نسخة الفيديو النصية
منشور له قوة تفريق لوني مقدارها 0.044. يفرق الضوء الأبيض بواسطة المنشور. قياس زاوية النهاية الصغرى للانحراف لأطول طول موجي في الضوء الأبيض يساوي 25.8 درجة. ما قياس زاوية النهاية الصغرى للانحراف لأقصر طول موجي في الضوء الأبيض؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
دعونا نفترض أن هذا المثلث يمثل المنشور الذي يتناوله السؤال، وأن هذا السهم السميك يمثل الضوء الأبيض الذي يدخل إلى المنشور. يتحرك هذا الضوء الأبيض في اتجاه ما عند دخوله المنشور. ويمكننا توضيح هذا الاتجاه من خلال هذا الخط المتقطع هنا. يمثل هذا الخط الاتجاه الذي كان سيستمر فيه الضوء في التحرك لو لم يتقاطع مع المنشور. ولكن بما أن الضوء يصطدم بالمنشور، فإننا نعلم أن المنشور سيكسر الضوء ويغير اتجاه حركته. ونعلم أيضًا أن المنشور سيكسر الأطوال الموجية أو الألوان المختلفة للضوء بمقادير مختلفة، ما يتسبب في تفريق الألوان المختلفة للضوء أو تفريقها بواسطة المنشور.
نعلم أن هذا المنشور يتسبب بالتأكيد في تفريق الألوان المختلفة للضوء؛ حيث نعلم من المعطيات أن قوة التفريق اللوني لهذا المنشور تساوي 0.044. ومن المهم ملاحظة أن هذا العدد أكبر من صفر. قوة التفريق اللوني للمنشور هي مقياس لمقدار تفريق المنشور للضوء، وكلما زادت قدرة المنشور على تفريق الألوان المختلفة للضوء، زادت قوة التفريق اللوني لديه. وعليه، إذا كانت قوة التفريق اللوني للمنشور تساوي صفرًا، فإننا نعلم أنه لا يفرق ألوان الضوء على الإطلاق. لكن بما أن هذا المنشور له قوة تفريق لوني تساوي 0.044، فإننا نعلم أن له حتمًا القدرة على تفريق ألوان الضوء إلى حد ما.
نشير عادة إلى قوة التفريق اللوني للمنشور بالرمز 𝜔𝛼. وبما أننا نعلم قوة التفريق اللوني لهذا المنشور، يمكننا القول إن 𝜔𝛼 يساوي 0.044 لهذا المنشور. الشيء الآخر الذي يخبرنا به هذا السؤال هو زاوية الانحراف لأطول طول موجي للضوء المار عبر المنشور. زاوية الانحراف لطول موجي معين للضوء تعطى بالزاوية الواقعة بين الاتجاه الذي كان يتحرك فيه الضوء عند دخوله المنشور، والموضح بهذا الخط المتقطع هنا، والاتجاه الذي يتحرك فيه الطول الموجي للضوء عند خروجه من المنشور. إذن بالنسبة إلى الضوء الأحمر، فإن زاوية الانحراف تعطى بهذه الزاوية هنا. وفي الواقع، بما أننا نعلم أن الضوء الأحمر له أطول طول موجي من بين جميع الألوان التي يتكون منها الضوء الأبيض، فإن زاوية الانحراف المعطاة لنا هنا هي بالضبط زاوية انحراف الضوء الأحمر.
