نسخة الفيديو النصية
إذا كان معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع زائد القيمة المطلقة لـ ﺃ ضرب قياسي ﺏ تربيع يساوي ١٧٤٢٤، ومعيار ﺃ يساوي ١٢، فأوجد معيار ﺏ.
أولًا دعونا نفهم لماذا قرأنا الخطوط الرأسية بوصفها تشير إلى معيار في هذا الحد، وقيمة مطلقة في هذا الحد. يرجع ذلك إلى أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي متجهًا آخر، لكن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي كمية قياسية. عندما نضع خطين رأسيين في كل جهة من الجهتين حول متجه، فإننا نعني إيجاد طوله أو معياره. وعندما نضع خطًّا رأسيًّا في كل جهة من الجهتين حول كمية قياسية، فإننا نعني إيجاد قيمتها المطلقة.
والسبب في أننا نستخدم خطوطًا رأسية حول كلتا الكميتين هو أن معيار المتجه يؤدي دورًا مشابهًا للقيمة المطلقة لأي كمية قياسية. لكن بما أن عملية إيجاد معيار متجه تختلف تمامًا عن إيجاد القيمة المطلقة لكمية قياسية، فمن المهم أن نفهم العملية التي يفترض أن تمثلها الخطوط الرأسية بطريقة صحيحة.
وبالمثل تمثل الخطوط الرأسية حول ﺃ والخطوط الرأسية حول ﺏ معياري متجهين؛ لأن الكميتين الموجودتين داخل هذه الخطوط متجهان. على أي حال بالعودة إلى هدفنا، نجد أنه لا يتضح من هذه المعادلة كيفية الوصول إلى تعبير دال على معيار ﺏ. لكن إذا ركزنا على الكميات الموجودة داخل الخطوط الرأسية، فسنلاحظ أن لدينا حاصل ضرب اتجاهي لمتجهين وحاصل ضرب قياسي لمتجهين، ويمكن التعبير عن كل منهما بدلالة معياري المتجهين. وقيمة حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ تساوي معيار ﺃ في معيار ﺏ في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما والممثلة بالحرف اليوناني 𝜃.
لاحظ أن معيار ﺃ، ومعيار ﺏ، وجتا 𝜃 جميعها كميات قياسية. إذن الطرف الأيسر من هذا التعبير يمثل حاصل ضرب ثلاث كميات قياسية، ما يعني أنه في حد ذاته كمية قياسية، وهو أمر جيد؛ لأننا نعلم أن ﺃ ضرب قياسي ﺏ يجب أن يساوي كمية قياسية.
توجد صيغة مماثلة لـ ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ بدلالة معيار ﺃ، ومعيار ﺏ، والزاوية المحصورة بينهما. لكن تذكر أن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ينتج عنه متجه، ومن ثم فإن هذه الصيغة ستعطينا معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. معيار المتجه ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي معيار ﺃ في معيار ﺏ في جيب الزاوية المحصورة بينهما. وبما أن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ينتج عنه متجه، فإن له اتجاهًا أيضًا. ويحدد هذا الاتجاه في الواقع باستخدام ما يعرف بقاعدة اليد اليمنى. لكن في هذه المسألة تحديدًا، نركز فقط على معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ، لذا لا داعي للقلق بشأن الاتجاه. وتمامًا مثل حاصل الضرب القياسي لدينا أيضًا في الطرف الأيسر حاصل ضرب ثلاث كميات قياسية، وهذا يعطينا كمية قياسية أخرى، وهو ما يجب أن نحصل عليه لأن معيار المتجه كمية قياسية بالفعل.
وأخيرًا نلاحظ أيضًا أن الزاوية المحصورة بين المتجهين، وهي 𝜃، تقع بين صفر درجة و١٨٠ درجة. جيب أي زاوية تقع بين صفر درجة و١٨٠ درجة يكون موجبًا أو يساوي صفرًا. ومعايير المتجهات أيضًا تكون دائمًا موجبة أو تساوي صفرًا. إذن هذا التعبير هو حاصل ضرب ثلاثة حدود موجبة أو تساوي صفرًا، لذا فقيمته موجبة أو تساوي صفرًا. وهذا ملائم؛ لأن هذه الصيغة تعطينا معيار متجه، وقيمته كما قلنا للتو، تكون موجبة أو تساوي صفرًا. لكن حاصل الضرب القياسي يمكن أن يكون موجبًا أو يساوي صفرًا أو سالبًا؛ لأن معياري ﺃ وﺏ موجبان دائمًا. لكن قيم جيب تمام الزوايا تقع بين صفر درجة و ١٨٠ درجة، يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو تساوي صفرًا. لذا في هذه المعادلة نحسب القيمة المطلقة لـ ﺃ ضرب قياسي ﺏ؛ لأن ﺃ ضرب قياسي ﺏ يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا.
