فيديو السؤال: فهم العلاقة بين سرعة وارتفاع جسم ذي طاقة ميكانيكية ثابتة الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل الآتي سرعة جسم وارتفاعه فوق سطح الأرض عند لحظات زمنية مختلفة. الشكل الموضح ليس مرسومًا بمقياس رسم. الطاقة الميكانيكية للجسم ثابتة. أي من الآتي له نفس المقدار؟ قرب كل السرعات لأقرب متر لكل ثانية. أ: القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ أربعة والقيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين. ب: القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد و 10 أمتار لكل ثانية ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة. ج: القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ أربعة والقيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد. د: القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد والقيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين.

في هذا السؤال، لدينا شكل يوضح حركة جسم على مسار ذي ارتفاعات مختلفة. نريد حساب سرعة الجسم عند كل لحظة قيس عندها ارتفاعه حتى نتمكن من تحديد الخيار الذي يوضح كميتين لهما المقدار نفسه. قبل أن نبدأ الحل، علينا تذكر بعض المعلومات عن الطاقة الميكانيكية وكيف يمكننا استخدامها لحساب القيم التي نريدها.

نتذكر أن الطاقة الميكانيكية للجسم ‪ME‬‏ تعرف بأنها مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع للجسم. طاقة الحركة ‪KE‬‏ تساوي نصفًا مضروبًا في الكتلة ‪𝑚‬‏ مضروبًا في السرعة ‪𝑣‬‏ تربيع. لدينا أيضًا طاقة وضع الجاذبية ‪GPE‬‏ في هذا السؤال، وتساوي الكتلة ‪𝑚‬‏ مضروبة في عجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏ مضروبًا في ارتفاع الجسم ‪ℎ‬‏. وعليه فإن الطاقة الميكانيكية للجسم تساوي نصف ‪𝑚𝑣‬‏ تربيع زائد ‪𝑚𝑔ℎ‬‏.

نريد إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل السرعة ‪𝑣‬‏ في طرف بمفردها. سنخلي بعض المساحة للحل. لكن قبل أن نفعل ذلك، نلاحظ أن السؤال يخبرنا بأن الطاقة الميكانيكية للجسم ثابتة في الشكل. والآن بعد أن لاحظنا ذلك، دعونا نخل بعض المساحة.

نبدأ بطرح ‪𝑚𝑔ℎ‬‏ من الطرفين لنحصل على ‪ME‬‏ ناقص ‪𝑚𝑔ℎ‬‏ يساوي نصف ‪𝑚𝑣‬‏ تربيع. ثم نقسم الطرفين على ‪𝑚‬‏ على اثنين؛ فنحصل على اثنين في ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏ ناقص ‪𝑔ℎ‬‏ يساوي ‪𝑣‬‏ تربيع. نأخذ بعد ذلك الجذر التربيعي للطرفين لنحصل على ‪𝑣‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين في ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏ ناقص ‪𝑔ℎ‬‏. قبل أن نحسب السرعات، يمكننا حساب قيمة ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏. يخبرنا السؤال بأن الطاقة الميكانيكية للجسم ثابتة، لكن هناك ثابتًا آخر في هذا النظام وهو كتلة الجسم. من ثم إذا قسمنا طرفي معادلة الطاقة الميكانيكية على الكتلة ‪𝑚‬‏ فسنجد أن ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏ يساوي نصف ‪𝑣‬‏ تربيع زائد ‪𝑔ℎ‬‏.

نلاحظ من الشكل أن السرعة الابتدائية للجسم تساوي 10 أمتار لكل ثانية، والارتفاع الابتدائي يساوي 25 مترًا. نتذكر أن عجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏ تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. بالتعويض بهذه القيم في هذه المعادلة والاستعانة بالآلة الحاسبة، نجد أن ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏ يساوي 295 مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة. تذكر أنه نظرًا لأن الطاقة الميكانيكية والكتلة ثابتتان، فإن الكمية ‪ME‬‏ على ‪𝑚‬‏ ستكون متساوية في كل موضع.

يمكننا الآن المتابعة وحساب السرعات باستخدام المعادلة التي توصلنا إليها بالأعلى. من الشكل نلاحظ أن الارتفاع عند الموضع الأول يساوي 15 مترًا. بالتعويض بهذه القيمة في معادلة السرعة والاستعانة بالآلة الحاسبة، نجد أن ‪𝑣‬‏ واحدًا تساوي 17 مترًا لكل ثانية لأقرب متر لكل ثانية. نلاحظ أن الارتفاع عند الموضع الثاني يساوي 10 أمتار؛ إذن ‪𝑣‬‏ اثنان تساوي 20 مترًا لكل ثانية. وبالمثل، نلاحظ أن الارتفاع عند الموضع الثالث يساوي 20 مترًا؛ إذن ‪𝑣‬‏ ثلاثة تساوي 14 مترًا لكل ثانية. والارتفاع عند الموضع الرابع يساوي صفر متر؛ إذن ‪𝑣‬‏ أربعة تساوي 24 مترًا لكل ثانية.

والآن بعد أن عرفنا مقادير جميع السرعات، لنلق نظرة على الخيارات المعطاة ونحسب القيم التي نحتاج إليها.

لنبدأ بالخيار أ. القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ أربعة تساوي 14 مترًا لكل ثانية ناقص 24 مترًا لكل ثانية، وهو ما يساوي سالب 10 أمتار لكل ثانية. القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين تساوي 17 مترًا لكل ثانية ناقص 20 مترًا لكل ثانية، وهو ما يساوي سالب ثلاثة أمتار لكل ثانية. نلاحظ أن مقداري هذين التعبيرين ليسا متساويين؛ إذن الخيار أ غير صحيح.

والآن لنتناول الخيار ب. القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد تساوي 14 مترًا لكل ثانية ناقص 17 مترًا لكل ثانية، وهو ما يساوي سالب ثلاثة أمتار لكل ثانية. ‏10 أمتار لكل ثانية ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة يساوي 10 أمتار لكل ثانية ناقص 14 مترًا لكل ثانية، وهو ما يساوي سالب أربعة أمتار لكل ثانية. نلاحظ أن مقداري هذين التعبيرين ليسا متساويين؛ إذن الخيار ب غير صحيح.

والآن لنتناول الخيار ج. القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ أربعة تساوي 20 مترًا لكل ثانية ناقص 24 مترًا لكل ثانية، وهو ما يساوي سالب أربعة أمتار لكل ثانية. نلاحظ أن هذا لا يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد؛ إذن الخيار ج غير صحيح.

وبذلك يتبقى لنا الخيار د. إذا قارنا الآن القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد مع القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين، فسنلاحظ أن كلًّا من هذين التعبيرين يساوي سالب ثلاثة أمتار لكل ثانية. هذان التعبيران لهما نفس المقدار. إذن لا بد أن الخيار د هو الإجابة الصحيحة. القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد تساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ واحد ناقص القيمة المطلقة لـ ‪𝑣‬‏ اثنين.