نعلم إذن أن زاوية انحراف الضوء الأحمر تساوي 25.8 درجة. ونرمز إلى هذه الزاوية بالرمز 𝛼 الصغرى. والسبب في ذلك هو أننا نعلم أن الضوء الأحمر سيكون له زاوية الانحراف الأصغر من بين جميع ألوان الضوء المار عبر المنشور. كما يرجع ذلك أيضًا إلى أن المنشور سيكون له أقل معامل انكسار لأطول طول موجي للضوء، ما يعني أنه يعطي أقل انحراف. ومن ناحية أخرى، سيكون لأقصر طول موجي يمر عبر المنشور، أي الضوء الأزرق في هذه الحالة، أكبر معامل انكسار، ومن ثم سيكون له أكبر زاوية انحراف. ولهذا السبب، نشير إلى زاوية انحراف الضوء الأزرق بالرمز 𝛼 العظمى؛ حيث تمثل أقصى زاوية انحراف سيتعرض لها أي لون من ألوان الضوء من هذا المنشور. وفي الحقيقة، فإن هذه الزاوية هي المطلوب منا حسابها في هذا السؤال. وعليه، فإن هدفنا الآن هو إيجاد قيمة 𝛼 العظمى. دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونر كيف يمكننا فعل ذلك.
لدينا هنا الكميتان اللتان نعلم قيمتيهما. وهما قوة التفريق اللوني للمنشور، 𝜔𝛼، وتساوي 0.044؛ وزاوية الانحراف لأطول طول موجي للضوء، 𝛼 الصغرى، وتساوي 25.8 درجة. والكمية التي نريد حسابها، أي زاوية الانحراف لأقصر طول موجي للضوء، هي 𝛼 العظمى. إذن، دعونا نبدأ بتذكر المعادلة التي تربط بين هذه الكميات الثلاث. تنص هذه المعادلة على أن 𝜔𝛼 يساوي 𝛼 العظمى ناقص 𝛼 الصغرى مقسومة على 𝛼 العظمى زائد 𝛼 الصغرى مقسومة على اثنين. وهذه المعادلة مفيدة للغاية لأنها تعطينا الكمية التي نريدها، أي 𝛼 العظمى، في معادلة جنبًا إلى جنب مع جميع الكميات الأخرى التي نعلم قيمتها، مثل 𝜔𝛼 و𝛼 الصغرى. ومن ثم، فإن هدفنا الآن هو إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث نجعل 𝛼 العظمى في طرف بمفردها بالمعادلة. ولكن بما أن 𝛼 العظمى تظهر في كل من بسط هذه المعادلة ومقامها، فلا بد من إجراء بعض الخطوات القليلة لإعادة ترتيب هذه المعادلة.
دعونا أولًا نعوض عن الكميتين اللتين نعلمهما بالقيمتين اللتين لدينا. بما أن 𝜔𝛼 يساوي 0.044، فإن الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي 0.044 فحسب. وبما أن 𝛼 الصغرى تساوي 25.8 درجة، فقد عوضنا عن 𝛼 الصغرى بهذه القيمة أينما ظهر في الطرف الأيمن من المعادلة. بعد ذلك، دعونا نضرب الطرف الأيمن من المعادلة في اثنين على اثنين. وبما أن اثنين مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا فحسب، فهذا تمامًا مثل ضرب الطرف الأيمن في واحد، ومن ثم فإن هذا لا يغير شيئًا في المعادلة. وقد يبدو من الغريب فعل ذلك، ولكنه سيتيح لنا تبسيط مقام الطرف الأيمن بشكل مفيد. والسبب في ذلك أن المقام أصبح الآن اثنين مضروبًا في 𝛼 العظمى زائد 25.8 درجة مقسومًا على اثنين. وعليه، يحذف الاثنان في البسط والمقام، ليتبقى لدينا طرف أيمن مبسط.
