فيديو السؤال: دراسة حركة جسم يتحرك على مستوى أفقي تحت تأثير قوة مائلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يتحرك جسم وزنه و بسرعة ثابتة على المستوى الأفقي تحت تأثير قوة مقدارها ١٤٥ نيوتن، ويميل خط عملها بزاوية 𝜃 على الأفقي؛ حيث جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. إذا كانت مقاومة المستوى لحركة الجسم سدس و، فأوجد و ورد الفعل العمودي للمستوى ر.

يمكننا أن نرمز لمقدار القوة المؤثرة على الجسم، أي ١٤٥ نيوتن، بـ ﻕ. ونحن نعلم أن جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس. ونعلم أن مقاومة المستوى لحركة الجسم هي و على ستة. سنسمي هذه المقاومة ﺡﻙ. نريد إيجاد قيمة و، أي وزن الجسم، وكذلك رد الفعل العمودي للمستوى، الذي نرمز له بـ ر.

بداية، دعونا نرسم شكلًا يمثل هذه الحالة. لدينا جسم وزنه و تدفعه قوة ﻕ بزاوية 𝜃 على الأفقي. وبالإضافة إلى القوة ﻕ، تؤثر ثلاث قوى أخرى على الجسم. هناك قوة الجاذبية أو قوة الوزن المؤثرة لأسفل. والقوة التي تقاوم حركة انزلاق الجسم على السطح، وقد أطلقنا عليها قوة المقاومة، ﺡﻙ. وهناك أيضًا قوة رد فعل السطح على الجسم. ورمزنا إليها بالرمز ر. وهي القوة العمودية. بمعلومية قيم كل من ﺡ، وجا 𝜃، وقوة المقاومة ﺡﻙ، نريد إيجاد قيمتي و ور.

بداية، يمكننا أن نتذكر قانون نيوتن الثاني. وينص هذا القانون على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلة الجسم في عجلته ﺟ. في الحالة لدينا، توجد قوى تؤثر في اتجاهين متعامدين. وإذا عرفنا الاتجاه لأعلى بأنه الحركة في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ، والاتجاه ناحية اليمين بأنه الحركة في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، فيمكننا كتابة قانون نيوتن الثاني لكلا هذين الاتجاهين. إذا بدأنا بالمحور ﺱ، فسنلاحظ أن هناك قوتين لهما مركبتان على طول هذا المحور، وهما ﺡﻙ وﻕ. وبناء على قانون نيوتن الثاني، يمكننا كتابة أن ﺡﻙ ناقص ﻕ في جتا 𝜃 يساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلته ﺟ.

في نص المسألة، نعلم أن سرعة الجسم ثابتة. وهو ما يعني أن عجلته تساوي صفرًا. وبما أن ﻙ في ﺟ يساوي صفرًا، فيمكننا كتابة أن ﺡﻙ يساوي ﻕ في جتا 𝜃. ونحن نتذكر أن ﺡﻙ يمكن التعبير عنها في صورة سدس و.

والآن، لنتناول الحد جتا 𝜃. إذا نظرنا إلى الشكل، فسنلاحظ أن الموضع الذي تؤثر فيه القوة ﻕ يمكن رسمه في صورة مركبات على شكل مثلث قائم الزاوية، حيث ﻕ هو الوتر، وﻕﺱ وﻕﺹ هما ضلعاه القصيران. نعلم من المعطيات أن جا 𝜃 يساوي ثلاثة مقسومًا على خمسة. إذا حذفنا تسميات هذا المثلث القائم الزاوية ونظرنا إليه من منظور مثلثي بحت، فسنجد أنه إذا كان جا 𝜃 يساوي ثلاثة على خمسة، فهذا يعني أن طول الضلع الرأسي يساوي ثلاثة، وطول الوتر يساوي خمسة.

قد يبدو هذا المثلث مألوفًا. يمكننا إدراك أن النسبة بين أطوال أضلاعه هي ثلاثة إلى أربعة إلى خمسة. والآن، بما أننا نعرف نسبة طول الضلع الأفقي إلى الضلعين الآخرين، فيمكننا أيضًا إيجاد قيمة جتا 𝜃 بدلالة هذه المعطيات. حسنًا، جا 𝜃 يساوي ﺹ مقسومًا على طول الوتر. جتا 𝜃 يساوي ﺱ، أي أربعة، مقسومًا على طول الوتر، أي خمسة. إذن، جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس. ولدينا ﻕ، أي القوة، تساوي ١٤٥ نيوتن. بالتعويض بهذه القيمة وضرب كلا طرفي المعادلة في ستة، نجد أن و يساوي ستة في ١٤٥ نيوتن في أربعة أخماس، أو ما يساوي ٦٩٦ نيوتن. إذن، هذه هي قوة وزن الجسم.

بمعلومية ذلك، نريد الآن إيجاد قيمة ر، وهي قوة رد فعل الطاولة على الجسم. لإيجاد هذه القيمة، سنتناول القوى في الاتجاه الرأسي أو المحور ﺹ. وبالنظر إلى هذا الشكل، نلاحظ وجود ثلاث قوى لها مركبات في الاتجاه الرأسي وهي: ر وو وﻕ. يمكننا كتابة أن ر زائد ﻕ في جا 𝜃 ناقص و يساوي كتلة الجسم في عجلته، ونظرًا لأن حركته ثابتة، فإننا نعلم أن العجلة تساوي صفرًا مجددًا.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ر. ‏ر يساوي و ناقص ﻕ في جا 𝜃. ونحن نعرف قيمة جا 𝜃. ونعرف قيمة ﻕ. كما أننا أوجدنا قيمة و في الجزء السابق. إذن، نحن جاهزون للتعويض وإيجاد قيمة ر. بإدخال هذه القيم على الآلة الحاسبة، نجد أن ر يساوي ٦٠٩ نيوتن. هذه هي قوة رد فعل السطح التي تدفع الجسم لأعلى.