نسخة الفيديو النصية
انظر المصفوفات ﺃ وهي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين تساوي صفرًا، سالب أربعة، اثنين، واحدًا، وﺏ وهي مصفوفة من الرتبة اثنين في ثلاثة تساوي سالب ثلاثة، سالب سبعة، ستة، ستة، سالب أربعة، ثلاثة، وﺟ وهي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في اثنين تساوي سبعة، سبعة، سالب سبعة، اثنين، سالب سبعة، سبعة. حدد المصفوفة ﺱ التي تحقق سالب مدور ﺱ يساوي ﺃ تربيع زائد مدور ﺏﺟ.
في هذا السؤال، لدينا معادلة مصفوفية تتضمن ثلاث مصفوفات معلومة، وهي ﺃ وﺏ وﺟ. وعلينا استخدام ذلك لتحديد المصفوفة ﺱ. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بحساب الطرف الأيسر من هذه المعادلة، ويمكننا إجراء ذلك حدًّا حدًّا. أولًا، علينا حساب ﺃ تربيع. نسترجع معًا أن تربيع المصفوفة يعني ضربها في نفسها. ﺃ تربيع يساوي ﺃ في ﺃ. إذن، ﺃ تربيع يساوي المقدار الموضح هنا.
ونسترجع معًا أنه عند ضرب مصفوفتين معًا، علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب العناصر المتناظرة في صفوف المصفوفة الأولى وأعمدة المصفوفة الثانية. على سبيل المثال، لإيجاد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺃ تربيع، علينا إيجاد حاصل ضرب العددين صفر وصفر، وإضافة ذلك إلى حاصل ضرب سالب أربعة واثنين. ويمكننا حساب قيمة هذا المقدار. إنه يساوي سالب ثمانية. وهذا هو العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ﺃ تربيع.
يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد العنصر في الصف الأول والعمود الثاني في المصفوفة ﺃ تربيع. إنه يساوي صفرًا مضروبًا في سالب أربعة زائد سالب أربعة مضروبًا في واحد، ويمكننا حساب ذلك لنحصل على سالب أربعة. ويمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد آخر عنصرين في المصفوفة ﺃ تربيع. وبذلك نجد أن المصفوفة ﺃ تربيع تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي سالب ثمانية، سالب أربعة، اثنين، سالب سبعة. والآن، بعد أن أوجدنا المصفوفة ﺃ تربيع، دعونا نوجد المقدار الذي يعبر عن الحد الثاني في الطرف الأيسر من المعادلة. وهو مدور ﺏﺟ. ولإيجاد مدور المصفوفة ﺏﺟ، سنبدأ بضرب المصفوفة ﺏ في المصفوفة ﺟ. ومع أن هذا غير ضروري، دعونا نتأكد أنه يمكننا ضرب المصفوفة ﺏ في المصفوفة ﺟ.
نتذكر أنه لضرب مصفوفتين معًا، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. ويمكننا ملاحظة أن كلًّا منهما يساوي ثلاثة. إذن، فإن رتبة حاصل ضرب هاتين المصفوفتين هي عدد صفوف المصفوفة الأولى في عدد أعمدة المصفوفة الثانية. ومن ثم، فإن حاصل ضرب هاتين المصفوفتين هو مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ونوجد حاصل ضرب هاتين المصفوفتين بالطريقة نفسها التي أوجدنا بها المصفوفة ﺃ تربيع.
علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب العناصر المتناظرة في صفوف المصفوفة ﺏ وأعمدة المصفوفة ﺟ. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺏﺟ هو سالب ثلاثة في سبعة زائد سالب سبعة في سالب سبعة زائد ستة مضروبًا في سالب سبعة، وهو ما يساوي عند حسابه سالب ١٤. إذن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول بالمصفوفة ﺏﺟ هو سالب ١٤.
يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. إنه سالب ثلاثة في سبعة زائد سالب سبعة في اثنين زائد ستة مضروبًا في سبعة، وهو ما يساوي سبعة. ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد العنصرين المتبقيين في هذه المصفوفة. ﺏ في ﺟ هو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي سالب ١٤، سبعة، ٤٩، ٥٥. صرنا جاهزين الآن لإيجاد مقدار يعبر عن الحد الثاني في الطرف الأيسر من المعادلة. علينا حساب مدور المصفوفة ﺏﺟ. ولفعل ذلك، دعونا نسترجع كيفية إيجاد مدور مصفوفة ما. هذا يعني أن صفوف المصفوفة تصبح أعمدة في المصفوفة الجديدة. وعليه، يمكننا إيجاد العمود الأول في مدور هذه المصفوفة باستخدام الصف الأول من هذه المصفوفة.
