فيديو: متطابقات المجموع وأرق: تبسيط المقادير المثلثية، وإيجاد قيمتها، وإعادة كتابتها كمقادير جبرية

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في إيجاد قيم المقادير المثلثية، وتبسيطها، وإعادة كتابتها كمقادير جبرية.

٠٧:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن تبسيط المقادير المثلثية، وإيجاد قيمتها. وكمان إعادة كتابتها كمقادير جبرية. باستخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين، والفرق بينهم. في الأول هنشوف إزّاي نوجد قيمة المقادير المثلثية، وإزّاي نبسّطها. بعد كده هنشوف إزّاي نعيد كتابتها مرة تانية، في صورة مقادير جبرية لا تحتوي على دوال مثلثية.

لمّا يبقى عندنا مقادير مثلثية، على صورة المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينها. فبنستخدم المتطابقة المناسبة، علشان نوجد قيم المقادير دي، أو علشان نبسّطها. وده هيكون من خلال إعادة كتابتها مرة تانية كدالة مثلثية لزاوية واحدة بس. هنوضّح أكتر من خلال مثال.

في المثال الأول، عايزين نوجد قيمة المقدار … ظا اتنين وتلاتين درجة زائد ظا تلتاشر درجة، على واحد ناقص ظا اتنين وتلاتين درجة ظا تلتاشر درجة. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، هنلاقيه على صورة متطابقة ظِل مجموع زاويتين. ومن خلال المقدار اللي عندنا، هنلاقي إن قياس الزاويتين دول، هم: اتنين وتلاتين درجة، وتلتاشر درجة.

فبالنسبة لمتطابقة ظِل مجموع زاويتين … لو عندنا ظا أ زائد ب، فهي هتساوي ظا أ زائد ظا ب، على واحد ناقص ظا أ ظا ب. معنى كده إن المقدار ظا اتنين وتلاتين درجة زائد ظا تلتاشر درجة، على واحد ناقص ظا اتنين وتلاتين درجة ظا تلتاشر درجة. يساوي ظا، اتنين وتلاتين درجة زائد تلتاشر درجة. يعني هيساوي ظا خمسة وأربعين درجة. وبالنسبة لِـ ظا خمسة وأربعين درجة، فهي بتساوي واحد. يبقى معنى كده إن المقدار بيساوي واحد. وبكده يبقى إحنا أوجدنا قيمة المقدار.

هنشوف مثال كمان. عايزين نبسّط المقدار: جا س جا تلاتة س ناقص جتا س جتا تلاتة س. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فهو مش موجود مباشرةً في صورة متطابقة من متطابقات المجموع أو الفرق. فهنبدأ نشتغل عليه بحيث نوصّله لصورة من صور المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم. فالمقدار اللي عندنا هو: جا س جا تلاتة س ناقص جتا س جتا تلاتة س.

في الأول هنستخدم خاصيتَي التوزيع والإبدال. فهنلاقي إن المقدار اللي عندنا بيساوي سالب مضروبة في المقدار جتا س جتا تلاتة س ناقص جا س جا تلاتة س. وبالنسبة للمقدار ده، فهنلاقيه على صورة متطابقة جيب تمام مجموع زاويتين. يعني المقدار هيساوي سالب جتا س زائد تلاتة س. يعني هيساوي سالب جتا أربعة س. بكده هتبقى أبسط صورة للمقدار: جا س جا تلاتة س ناقص جتا س جتا تلاتة س، هي سالب جتا أربعة س.

بعد كده هنشوف إزّاي نعيد كتابة المقادير المثلثية، كمقادير جبرية لا تحتوي على دوال مثلثية. باستخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم. وده هيكون من خلال مثال. عندنا في المثال، عايزين نكتب المقدار: جا الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة، زائد الدالة العكسية لِـ جا س. كمقدار جبري لا يحتوي على دوال مثلثية.

في الأول هنلاحظ إن المقدار المعطى، عبارة عن دالة جيب مجموع زاويتين. فلمّا هنطبّق متطابقة جيب مجموع زاويتين، هنلاقي المقدار: جا؛ الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة، زائد الدالة العكسية لِـ جا س. يساوي جا الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة جتا الدالة العكسية لِـ جا س. زائد جتا الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة جا الدالة العكسية لِـ جا س.