يمكننا بعد ذلك تبسيط بسط الطرف الأيمن من خلال فك الأقواس، ما يعني أن نضرب اثنين في الحدين الموجودين داخل القوسين. إذن، لدينا اثنان في 𝛼 العظمى ناقص اثنين في 25.8 درجة. وعليه، يصبح لدينا الآن في البسط اثنان 𝛼 العظمى ناقص 51.6 درجة. بعد ذلك، نريد ضرب طرفي المعادلة في قيم مقام الطرف الأيمن ويساوي 𝛼 العظمى زائد 25.8 درجة. وهذا يعطينا معادلة تبدو على هذه الصورة. وهذا مفيد لدينا في الحل حيث أصبح الطرف الأيمن الآن يحتوي على 𝛼 العظمى زائد 25.8 درجة في بسط الكسر ومقامه. لذا يلغي هذان الحدان كل منهما الآخر، ويتبقى لدينا في الطرف الأيمن اثنان 𝛼 العظمى ناقص 51.6 درجة فقط. ولكن في الطرف الأيسر، لدينا الآن قوسان نحتاج إلى فكهما. ونفعل ذلك بضرب كلا الحدين داخل القوسين في 0.044. ومن ثم، يصبح لدينا الطرف الأيسر يساوي 0.044 في 𝛼 العظمى زائد 1.1352 درجة.
بذلك، بدأت المعادلة تبدو أبسط قليلًا. وخطوتنا التالية هي جمع الحدين اللذين يشتملان على 𝛼 العظمى في أحد طرفي المعادلة، وكلا الحدين اللذين يمثلان أعدادًا فقط في الطرف الآخر من المعادلة. يمكننا البدء في ذلك بإضافة 51.6 درجة إلى كلا طرفي المعادلة. وهذا مفيد حيث أصبح لدينا الآن في الطرف الأيمن سالب 51.6 درجة زائد 51.6 درجة. وعليه، يحذف هذان الحدان كل منهما الآخر ليعطينا ذلك صفرًا. وفي الطرف الأيسر، لدينا حدان يمكننا تجميعهما معًا لأنهما مجرد عددين بالدرجات. ومن ثم، يمكننا جمع 1.1352 درجة زائد 51.6 درجة لنحصل على حد يساوي موجب 52.7352 درجة.
دعونا الآن نطرح 0.044𝛼 العظمى من كلا طرفي هذه المعادلة. يتيح لنا ذلك تبسيط الطرف الأيسر؛ حيث أصبح لدينا الآن 0.044𝛼 العظمى ناقص 0.044𝛼 العظمى. ومن ثم، يحذف هذان الحدان مرة أخرى كل منهما الآخر ليعطينا ذلك صفرًا، ويتبقى لدينا الطرف الأيسر 52.7352 درجة. في الطرف الأيمن، لدينا الآن اثنان 𝛼 العظمى ناقص 0.044𝛼 العظمى. وبذلك نكون قد حققنا هدفنا المتمثل في الحصول على كلا الحدين اللذين يشتملان على 𝛼 العظمى في الطرف نفسه من المعادلة. ويمكننا المضي قدمًا في الخطوة التالية وتحليل 𝛼 العظمى من هذين الحدين، ما يتيح لنا كتابة الطرف الأيمن على الصورة اثنان ناقص 0.044 في 𝛼 العظمى. وهذا القوس يمثل الآن الفرق بين العددين. وعليه، يمكننا حساب هذا القوس لنحصل على الطرف الأيمن، وهو 1.956 مضروبًا في 𝛼 العظمى.
الخطوة الأخيرة في عملية إعادة الترتيب هي قسمة طرفي المعادلة على 1.956 ؛ حيث يتيح لنا هذا حذف العدد بالكامل من الطرف الأيمن. وأخيرًا، يتبقى لدينا معادلة يكون فيها 𝛼 العظمى في طرف بمفرده. كل ما علينا فعله الآن لحساب 𝛼 العظمى هو إيجاد قيمة هذا الكسر، وهو 52.7352 درجة مقسومًا على 1.956. وعند فعل ذلك، نجد أن 𝛼 العظمى تساوي 26.9607 درجة، وهكذا مع توالي الأرقام. هذه هي الإجابة النهائية تقريبًا. ولكن تذكر أن السؤال طلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية واحدة، لذا علينا تقريب الإجابة. إذا أجرينا هذا التقريب، فيمكننا كتابة الإجابة النهائية على الصورة 𝛼 العظمى تساوي 27.0 درجة.