حسنًا، الآن بعد أن تمكنا من التعبير عن كل من حاصل الضرب القياسي ومعيار حاصل الضرب الاتجاهي بدلالة معياري ﺃ وﺏ، دعونا نعوض بهذه الصيغ في المعادلة. لدينا معيار ﺃ في معيار ﺏ في جا 𝜃 الكل تربيع زائد القيمة المطلقة لمعيار ﺃ في معيار ﺏ في جتا 𝜃 الكل تربيع يساوي ١٧٤٢٤. لاحظ أن الخطوط الرأسية حول هذا الحد الأول قد اختفت؛ لأن ما عوضنا به هو الكمية التي تمثل معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. لكن ما زالت لدينا خطوط القيمة المطلقة في الحد الثاني؛ لأن ما عوضنا عنه هو ﺃ ضرب قياسي ﺏ وليس القيمة المطلقة لـ ﺃ ضرب قياسي ﺏ.
لكن ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي عددًا حقيقيًّا. ولأي عدد حقيقي فإن مربعه يساوي مربع قيمته المطلقة. على سبيل المثال: سالب اثنين تربيع يساوي سالب اثنين في سالب اثنين، وهو ما يساوي موجب أربعة، الذي يساوي اثنين تربيع، واثنان هو القيمة المطلقة لسالب اثنين. لذا بالرجوع إلى المعادلة، يمكننا حذف الخطين الرأسيين الموجودين حول هذا الحد؛ لأن مربع أي عدد حقيقي يكون دائمًا موجبًا أو يساوي صفرًا. في الواقع نحن قريبون للغاية من الحل. الخطوة التالية هي التعويض عن مربعي حواصل ضرب العوامل بحواصل ضرب مربعات العوامل. وهو ما يعني أن معيار ﺃ في معيار ﺏ في جا 𝜃 الكل تربيع سيساوي معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع في جا 𝜃 تربيع.
هنا نستخدم الترميز المعتاد الذي نمثل فيه جا 𝜃 تربيع وجتا 𝜃 تربيع بكتابة العدد اثنين قبل 𝜃. وبهذه الطريقة لا يختلط علينا الأمر بطريق الخطأ ونقوم بتربيع الزاوية قبل تطبيق الدالة المثلثية. والآن لاحظ أن لدينا جا 𝜃 تربيع وجتا 𝜃 تربيع في حدين منفصلين. وكلا الحدين لهما نفس المعامل، وهو معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع. ينبغي أن يذكرنا هذا بالمتطابقة المهمة التي تنص على أنه لأي زاوية 𝜃، يكون جتا 𝜃 تربيع زائد جا 𝜃 تربيع مساويًا لواحد دائمًا. إذا أخرجنا العامل المشترك من هذين الحدين، نحصل على معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع في الكمية جا 𝜃 تربيع زائد جتا 𝜃 تربيع.
لكن وفقًا لهذه المتطابقة المثلثية، فإن هذا الحد الموجود بين القوسين يساوي واحدًا. إذن يصبح لدينا معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع في واحد، وهو ما يساوي معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع. حسنًا وبما أن هذا يكافئ الطرف الأيمن من المعادلة السابقة، فإنه يجب أن يساوي الطرف الأيسر من المعادلة السابقة وهو ١٧٤٢٤. والآن أصبح لدينا ما نحتاج إليه بالضبط. معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع يساوي ١٧٤٢٤، وهو ما يعني وجود عدد في أحد طرفي المعادلة، ومعيار ﺃ ومعيار ﺏ في الطرف الآخر من المعادلة. لكن معيار ﺏ هو ما نبحث عنه، ومعطى لدينا قيمة معيار ﺃ. وبذلك يصبح لدينا كمية واحدة فقط مجهولة في هذه المعادلة. ويمكننا إيجاد قيمة معيار ﺏ مباشرة.
يمكننا البدء بقسمة الطرفين على معيار ﺃ تربيع أو أخذ الجذر التربيعي للطرفين. لكن لنبدأ بدلًا من ذلك بالتعويض بـ ١٢ عن معيار ﺃ. إذا كان معيار ﺃ يساوي ١٢، فإن معيار ﺃ تربيع يساوي ١٢ تربيع، وهو ما يساوي ١٤٤. إذن ١٤٤ في معيار ﺏ تربيع يساوي ١٧٤٢٤. وبقسمة الطرفين على ١٤٤، نجد أن معيار ﺏ تربيع يساوي ١٢١. حسنًا، ربما نلاحظ أن ١٢١ يساوي ١١ تربيع. وإذا لم نلاحظ ذلك، يمكننا متابعة الحل وأخذ الجذر التربيعي لـ ١٢١؛ لنجد أنه يساوي ١١. وكالمعتاد علينا أن ننتبه عند أخذ الجذر التربيعي لـ ١٢١ ؛ لأن ١٢١ له جذران تربيعيان: موجب ١١ وسالب ١١. لكن تذكر أننا نوجد قيمة معيار متجه، ومعيار المتجه يكون دائمًا موجبًا أو يساوي صفرًا. إذن نريد الجذر التربيعي الموجب لـ ١٢١، وهو ما يساوي ١١.