بعد كده هنفرض إن إحنا عندنا زاويتين هم أ وَ ب. بالنسبة للزاوية أ، فهتساوي الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة. أمّا الزاوية ب فهتساوي الدالة العكسية لِـ جا س. وده معناه إن ظا أ تساوي الجذر التربيعي لتلاتة. وَ جا ب تساوي س. بعد كده هنرسم مثلثين قائمين، زيّ اللي هيظهروا لينا. واحد من المثلثين دول هيحتوي على الزاوية الحادة أ. ولْيكُن هو المثلث ده. والتاني هيحتوي على الزاوية الحادة ب. وهيبقى هو المثلث ده.

بعد كده هنستفيد من الدالتين المثلثيتين اللي عندنا؛ ظا أ، وَ جا ب. بالنسبة لِـ ظا أ، نقدر نستفيد بيها علشان نميّز أضلاع المثلث القائم، اللي بيحتوي على الزاوية أ. وده لأن ظا أ تساوي المقابل للزاوية أ، على المجاور للزاوية أ. وبما إن ظا أ تساوي الجذر التربيعي لتلاتة، نقدر نميّز المقابل للزاوية أ، بالجزر التربيعي لتلاتة. والمجاور للزاوية أ، بواحد. أمّا بالنسبة لِـ جا ب، فهتساوي المقابل للزاوية ب، على الوتر. وبما إن جا ب تساوي س، فنقدر نميّز المقابل للزاوية ب، بِـ س. والوتر بتاع المثلث القائم، بواحد.

بعد كده لو اعتبرنا إن الجذر التربيعي لتلاتة، هو طول الضلع المقابل للزاوية أ. وإن واحد، هو طول الضلع المجاور للزاوية أ. نقدر نستخدم نظرية فيثاغورس؛ علشان نوجد طول الضلع التالت. فبالنسبة للمثلث اللي بيحتوي على الزاوية أ، هنلاقي إن طول الوتر بيساوي اتنين، بعد استخدام نظرية فيثاغورس. أمّا بالنسبة للمثلث اللي بيحتوي على الزاوية ب … فلو س بتساوي طول الضلع المقابل للزاوية ب. وواحد بيساوي طول الوتر بتاع المثلث القائم. فمن استخدام نظرية فيثاغورس، هنلاقي إن طول الضلع المجاور للزاوية ب، عبارة عن الجذر التربيعي لواحد ناقص س تربيع.

بعد كده نقدر نستخدم المثلثين اللي عندنا، علشان نوجد جا الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة. واللي هتساوي جا أ. واللي من خلال المثلث اللي بيحتوي على الزاوية أ، هتساوي الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. وكمان نقدر نجيب جتا الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة. واللي هتساوي جتا أ. واللي بتساوي نص. وكمان نجيب جتا الدالة العكسية لِـ جا س. واللي بتساوي جتا ب. واللي هتساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص س تربيع. وكمان نجيب جا الدالة العكسية لِـ جا س. واللي بتساوي جا ب. واللي هتساوي س.

بعد كده هنعوّض عن كل دالة مثلثية موجودة في المقدار اللي عندنا، بالقيمة اللي بتساويها. فهنلاقي المقدار بيساوي الجذر التربيعي لتلاتة، على اتنين، في الجذر التربيعي لواحد ناقص س تربيع. زائد نص، في س. ولمّا هنضرب، هنلاقي المقدار بيساوي الجذر التربيعي لتلاتة ناقص تلاتة س تربيع، على اتنين، زائد س على اتنين. واللي هيساوي س زائد، الجذر التربيعي لتلاتة ناقص تلاتة س تربيع، على اتنين. وبكده يبقى إحنا كتبنا المقدار اللي عندنا، في صورة مقدار جبري ما بيحتويش على دوال مثلثية.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده … عرفنا إزّاي نستخدم المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم، في إيجاد قيم الدوال المثلثية، وكمان تبسيطها. وكمان عرفنا إزّاي نعيد كتابتها، في صورة مقادير جبرية لا تحتوي على دوال مثلثية. فكان لمّا بيبقى عندنا مقادير مثلثية، على صورة المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهم. بنستخدم المتطابقة المناسبة؛ علشان نوجد قيم المقادير دي، أو علشان نبسّطها. من خلال إعادة كتابتها مرة تانية، كدالة مثلثية لزاوية واحدة بس. وبعد كده شُفنا إزّاي نعيد كتابة المقادير المثلثية، كمقادير جبرية ما بتحتويش على دوال مثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.