الواردة في السؤال: جا اثنين ﺱ زائد جتا اثنين ﺱ.

لاشتقاق هذه الدالة، سنشتق كل حد على حدة. مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ. وعند اشتقاق جا اثنين ﺱ، نحصل على اثنين جتا اثنين ﺱ. ومشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. وهذا يعني أن اشتقاق جتا اثنين ﺱ يعطينا سالب اثنين جا اثنين ﺱ. تتمثل الخطوة التالية في حساب نقاط التوقف أو التحول بتحديد ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا. اثنان جتا اثنين ﺱ ناقص اثنين جا اثنين ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا قسمة ثلاثة الحدود على اثنين. تبسط المعادلة إلى جتا اثنين ﺱ ناقص جا اثنين ﺱ يساوي صفرًا.

نتذكر، في هذه المرحلة، أن جا ﺃﺱ مقسومًا على جتا ﺃﺱ يساوي ظا ﺃﺱ. يمكننا قسمة طرفي المعادلة على جتا اثنين ﺱ. جتا اثنين ﺱ مقسومًا على جتا اثنين ﺱ يساوي واحدًا. سالب جا اثنين ﺱ مقسومًا على جتا اثنين ﺱ يساوي سالب ظا اثنين ﺱ. صفر مقسومًا على جتا اثنين ﺱ يساوي صفرًا. بإضافة ظا اثنين ﺱ إلى طرفي المعادلة، نحصل على واحد يساوي ظا اثنين ﺱ أو ظا اثنين ﺱ يساوي واحدًا.

خطوتنا التالية تتمثل في حل هذه المعادلة لجميع القيم الواقعة بين صفر و𝜋. بحساب الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة، نحصل على اثنان ﺱ يساوي ظا ناقص واحد أو الدالة العكسية للظل لواحد. وبعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان، نجد أن الناتج يساوي 𝜋 على أربعة. علينا حساب جميع قيم ﺱ التي تقع بين صفر و𝜋. وهذا يعني أن اثنين ﺱ يمكن أن يقع بين صفر واثنين 𝜋. لكي نوجد الحل الآخر، يمكننا إما تمثيل ظا بيانيًّا بين صفر واثنين 𝜋 وإما استخدام مخطط قواعد إشارات الدوال المثلثية، كما هو موضح.

وبما أن قيمة ظا اثنين ﺱ موجبة، فسيكون هناك حل واحد في الربع الأول وحل واحد في الربع الثالث. لقد وجدنا بالفعل أن الحل الأول يساوي 𝜋 على أربعة. والحل الثاني في الربع الثالث يساوي 𝜋 زائد 𝜋 على أربعة. وهذا يساوي خمسة 𝜋 على أربعة. على الرغم من وجود عدد لا نهائي من الحلول، فإن هناك حلين فقط في النطاق بين صفر واثنين 𝜋. من ثم، يمكننا القول إن اثنين ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة أو خمسة 𝜋 على أربعة. بقسمة هذين العددين على اثنين، نحصل على قيمتي ﺱ، وهما 𝜋 على ثمانية، وخمسة 𝜋 على ثمانية. تقع هاتان القيمتان بين صفر و𝜋، حيث قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا.

يمكننا الآن التعويض بقيم أصغر قليلًا وأكبر قليلًا من هاتين القيمتين لمعرفة إذا ما كانت ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية حول هذه النقاط. دعونا أولًا نعوض بقيمة أقل قليلًا من 𝜋 على ثمانية. سنستخدم 𝜋 على تسعة. عند هذه النقطة، قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين جتا اثنين 𝜋 على تسعة ناقص اثنين جا اثنين 𝜋 على تسعة. وهذا يعطينا ناتجًا موجبًا. عند ﺱ يساوي 𝜋 على تسعة، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تصبح أكبر من صفر. عندما نعوض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على سبعة، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تكون سالبة. وهذا يعني أن قيمتها أقل من صفر. وعليه، نستنتج أنه عند ﺱ يساوي 𝜋 على ثمانية، يصبح لدينا نقطة قيمة عظمى. الميل، وهو قيمة ﺩ شرطة ﺱ، يتزايد قبل هذه النقطة ويتناقص بعدها.

يمكننا الآن تكرار هذه الخطوات مع القيمة الثانية خمسة 𝜋 على ثمانية. عندما يكون ﺱ يساوي خمسة 𝜋 على تسعة، تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ أقل من صفر. عندما يكون ﺱ يساوي خمسة 𝜋 على سبعة، تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر. هذا يعني أن النقطة التي يساوي ﺱ عندها خمسة 𝜋 على ثمانية هي نقطة قيمة صغرى؛ لأن الميل وهو قيمة ﺩ شرطة ﺱ يتناقص قبل هذه النقطة ويتزايد بعدها. يمكننا إذن القول إن الدالة ﺩﺱ تزايدية بين صفر و𝜋 على ثمانية، وأيضًا بين خمسة 𝜋 على ثمانية و𝜋. وتكون الدالة تناقصية بين 𝜋 على ثمانية وخمسة 𝜋 على ثمانية، حيث تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ في هذه الفترة سالبة.

‏جا اثنين ﺱ زائد جتا اثنين ﺱ تتزايد بين صفر و𝜋 على ثمانية، وأيضًا بين خمسة 𝜋 على ثمانية و𝜋، لكنها تتناقص بين 𝜋 على ثمانية وخمسة 𝜋 على ثمانية.