إذن، العمود الأول في مدور المصفوفة هو سالب ١٤، سبعة. ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد العمود الثاني في هذه المصفوفة. نستخدم الصف الثاني في المصفوفة ﺏﺟ. ويصبح العمود الثاني هو ٤٩، ٥٥. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن مدور المصفوفة ﺏﺟ هو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي سالب ١٤، ٤٩، سبعة، ٥٥. والآن، بعد أن توصلنا إلى المصفوفة ﺃ تربيع ومدور المصفوفة ﺏﺟ، يمكننا حساب الطرف الأيسر من المعادلة. وذلك بجمع المصفوفة ﺃ تربيع ومدور المصفوفة ﺏﺟ.
نسترجع معًا أنه لجمع مصفوفتين من الرتبة نفسها، فإننا نجمع العناصر المتناظرة. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول من مجموع هاتين المصفوفتين هو سالب ثمانية زائد سالب ١٤، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على سالب ٢٢. وبالمثل، فإن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة التي لدينا هو سالب أربعة زائد ٤٩، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على ٤٥. ويمكننا مواصلة هذه العملية لإيجاد آخر عنصرين في المصفوفة. لدينا اثنان زائد سبعة يساوي تسعة، وسالب سبعة زائد ٥٥ يساوي ٤٨. إذن، المصفوفة التي لدينا هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي سالب ٢٢، ٤٥، تسعة، ٤٨.
الآن، يمكننا التعويض بالمصفوفة التي أوجدناها في الطرف الأيسر كلها من المعادلة المعطاة. وهذا يعطينا أن مدور سالب ﺱ هو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي سالب ٢٢، ٤٥، تسعة، ٤٨. ونتذكر أننا نريد حل هذه المعادلة لإيجاد المصفوفة ﺱ، وهناك بعض الطرق لإجراء ذلك. على سبيل المثال، نلاحظ أن الضرب في عدد ثابت وإيجاد مدور المصفوفة لا يغير رتبتها. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن المصفوفة ﺱ هي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين أيضًا. إذن، يمكننا كتابة ﺱ على صورة مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وإيجاد جميع عناصر المصفوفة ﺱ. هذه الطريقة صحيحة. ومع ذلك، يمكننا حل هذه المعادلة المصفوفية مباشرة.
أولًا، نضرب طرفي المعادلة في سالب واحد. وبفعل ذلك، نحصل في الطرف الأيمن من المعادلة على سالب واحد في سالب واحد، وهو ما يساوي واحدًا مضروبًا في مدور المصفوفة ﺱ. وفي الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على سالب واحد مضروبًا في المصفوفة التي لدينا. ونتذكر أنه لضرب أي مصفوفة في عدد ثابت، فإننا نضرب كل عناصر المصفوفة في هذا العدد الثابت. وبما أن العدد الثابت لدينا يساوي سالب واحد، فهذا يعني أننا نغير إشارات جميع عناصر المصفوفة. وهذا يعطينا مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين تساوي ٢٢، سالب ٤٥، سالب تسعة، سالب ٤٨.
الآن، يمكننا حل المصفوفة ﺱ بإيجاد مدور طرفي المعادلة. وبفعل ذلك، نحصل في الطرف الأيمن من المعادلة على مدور مدور المصفوفة ﺱ. وفي الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على مدور المصفوفة المعطاة التي رتبتها اثنان في اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك. أولًا، لأي مصفوفة ﻡ، مدور مدور المصفوفة ﻡ يساوي ﻡ فقط. إذن الطرف الأيمن في المعادلة يساوي ﺱ. والمصفوفة ﺱ ليست إلا مدور المصفوفة المعطاة التي رتبتها اثنان في اثنين. ومن ثم، يمكننا الحصول على المصفوفة ﺱ بإيجاد مدور هذه المصفوفة. ﺱ هو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي تساوي ٢٢، سالب تسعة، سالب ٤٥، سالب ٤٨.
